苏教版（2019）高中数学必修第二册 9.4.1 平面几何中的向量方法 教学设计

第九章　平面向量
9.4.1　平面几何中的向量方法
向量既是代数的对象，又是几何的对象．作为代数对象，向量可以运算．作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、角度等几何对象；向量有大小，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题．向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量“数”的特征，方向反映了向量“形”的特征，是数学中数形结合思想的典型体现．教学中应加强几何直观，突出几何直观对理解抽象数学概念的作用．要强调向量概念的几何背景，理解向量运算(加、减、数乘、数量积)及其性质的几何意义．在教学中要突出数形结合思想，注意从形和数两个方面来理解、研究向量及其运算．
课程目标 学科素养
1. 会用向量方法计算或证明几何中的相关问题. 2. 体会向量在解决数学和实际问题中的作用. a逻辑推理: 通过用向量方法证明平面几何问题，提升逻辑推理素养. b数学建模:通过用向量方法解决平面几何问题，培养数学建模素养.
1.教学重点：会用向量方法计算或证明几何中的相关问题.
2.教学难点：体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
多媒体调试、讲义分发。
向量理论的发展有着深刻的几何背景.这一源泉最早可追溯到莱布尼兹的位置几何的概念.莱布尼兹认为代数仅仅能表达未定的数或量值，不能直接表达位置、角度和运动，利用代数运算来分析一个图形的特点、寻找方便的几何证明和构造有时是很困难的.鉴于此，他提出了一个“新代数”，其中几何实体可以用符号来表示，并且这些符号可以直接进行运算，它不需要大量的乘法，不需要添加令人困惑的太多点和线.这就是向量.
问题1　证明线线平行、点共线问题，可用向量的哪些知识？
a∥b a＝λb(b≠0) x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)).
问题2　证明垂直问题，可用向量的哪些知识？
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)).
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
题型一　利用平面向量证明平面几何问题
【例1】　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
证明　法一　设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0.
又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，
所以·＝·
＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
法二　如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，
则＝(2，1)，＝(1，－2).
因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0.
所以⊥，即AF⊥DE.
规律方法　利用向量解决垂直问题的方法和途径
方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.
途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式.
【变式训练】　在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC.
证明　∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，
CD＝DA＝AB，
故可设＝e1，＝e2，|e1|＝|e2|，则＝2e2，
∴＝＋＝e1＋e2，
＝－＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2，
而·＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e
＝|e1|2－|e2|2＝0，
∴⊥，即AC⊥BC.
题型二　利用平面向量求几何中的长度问题
【例2】　如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.　转化为求解向量的模
解　设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，
而||＝|a－b|＝＝＝＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝，
又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴||＝，即AC＝.
规律方法　用向量法求长度的策略
(1)利用图形特点选择基底，用公式|a|＝求解.
(2)建立坐标系，确定相应向量的坐标a＝(x，y)，则|a|＝.
题型三　平面几何中的平行(或共线)问题
【例3】　如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.
求证：点E，O，F在同一直线上.
证明　设＝m，＝n，
由＝＝，
知E，F分别是CD，AB的三等分点，
∴＝＋＝＋＝－m＋(m＋n)＝m＋n，
＝＋＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n.
∴＝.
又O为和的公共点，
故点E，O，F在同一直线上.
【跟踪训练】　在△ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：MN∥BC.
证明　设＝a，＝b，
则＝－＝b－a.
又AM＝2MB，AN＝2NC.
所以＝a，＝b.
在△AMN中，＝－＝(b－a)，
所以＝，即与共线，故MN∥BC.
1.在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为(　　)
A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
解析　由＋＝0，得＝－＝，∴四边形ABCD为平行四边形.又·＝0知，对角线互相垂直，故四边形为菱形，故选D.
答案　D
2.在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||等于(　　)
A.2 B.1 C. D.4
解析　∵＝＋(＋)，
∴－＝(＋)，＝(＋)，
∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线.∴||＝1.
答案　B
3.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长为________.
解析　BC中点为D，＝，
∴||＝ .
答案　
4.正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值.
解　以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：
＝，＝，
故cos∠DOE＝＝＝.
即cos∠DOE的值为.
利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明.
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