2021-2022学年广西贵港市港南区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
) (
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)
2021-2022学年广西贵港市港南区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共12小题，共36分）
下列不等式中，是一元一次不等式的是( )
A. B. C. D.
下列各数中，是无理数的是( )
A. B. C. D.
下列说法正确的是( )
A. 的立方根是 B. 的平方根是
C. 一定有平方根 D. 表示的算术平方根
无理数在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
关于，的方程组，已知，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
下列命题的逆命题不成立的是( )
A. 等边对等角
B. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C. 全等三角形的对应角相等
D. 三个角都是的三角形是等边三角形
如果，，那么下列不等式中不成立的是( )
A. B.
C. D.
一次环保知识竞赛共有道选择题，答对一题得分；答错或不答，每题扣分．要使总得分不少于分，则至少要答对几道题？若设答对道题，可列出的不等式为( )
A. B.
C. D.
对于任意实数、，定义一种运算：例如，请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是( )
A. B. C. D.
如图，、、三点共线，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
是的平分线，是的邻补角的平分线，，，则( )
A. B. C. D.
如图，在三角形中，，，于点，于点，则下列结论：；；≌其中结论正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本题共6小题，共18分）
的算术平方根是______．
当 ______时，分式的值为零．
一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则______．
不等式组的解集为______．
计算：______．
若方程组的解满足，则的的取值范围为______．
三、解答题（本题共8小题，共66分）
计算：；
解方程：．
如图，请用尺规在的边上找一点，使得的长最小．保留作图痕迹，不写作法
解不等式，并写出它的非负整数解．
有理数、在数轴上的对应点位置如图所示．
用“”连接、、、．
化简：．
为提高业主垃圾分类的意识，某小区物业决定在小区内安装垃圾分类的提示牌和垃圾箱，若购买个提示牌和个垃圾箱共需要元，购买个提示牌和个垃圾箱共需要元．
问提示牌和垃圾箱的单价各是多少元；
如果需要购买提示牌和垃圾箱共个，且费用不超过元，问该小区最多可以购买多少个垃圾箱？
用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”
已知：，，是的内角．
求证：，，中至少有一个内角小于或等于．
一个矩形的长，宽．
该矩形的面积______，周长______；
求的值．
新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍为大于的正整数，则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为倍角三角形．
在中，，，则为______倍角三角形．
如图，直线与直线相交于，，点、点分别是射线、上的动点；已知、的角平分线交于点，在中，如果有一个角是另一个角的倍，请求出的度数．
如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、，若为倍角三角形，试求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、不等式中含有两个未知数，不符合题意；
B、符合一元一次不等式的定义，故符合题意；
C、没有未知数，不符合题意；
D、未知数的最高次数是，不是，故不符合题意．
故选：．
根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是的不等式就可以．
本题考查一元一次不等式的定义，掌握其定义是解决此题关键．
2.【答案】
【解析】解：是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B.是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C.是循环小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D.是无理数，故此选项符合题意．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
3.【答案】
【解析】解：的立方根是，故本选项不合题意；
B.的平方根是，故本选项不合题意；
C.，
一定有平方根，故本选项符合题意；
D.的算术平方根是，故本选项不合题意；
故选：．
选项A根据立方根的定义判断即可；
选项B根据平方根的定义判断即可；
选项C根据平方根的定义判断即可；
选项D根据算术平方根的定义判断即．
本题考查了平方根，立方根以及算术平方根，熟记相关定义是解答本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
，
即在和之间，
故选：．
根据算术平方根估算无理数的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
即的取值范围为，
故选：．
两方程相加、化简可得，结合知，据此可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，根据方程组得出，并结合的取值范围得出的范围是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、等边对等角的逆命题是等角对等边，逆命题成立，不符合题意；
B、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题是到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，逆命题成立，不符合题意；
C、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形全等，逆命题不成立，符合题意；
D、三个角都是的三角形是等边三角形的逆命题是等边三角形的三个角都是，逆命题成立，不符合题意；
故选：．
分别写出各个命题的逆命题，根据等腰三角形的判定定理、线段垂直平分线的判定定理、全等三角形的判定定理、等边三角形的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
7.【答案】
【解析】解：、由，得到：，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、由，得到：，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、由，得到：，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、由，得到：，原变形错误，故此选项符合题意．
故选：．
根据不等式的性质解答即可．
