苏教版（2019）高中数学必修第二册 9.4.1 平面几何中的向量方法 练习（解析版）

9.4.1　平面几何中的向量方法
基础达标
一、选择题
1.在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M的轨迹必通过△ABC的(　　)
A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心
2.在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC的中点，则·＝(　　)
A. B. C. D.
3.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·的值是(　　)
A.－ B.－ C.－ D.－
4.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于(　　)
A. B.2 C.3 D.2
5.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)
A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高线的交点
二、填空题
6.如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________.
7.在直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝________.
8.已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)·＝________.
9.(多填题)在四边形ABCD中，若＝(1，2)，＝(－4，2)，则向量与的夹角为________，四边形ABCD的面积为________.
三、解答题
10.已知A(－1，2)，B(0，－2)，且2||＝3||，若点D在线段AB上，求点D的坐标.
11.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
能力提升
12.如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝(　　)
A. B. C. D.
13.(多填题)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若＝x＋y，则x＝________，y＝________.
14.已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB.
9.4.1　平面几何中的向量方法答案
基础达标
一、选择题
1.在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M的轨迹必通过△ABC的(　　)
A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心
【解析】　假设BC的中点是O，则2－2＝(＋)·(－)＝2·＝2·，即(－)·＝·＝0，所以⊥，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，选C.
【答案】　C
2.在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC的中点，则·＝(　　)
A. B. C. D.
【解析】　建立如图平面直角坐标系，则A，C，B.
∴E点坐标为，
∴＝(，0)，＝，
∴·＝×＝.
【答案】　D
3.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·的值是(　　)
A.－ B.－ C.－ D.－
【解析】　＝＋，＝＋，且＝－，
所以·＝(＋)·(＋)＝2－2＝－1＝－.
【答案】　B
4.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于(　　)
A. B.2 C.3 D.2
【解析】　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.
设||＝a(a>0)，则A(0，0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2，0)，
所以＝(2，－a)，＝(4，a)，
因为⊥，所以·＝0，
所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8.
所以a＝2，所以＝(2，－2)，
所以||＝＝2.
【答案】　B
5.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)
A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高线的交点
【解析】　∵·＝·，
∴(－)·＝0.∴·＝0.
∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，
∴O为三条高线的交点.
【答案】　D
二、填空题
6.如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________.
【解析】　因为点O是A，B的中点，所以＋＝2，
设||＝x，则||＝1－x(0≤x≤1).
所以(＋)·＝2·＝－2x(1－x)＝2－.
所以当x＝时，(＋)·取到最小值－.
【答案】　－
7.在直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝________.
【解析】　因为||＝5，点A(0，1)在y轴上，
所以可取点D(0，5)，则点C在∠BOD的平分线上，
且|OB|＝|OD|，
所以与向量＋同向，
＋＝(－3，4)＋(0，5)＝(－3，9)，
设＝λ(＋)＝λ(－3，9)(λ>0).
又||＝2，所以λ＝，
所以＝.
【答案】　
8.已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)·＝________.
【解析】　如图，以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，C(2，1).
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴E，F(1，1)，
∴＋＝，＝(－2，1)，
∴(＋)·＝3×(－2)＋×1＝－.
【答案】　－
9.(多填题)在四边形ABCD中，若＝(1，2)，＝(－4，2)，则向量与的夹角为________，四边形ABCD的面积为________.
【解析】　由·＝1×(－4)＋2×2＝0知⊥，夹角为.
又∵||＝，||＝＝2，
∴S＝||||＝××2＝5.
【答案】　　5
三、解答题
10.已知A(－1，2)，B(0，－2)，且2||＝3||，若点D在线段AB上，求点D的坐标.
解　设D(x，y)，由题意知，2||＝3||，
且点D在线段AB上，所以2＝3，
即2(x＋1，y－2)＝3(－x，－2－y).
所以解得
故D点坐标为.
11.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
解　设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，
则a＝e＋c，b＝e＋d，
所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2，
由条件知：a2＝c2－d2＋b2，
所以e·c＝e·d，即e·(c－d)＝0，即·＝0，
所以AD⊥BC.
能力提升
12.如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝(　　)
A. B. C. D.
【解析】　设AB的中点是D.
∵＋＝2＝－，
∴＝－，
∴P为CD的五等分点，
∴△ABP的面积为△ABC的面积的.
【答案】　A
13.(多填题)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若＝x＋y，则x＝________，y＝________.
【解析】　＝x＋y，
∴＋＝x＋y，
∴＝(x－1)＋y.
又∵⊥，
∴·＝(x－1)2，
设||＝1，则由题知，||＝||＝.
又∵∠BED＝60°，∴||＝.
又∵与的夹角为45°，
∴由·＝(x－1)2得×1×cos 45°＝(x－1)×1，
∴x＝＋1.
同理，在＝(x－1)＋y中两边同乘，由数量积得y＝.
【答案】　＋1　
14.已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB.
证明　建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，则E(1，2)，F(0，1).
(1)＝(－1，2)，＝(－2，－1).
∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴⊥，即BE⊥CF.
(2)设点P坐标为(x，y)，则＝(x，y－1)，
＝(2，1)，∵∥，
∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2，
同理，由∥，得y＝－2x＋4，
由得
∴点P的坐标为.
∴||＝＝2＝||，即AP＝AB.
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