4.4对数函数 基础训练-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

4.4对数函数基础训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则的大小关系为
A． B．
C． D．
4．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则
A． B． C． D．
6．化简的值为（ ）
A． B． C． D．-1
7．设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
8．函数在的图像大致为
A． B． C． D．
二、多选题
9．设函数是定义在区间上的奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数单调递增区间为
C．当时，方程有三个不等实根
D．当且仅当时，方程有两个不等实根
11．给出下列三个等式：，，，下列函数中至少满足一个等式的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值
C．当时，的值域为R
D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是
三、填空题
13．若对数有意义，则实数a的取值范围是______．
14．函数的单调减区间是______.
15．已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是___________．
16．已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为________．
四、解答题
17．已知函数；
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数的单调性；
（3）若，求实数的取值范围.
18．已知函数.
（1）求的反函数；
（2）在同一坐标系上画出和的图象.
19．已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称，且．
(1)求实数a的值；
(2)，．求的最小值、最大值及对应的x的值．
参考答案：
1．C
【分析】由题可得，即得.
【详解】由题意得，
解得，
即函数的定义域是.
故选：C.
2．C
【分析】利用真数为可求得定点的坐标.
【详解】对于函数，令，可得，则，
因此，函数的图象过定点.
故选：C.
3．A
【分析】利用利用等中间值区分各个数值的大小．
【详解】；
；
．
故．
故选A．
【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．
4．A
【分析】先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果
【详解】由，得，
令，则，
在上递增，在上递减，
因为在定义域内为增函数，
所以的单调递减区间为，
故选：A
5．B
【分析】运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】则．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
6．A
【分析】运用对数的运算性质即可求解.
【详解】解析：
故选：A.
7．D
【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
8．B
【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．
【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
9．AC
【解析】根据题意，由奇函数的定义可得，由对数的运算性质可得的值，即可得的解析式，求出的定义域，分析可得的取值范围，即可得答案.
【详解】解：根据题意，函数是定义在区间上的奇函数，
则，
即，则，
解可得或（舍），
即，则，解可得，
故，即的取值范围为，
故选：AC.
10．AC
【分析】根据函数的解析式求出，再求出即可判断A；根据函数的图象，利用数形结合的数学思想即可判断B、C、D.
【详解】A：，所以，故A正确；
B：作出函数的图象，如图，由图象可知，函数在和上单调递增，
但不连续，所以不能用“”的符号，故B错误；
C：由图象可知，当时，函数与的图象有3个交点，方程有3个不等的实根，故C正确；
D：由图象可知，当或时，函数与的图象有2个交点，方程有2个不等的实根，故D错误；
故选：AC.
11．ABD
【分析】根据指数函数、对数函数、一次函数、幂函数的性质，对各个选项中的函数进行逐一判断，找出至少满足一个等式的函数，从而得出结论.
【详解】对A：，符合；
对B：，符合；
对C：不满足任何一个等式；
对D：，符合.
故选：ABD
【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数、一次函数、幂函数的性质的应用，属于中档题.
12．AC
【分析】A项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B项为最值问题，问一定举出反例即可；C项代入参数值即可求出函数的值域；D项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.
【详解】对于A，当时，，令，解得或，则的定义域为，故A正确；
对于B、C，当时，的值域为R，无最小值，故B错误，C正确；
对于D，若在区间上单调递增，则在上单调递增，且当时，，
则，解得，故D错误．
故选：AC．
13．
【分析】根据对数的底为不为零的正数，对数的真数大于零列不等式求解即可.
【详解】由题意，得，所以实数a的取值范围是．
故答案为：.
14．
【分析】求出函数的定义域根据复合函数单调性的判断方法可得答案.
【详解】由得函数的定义域为，
为开口向下、对称轴为的抛物线，
又为增函数，由复合函数单调性的判断方法得，
当时是减函数，
所以的单调减区间为.
故答案为：.
15．
【分析】由题可判断f(x)为偶函数，再根据单调性即可求解不等式.
【详解】根据题意的图象关于对称，则函数的图象关于y轴对称，即函数为偶函数，
由得，
又由函数在区间上单调递增，
则，
解可得：.
故答案为：.
16．
【分析】根据二次函数和对数函数的性质求得函数的值域，再由已知建立不等式，解之可得答案.
【详解】解：函数，
当时，函数是二次函数的一部分，二次函数的对称轴，函数的最小值为1．
当时．，所以，
若，使得成立，
可得，解得．
故答案为：.
17．（1）奇函数；（2）单调增区间为，；（3）或
【解析】（1）求出，比较与的关系即可得出奇偶性；
（2），则，利用复合函数的单调性判断；
（3）利用函数单调性解不等式即可．
【详解】解：（1）由得，或，
又，
故函数是奇函数；
（2）令，其在上单调递增，
又在上单调递增，
根据复合函数的单调性可知在上单调递增，
又根据（1）其为奇函数可得在上单调递增，
所以函数的单调增区间为，；
（3），且函数在上单调递增得，
解得或．
18．（1）；（2）答案见解析
【分析】（1）先求出原函数的值域，再由原函数的解析式反解出，将与互换，即可得出原函数的反函数及其定义域；
（2）作出的图象，根据与的图象关于对称，作出的图象.
【详解】（1），
由，得，
所以，的反函数为.
（2）函数图象如下：
【点睛】本题考查反函数的求法，考查原函数与反函数图象之间的关系，属于基础题.一般情况下，求反函数就是从原函数，解出，再互换与的位置，得，同时注意反函数的定义域，即为原函数的值域.
19．(1)2
(2)，，，．
【分析】（1）方法一：根据题意可得与互为反函数，所以，再根据求解即可；
方法二：根据关于直线对称的性质可得求解即可；
（2）根据对数的运算可得，令，再根据对数函数的取值范围与二次函数的最值求解即可.
（1）
方法一：因为的图象与的图象关于直线对称，所以与互为反函数，所以（，且），又，所以．
方法二：因为的图象与的图象关于直线对称，且，所以，所以．
（2）
．
令，，故，
则，
当时，，此时，
当时，，此时．