本题考查了不等式的性质，解题的关键是明确不等式的性质是不等式变形的主要依据．要认真弄清不等式的性质与等式的性质的异同，特别是在不等式两边同乘以或除以同一个数时，不仅要考虑这个数是否等于，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
8.【答案】
【解析】解：设答对道题，则答错或不答的题数为道，
则．
故选：．
设答对的题数为道，则答错或不答的题数为道，根据总分答对题数答错或不答题数，结合总得分不少于分，即可得出关于的一元一次不等式．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式的知识，解答本题的关键是找到不等关系．
9.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得，
该不等式的正整数解为：，
故选：．
按照定义写出不等式并求解，再求出该不等式的整数解．
此题考查了利用新定义解决不等式问题的能力，关键是能根据定义写出不等式并求解．
10.【答案】
【解析】解：是的外角，，，
，
故选：．
直接利用三角形外角的性质解答即可．
此题考查了三角形外角的性质，解题的关键是：熟记外角的性质即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．
11.【答案】
【解析】解：是的角平分线，，
，
，
是的角平分线，，
，
，
故选：．
根据角平分线的性质求出与的度数，再根据三角形内角和定理即可求解．
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，于，于，
点在的平分线上；，
正确，点在的平分线上，
≌．
．
正确，点在的平分线上；
．
又，
．
．
．
正确，为等边三角形，
．
又于，于，
．
又，
≌．
故选：．
根据已知，易证≌，所以；根据等腰三角形的性质知，，，所以，内错角相等，所以；根据的结论，易证正确．
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13.【答案】
【解析】解：的算术平方根是：．
故答案为：．
根据算术平方根的概念求解即可．
本题考查了算术平方根，注意一个正数的平方根有两个，正的平方根就是算术平方根．
14.【答案】
【解析】解：当分式的值为零时，且，
解得．
故答案为：．
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零解决此题．
本题考查了分式值为零的条件．分式值为零的个条件：分子等于零；且分母不等于零．
15.【答案】
【解析】解：一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，这两个三角形全等，
，，
则．
故答案为：．
直接利用全等三角形的性质得出，的值进而得出答案．
此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出，的值是解题关键．
16.【答案】
【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
17.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
利用分式的加减运算的法则进行运算即可．
本题主要考查分式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】
【解析】解：，
，得，
，
，
解得，，
故答案为：．
根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含的代数式表示出，再根据，即可求得的取值范围，本题得以解决．
本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确接一元一次不等式的方法．
19.【答案】解：原式
；
方程两边都乘以，得，
解得：，
检验：当时，，
分式方程的解为．
【解析】先计算乘方和绝对值，再计算加减即可；
按解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查了实数的运算和解分式方程，解此题的关键是熟练掌握运算法则．
20.【答案】解：如图，点为所作．

【解析】过点作于，利用垂线段最短得到点满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
21.【答案】解：去分母，得，，
去括号得，，
移项得，
合并同类项得，，
化系数为得，．
原不等式的非负整数解为：，，．
【解析】先解一元一次不等式，求出不等式的解集，然后确定其非负整数解．
本题考查了一元一次不等式的整数解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．
22.【答案】解：从数轴可知：，
；
从数轴可知：，
．
【解析】根据数轴得出，再比较大小即可；
根据数轴得出，去掉绝对值符号，再合并同类项即可．
本题考查了数轴，绝对值，合并同类项法则，实数的大小比较等知识点，能根据数轴得出是解此题的关键．
23.【答案】解：设提示牌的单价是元，垃圾箱的单价是元，
，
解得，
答：提示牌的单价是元，垃圾箱的单价是元；
设购买垃圾箱个，则购买提示牌个，
费用不超过元，
，
解得，
为正整数，
的最大值为，
答：该小区最多可购买个垃圾箱．
【解析】根据购买个提示牌和个垃圾箱共需要元，购买个提示牌和个垃圾箱共需要元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据购买提示牌和垃圾箱共个，费用不超过元，可以列出相应的不等式，从而可以求得垃圾箱个数的取值范围，从而可以得到小区最多可以购买多少个垃圾箱．
本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，写出相应的不等式．
24.【答案】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于，
，
这与三角形的三内角和为相矛盾．
假设不成立，
三角形三内角中至少有一个内角小于或等于度．
【解析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．
本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
25.【答案】
【解析】解：矩形的面积；
周长．
故答案为：；．
由得：，，
原式
．
根据矩形面积公式和周长公式列式计算即可；
先求出和的值，再利用完全平方公式将原式变形为：，最后将和的值代入计算即可．
此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的混合运算法则和完全平方公式是解题关键．
26.【答案】解：；
解：，
．
又平分，平分，
，
．
当时，，
；
当时，，
；
当时，，
；
当时，，
，
．
综上，在中当一个角是另一个角的倍时，等于、、或；
解：平分，平分，
，，
，
；
又平分，
，
；
得：．
若为倍角三角形：
若，，
，
；
若，
，
不符合题意，舍去；
若，，
；
若，，，
不符合题意，舍去；
综上所述，等于或时，为倍角三角形．
【解析】解：，，
，
，
为倍角三角形，
故答案为：；
见答案。
由，可知，再根据倍角三角形的定义可得结论．
根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果．
首先证明，分四种情形分别求出即可．
本题考查三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定义倍角三角形的意义和分类讨论是解决问题的基础和关键．
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