3.3.2简单的线性规划问题 教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版必修5

“简单的线性规划”教学设计
衡越实验中学
设计思想
本课以问题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”的抽象过程。应用“数形结合”的思想方法，培养学生学会分析问题，解决问题的能力。
教学内容
《普通高中课程标准实验教科书（数学）》必修5（人教A版），第三章、第三节、第87－91页。
本节课是学生学习了二元一次不等式（组）所表示的平面区域及直线方程和简单函数的最值的基础上，借助二元一次函数与直线方程间的相互转化和数形结合思想的有关知识求二元一次函数的最值，也是对二院一次不等式（组）表示平面区域的知识升华。
线性规划的实际问题解决需要数学建模。对学生来说，上一节课已初步学习利用表格将文字较长、数据较多的应用题中的数据进行整理，设未知数，列出线性约束条件；本节课一方面要让学生经历数据整理过程，准确列出约束条件，还要分析数据写出线性目标函数，尝试运用该模型解决实际问题，在多次数学问题解决的全过程中加深对简单线性规划问题数学模型的理解。
教学目标
1.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2.会用图解法求线性目标函数的最大最小值。
3.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透划归、数形结合的数学思想。
4.启发学生从实际出发，体会二元一次不等式（组）建模过程。
四、学情分析
本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。从数学知识上看，问题涉及多个已知数据，多个字母变量、多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。所以，通过这种从点与数对的对应，线与方程的对应，到平面区域与不等式组的对应的过渡和提升，使学生进一步理解数形结合思想方法的实质及其重要意义。
教材分析
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，主要用于解决生活生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，是一种重要的数学模型，辅助人们进行科学管理，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出最优决策。简单的线性规划指的是目标函数含有两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。简单的线性规划关心两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何用他们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成。教科书利用生产安排的具体实例，引出线性规划等概念，介绍了线性规划问题的图解法，最后说明了在饮食搭配中的应用。
本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化、数形结合和化归思想。
六、教学重点、难点
重点：通过图解法求线性规划目标函数最优解，让学生体会数形结合的数学思想。
难点：从实际情境中抽象出简单的线性规划问题，建立数学模型并解决。
七、教学过程
教 学环 节 教学内容 师生互动 设计意图
一、 情景引入 创设情境： 同学们闭上眼睛憧憬一下未来，假如十年后你是某公司的生产设计工程师，坐在宽敞的办公室里，思考着如何安排公司的生产，你会考虑什么问题呢？ 学生自由表达 激发学生的学习兴趣同时介绍线性规划的实际应用。
二、 创设情境，提出问题 引例： 某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么 （即指甲、乙产品每天各生产几件？） 问题1： （1）该厂日生产安排受哪些条件约束？ （2）填表并根据表格设未知数，列出二元一次不等式组表示这些限约束条件. （3）画出该二元一次不等式组所表示的平面区域. 甲产品（1件）乙产品（1件）资源限制A配件B配件所需时间利润（万元）
(
产品
) (
消耗
量
) 学生读题，引导阅读理解后，列表——建立数学关系式——画平面区域 （教师巡视中关注有多少学生写出线性数学关系式，多少学生画出相应的平面区域，发现代表性练习进行展示） 引导学生读题，完成实际问题数学化的过程，承前一课时，使学生进一步熟练如何从实际问题中抽象出不等式组（约束条件）并用平面区域表示。
三、 分析问题，形成概念 问题2：可能的日安排有多少种，你能列举出来吗？ （0,0），（0,1），（0,2），（0,3）， （1,0），（1,1），（1,2），（1,3）， （2,0），（2,1），（2,2），（2,3）， （3,0），（3,1），（3,2）， （4,0），（4,1），（4,2）. 问题3：若每生产一件甲产品获利2万元，每生产一件乙产品获利3万元，如何安排生产利润最大？ 设工厂获得的利润为z（万元），则z＝2x＋3y 各种可能安排的利润如下表： xyz＝2x＋3y000013………41114214
把z＝2x＋3y变形为直线的斜截式方程，它表示斜率k=-2/3 ,截距b=z/3的直线系（一组平行直线），z与这条直线的纵截距有关。 分析：直线y=-2/3x向上平移，b变大，z也变大。所以，要求z的最大值，只需要使直线平移之后纵截距最大即可。 让学生先尝试从不等式组中找出满足题意的解，然后再结合PPT，让学生“读出”可能的日安排。 ①引导学生分别求出各种可能安排的利润（列举）；②以上过程计算繁琐，操作难度大引导学生调整探究思路，寻找解决问题的新方法。由利润函数解析式变形整理成直线斜截式，将求z的最大值转化为求直线纵截距的最大值。 让学生了解日生产方案的数学符号表示，不等式组的整数解（x,y）的实际意义，并给出“可行解”、“可行域”概念。 通过添加最优化问题转入对新知识的探究，借助多种表现形式培养学生数形结合思想。从笔算到计算，从点到直线再到平面区域，从一个函数到多个函数，从特殊到一般，从具体到抽象的认识过程，使学生经历数学知识形成、发现、发展的过程，获得问题的解决。
四、 反思过程，提炼方法 线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最优解问题。 可行解：满足约束条件的解。 可行域：可行解的集合。 最优解：使目标函数取得最大值或者最小值的可行解。 步骤： 列——根据题意，列出不等式组 画——画出可行域 移——求出目标函数，做出目标函数所表示的直线（通常选作过原点的直线），平移此直线并观察经过哪个点时函数有最大或最小值 求——求出点的坐标，进一步计算出最大或者最小值 答——回归实际问题并作答 教师规范解题过程：解线性规划问题的步骤：画、移、求、答。 通过例题的不断深入让学生进一步体会x、y的约束条件，以及几何法求最值的特点。
五、 运用新知，解决问题 1.某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t．每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过360 t．甲、乙两种产品各生产多少（精确到1 t），能使利润总额达到最大？ 要求：提取题目信息，并用表格形式呈现. 2.讨论下面的问题，设，式中的变量、满足下列条件， 求的最大值和最小值. 学生自己思考作答，然后口头交流，教师适当引导并点评。 两个当堂练习，一道是训练学生提取信息，整理有效信息，一道是纯数学问题，主要运用数形结合思想，熟练求出目标函数的最值。
六、 归纳总结，巩固提高 这节课学习了哪些知识？ 学到了哪些思考问题的方法？ 养成及时总结的习惯，将所学知识纳入已有认知结构，培养学生数学交流和表达能力。
七、 板书设计 3.3.2简单的线性规划 基本概念 线性约束条件 可行解 可行域 目标函数 线性规划 二、求解步骤 列-画-移-解-答三、示范解答
通过板书进一步体现本节课重点。