1．【分析】设f（x）＝|x+4|﹣|x﹣3|，x∈R；问题转化为a≥f（x）max，由绝对值不等式求出即可．
解：由不等式|x+4|﹣|x﹣3|≤a对一切实数x∈R恒成立，
设f（x）＝|x+4|﹣|x﹣3|，x∈R；
则f（x）≤|（x+4）﹣（x﹣3）|＝7，当且仅当x≥3时取等号；
所以实数a的取值范围是a≥7．
故答案为：a≥7．
2．【分析】首先分析题目由实数x，y满足条件3≤xy2≤8，4≤≤9．求的最大值的问题．根据不等式的等价转换思想可得到：，，代入求解最大值即可得到答案．
解：因为实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，
则有：，，
再根据 ，即当且仅当x＝3，y＝1取得等号，
即有的最大值是27．
故答案为：27．
3．【分析】依题意，解不等式|x﹣（a+b﹣3t）|＜a+b可得a+b＝3t＞0，再由不等式可得解．
解：依题意，由|x﹣（a+b﹣3t）|＜a+b可得﹣3t＜x＜2（a+b）﹣3t，
而区间（﹣3t，2（a+b）﹣3t）是关于原点对称的区间，故﹣3t+2（a+b）﹣3t＝0，
∴a+b＝3t＞0，
由可知，，
∴，当且仅当a＝b时等号成立，
∴a2+b2的最小值为．
故答案为：．
4．【分析】由相似三角形的性质，判断面积之比即可．
解：因为AD∥BC，△AOD相似于△AOB，
所以，
故＝，
又，
当且仅当BO＝DO，即O为BD中点时取等；
又因为四边形ABCD为梯形，故O不可能为BD的中点，
故，
即的取值范国（2，+∞）．
故答案为：（2，+∞）．
5．不等式7|x+1|＜5﹣x的解集为 （﹣2，﹣） ．
【分析】由绝对值不等式的解法求解即可．
解：∵不等式7|x+1|＜5﹣x，
∴不等式等价于，
解得，
即﹣2＜x＜﹣，
∴该不等式的解集为（﹣2，﹣）．
故答案为：（﹣2，﹣）．
6．对任意的x∈[0，1]均有|ax+b|≤1，则|a|的最大值为 2 ．
【分析】取x＝0，1，可得|b|≤1，|a+b|≤1，利用绝对值不等式的性质|a|＝|（a+b）﹣b|≤|a+b|+|b|即可求得|a|的最大值．
解：因为对任意的x∈[0，1]均有|ax+b|≤1，
所以取x＝0，1，可得|b|≤1，|a+b|≤1，
所以|a|＝|（a+b）﹣b|≤|a+b|+|b|≤1+1＝2，
当a＝﹣2，b＝1或a＝2，b＝﹣1时等号成立，
所以|a|的最大值为2．
故答案为：2．
7．设正实数x、y满足，则的最小值为 ．
【分析】将已知等式两边同时加上，可得x2++y2+＝+，利用基本不等式即可求解x2+≥12，y2+≥，即可求得结论．
解：x，y＞0，且，
两边同时加上，可得x2++y2+＝+，
因为x2+＝x2++≥3＝12，当且仅当x2＝，即x＝2时等号成立，
y2+＝y2++≥3＝，当且仅当y2＝，即y＝时等号成立，
所以+≥12+，解得≥，
所以的最小值为．
故答案为：．
8．不等式（a2+1）x＜3的解为 （﹣∞，） ．
【分析】根据a +1＞0，结合不等式性质即可求解．
【解答】解：因为a +1＞0，
所以该不等式解为x＜，
故答案为：（﹣∞，）．
9．设正实数x，y满足xy＝20，则x+4y的最小值为 8 ．
【分析】由基本不等式，即可得解．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，
所以x+4y≥2＝2＝8，当且仅当x＝4y，即x＝4，y＝时，等号成立，
所以x+4y的最小值为8．
故答案为：8．
10．若不等式ax2+bx﹣7＜0的解集为（﹣∞，2）∪（7，+∞），则不等式﹣7x2+bx+a＞0的解集为 （，） ．
【分析】设y＝ax2+bx﹣7，ax2+bx﹣7＜0的解集为（﹣∞，2）∪（7，+∞），得到开口向下，2和7为函数与x轴交点的横坐标，利用根与系数的关系表示出a与b的关系，化简不等式﹣7x2+bx+a＞0即可求得答案．
【解答】解：因为不等式ax2+bx﹣7＜0的解集为（﹣∞，2）∪（7，+∞），
所以，解得，
则不等式﹣7x2+bx+a＞0即为14x ﹣9x+1＜0，
解得，
故﹣7x2+bx+a＞0的解集为（，）．
故答案为：（，）．
11．已知a、b、c均为正实数，则的最大值为 ．
【分析】根据基本不等式的性质，利用a2+b2≥ab，b2+c2≥bc，即可求出的最大值．
【解答】解：a、b、c均为正实数，则a2+b2≥ab，b2+c2≥bc，
∴＝≤＝，
当且仅当a＝c＝b 时，等号成立，
∴的最大值为．
故答案为：
12、
13、
14、-1
15、
16、
17、 ①②④
18、1．若不等式|x+4|﹣|x﹣3|≤a对一切实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 ．
2．设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是 ．
3．定义满足不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的实数x的集合叫做A的B邻域，若a+b﹣3t（t为正的常数）的a+b邻域是一个关于原点对称的区间，则a2+b2的最小值为 ．
4．如图，梯形ABCD中（AD≠BC）AC、BD相交于O，记△BCO，△CDO，△DAO的面积分别为S1，S2，S3，则的取值范围是 ．
5．不等式7|x+1|＜5﹣x的解集为 ．
6．对任意的x∈[0，1]均有|ax+b|≤1，则|a|的最大值为 ．
7．设正实数x、y满足，则的最小值为 ．
8．不等式（a2+1）x＜3的解为 ．
9．设正实数x，y满足xy＝20，则x+4y的最小值为 ．
10．若不等式ax2+bx﹣7＜0的解集为（﹣∞，2）∪（7，+∞），则不等式﹣7x2+bx+a＞0的解集为 ．
11．已知a、b、c均为正实数，则的最大值为 ．
12. 不等式的解集是__________.
13. 已知实数、满足，，则的取值范围为___________.
14. 已知正数、满足，则的最大值是__________.
15. 已知，，，且，则的值为___________.
16. 已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是___________.
17. 已知，，，则在下列不等式
①；②；③；④；⑤
其中恒成立的是__________.（写出所有正确命题的序号）
18. 对实数、定义运算：，若关于的不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是__________.
