目录
对数函数 2
模块一：对数与对数运算 2
考点1：对数运算 3
模块二：对数函数图像与性质的应用 4
考点2：对数比较大小 4
模块二：对数型复合函数 5
考点3：对数函数相关的复合函数 5
课后作业： 7
对数函数
模块一：对数与对数运算
1.对数的概念：
一般地，如果，且，那么我们把叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
关系式
指数式 底数 指数 幂（值）
对数式 底数 对数 真数
2.常用对数与自然对数
对数（且），当底数
（1）时，叫做常用对数，记做；
（2）时，叫做自然对数，记做（为无理数，）．
3.对数的运算性质：
如果，且，那么：
（1）；（积的对数等于对数的和）
推广
（2） ；（商的对数等于对数的差）
（3） ．（幂的对数等于底数的对数乘以幂指数）
4.换底公式：（）．
5.换底公式的几个基本使用：
①；
②；
③；
④.
考点1：对数运算
例1.（1）（2019春 武侯区校级月考）化简求值：；
（2）（2018春 崂山区校级月考） ．
（3）计算下列各式的值：．
例2.（1）（2019 大连二模）若，则 ．
（2）（2019春 天心区校级月考）已知，，则用，表示为 ．
（3）（2018春 龙凤区校级月考）已知，，则可以用，表示为
A． B． C． D．
模块二：对数函数图像与性质的应用
1.对数函数：我们把函数且）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是，值域为实数集．
2.对数函数的图象与性质：
图象
定义域
值域
性质 ⑴ 过定点，即时，
⑵当时，； 当时， ⑵当时，； 当时，．
⑶在上是增函数 ⑶在上是减函数
考点2：对数比较大小
例3.（1）（2019春 锦州期末）若，则
A． B． C． D．
（2）（2019春 宣城期末）设，，，则
A． B． C． D．
（3）（2019春 邯郸期末）已知，，，则
A． B． C． D．
（4）（2019春 汕尾期末）若，，，则
A． B． C． D．
例4.求不等式的解集．
模块二：对数型复合函数
单调性、定义域、值域、奇偶性为本模块重点
考点3：对数函数相关的复合函数
例5.（2019春 赫山区校级月考）函数的单调增区间是 ．
例6.（1）求函数在上的最值．
（2）已知，求函数的最大值与最小值．
（3）已知函数在上的最大值比最小值大2，求．
例7.（2018秋 吉林期中）已知函数
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）讨论的奇偶性；
（Ⅲ）求使的的取值范围．
例8.（2018春 蓬江区校级月考）已知函数，其中且．
（1）求函数的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）若，求使成立的的集合．
课后作业：
1．（2019秋 沈阳期末）计算的结果是
A．1 B．2 C． D．
2．（2019秋 抚州期末）若，且，则等于
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2020春 安徽期末）已知，，，则
A． B． C． D．
4．（2019秋 崇左期末）若函数且在区间，上的最大值比最小值多2，则
A．2或 B．3或 C．4或 D．2或
5．（2019秋 海淀区校级期末）已知函数．
（1）求函数的定义域并判断函数的奇偶性；
（2）记函数，求函数的值域；
（3）若不等式有解，求实数的取值范围．目录
对数函数 2
模块一：对数与对数运算 2
考点1：对数运算 3
模块二：对数函数图像与性质的应用 4
考点2：对数比较大小 4
模块二：对数型复合函数 6
考点3：对数函数相关的复合函数 6
课后作业： 8
对数函数
模块一：对数与对数运算
1.对数的概念：
一般地，如果，且，那么我们把叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
关系式
指数式 底数 指数 幂（值）
对数式 底数 对数 真数
2.常用对数与自然对数
对数（且），当底数
（1）时，叫做常用对数，记做；
（2）时，叫做自然对数，记做（为无理数，）．
3.对数的运算性质：
如果，且，那么：
（1）；（积的对数等于对数的和）
推广
（2） ；（商的对数等于对数的差）
（3） ．（幂的对数等于底数的对数乘以幂指数）
4.换底公式：（）．
5.换底公式的几个基本使用：
①；
②；
③；
④.
考点1：对数运算
例1.（1）（2019春 武侯区校级月考）化简求值：；
【解答】解：
（2）（2018春 崂山区校级月考） ．
【解答】解：．
故答案为：1．
（3）计算下列各式的值：．
【解答】解：式．
例2.（1）（2019 大连二模）若，则 ．
【解答】解：由，
得，，
即，，
所以，
故答案为：2．
（2）（2019春 天心区校级月考）已知，，则用，表示为 ．
【解答】解：，，
，，
，
化为，
故答案为：．
（3）（2018春 龙凤区校级月考）已知，，则可以用，表示为
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
模块二：对数函数图像与性质的应用
1.对数函数：我们把函数且）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是，值域为实数集．
2.对数函数的图象与性质：
图象
定义域
值域
性质 ⑴ 过定点，即时，
⑵当时，； 当时， ⑵当时，； 当时，．
⑶在上是增函数 ⑶在上是减函数
考点2：对数比较大小
例3.（1）（2019春 锦州期末）若，则
A． B． C． D．
【解答】解：；
；
；
．
故选：．
（2）（2019春 宣城期末）设，，，则
A． B． C． D．
【解答】解：；
；
；
；
又；
．
故选：．
（3）（2019春 邯郸期末）已知，，，则
A． B． C． D．
【解答】解：，，；
．
故选：．
（4）（2019春 汕尾期末）若，，，则
A． B． C． D．
【解答】解：，，；
．
故选：．
例4.求不等式的解集．
【解答】解：
模块二：对数型复合函数
单调性、定义域、值域、奇偶性为本模块重点
考点3：对数函数相关的复合函数
例5.（2019春 赫山区校级月考）函数的单调增区间是 ．
【解答】解：由得或．
令，则当时，
为减函数，当时，为增函数函数．
又是减函数，故在为增函数．
故答案为：．
例6.（1）求函数在上的最值．
【解答】解：，．
（2）已知，求函数的最大值与最小值．
【解答】解：时，有最小值；时，有最大值．
（3）已知函数在上的最大值比最小值大2，求．
【解答】解：或；
例7.（2018秋 吉林期中）已知函数
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）讨论的奇偶性；
（Ⅲ）求使的的取值范围．
【解答】解：由对数函数的定义知．
如果，则；
如果，则不等式组无解．
故的定义域为
，
为奇函数．
等价于，①
而从知，故①等价于，又等价于．
当时有
例8.（2018春 蓬江区校级月考）已知函数，其中且．
（1）求函数的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）若，求使成立的的集合．
【解答】解：（1）要使函数有意义，则，
解得，
即函数的定义域为；
（2），
是奇函数．
（3）若，
，
解得：，
，
若，则，
，
解得，
故不等式的解集为．
课后作业：
1．（2019秋 沈阳期末）计算的结果是
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：因为，
故选：．
2．（2019秋 抚州期末）若，且，则等于
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：设，
则，，，
则．
故选：．
3．（2020春 安徽期末）已知，，，则
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
，，．
．
故选：．
4．（2019秋 崇左期末）若函数且在区间，上的最大值比最小值多2，则
A．2或 B．3或 C．4或 D．2或
【解答】解：由，有 且，
①当 时，，得，
②当 时，，得，
故 或，
故选：．
5．（2019秋 海淀区校级期末）已知函数．
（1）求函数的定义域并判断函数的奇偶性；
（2）记函数，求函数的值域；
（3）若不等式有解，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数，
，解得．
函数的定义域为．
，
是偶函数．
（2），
．
，
函数，，
，，
函数的值域是，．
（3）不等式有解，，
令，由于，
的最大值为．
实数的取值范围为．
