苏教版（2019）高中数学必修第二册 9.4.2向量在物理中的应用举例 教学设计

第九章　平面向量
　9.4.2　向量在物理中的应用举例
力、速度、位移等在实际生活中随处可见，这些都是向量的实际背景，也可以用向量加以刻画和描述．本章突出向量的实际背景与应用，这样有助于学生认识到向量与实际生活的紧密联系，以及向量在解决实际问题中的广泛应用，从中感受数学的价值，学会用数学的思维方式去观察、分析现实世界，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，发展数学应用意识．
课程目标 学科素养
会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题。 体会向量在解决数学和实际问题中的作用. a数学建模: 通过用向量的方法解决力学问题及其他物理问题. b数学运算: 通过用向量的方法解决物理问题提升数学运算素养.
1.教学重点：通过用向量的方法解决物理问题.
2.教学难点：探究物理中的实际问题.
多媒体调试、讲义分发。
　结合下列情境思考问题．
问题1　图1中两个人提一重物怎样提最省力？图2中一个人静止地垂挂在单杠上，手臂的拉力与手臂握杆的姿势有什么关系？
提示　两人手臂间的夹角小些省力，运动员两手臂间的距离越大，夹角越大越费力.
问题2　向量的数量积与功有什么联系？
提示　物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.
1.向量与力
向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.而力是既有大小和方向，又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时，往往把向量平移到同一作用点上.
2.向量与速度、加速度、位移
速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算.
3.向量与功、动量
力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F和s的夹角).动量mν实际上是数乘向量.
题型一　向量的线性运算在物理中的应用
【例1】　在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.
解　如图，两根绳子的拉力之和＋＝，且||＝||＝300 N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.
在△OAC中，∠AOC＝30°，∠OAC＝90°，
从而||＝||·cos 30°＝150(N)，
||＝||·sin 30°＝150(N)，
所以||＝||＝150(N).
答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.
规律方法　利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算.第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.
【训练1】　河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 km/h，求小船的实际航行速度.
解　设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作＝a，＝b，以，为邻边作矩形OACB，连接，如图，则＝a＋b，且即为小船的实际航行速度.
∴||＝＝＝20(km/h)，
tan ∠AOC＝＝，∴∠AOC＝60°，
∴小船的实际航行速度大小为20 km/h，按北偏东30°的方向航行.
题型二　向量的数量积在物理中的应用
【例2】　质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离.(g＝9.8 N/kg)
(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；
(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？
解　(1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为
WF＝F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)；
支持力FN与位移方向垂直，不做功，
所以WN＝FN·s＝0；
重力G对物体所做的功为
WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝2.0×9.8×2.0×cos 120°＝－19.6(J).
(2)物体所受各力对物体做功的代数和为
W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J).
规律方法　向量在物理学中的应用一般涉及力与速度的合力与分解，充分借助向量的平行四边形法则把物理问题抽象为数学问题，物理上的功实质上就是力与位移两向量的数量积.
【训练2】　已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为(　　)
A.7 B.10 C.14 D.70
解析　F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70.
答案　D
1.一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　)
A.6 B.2 C.2 D.2
解析　由题意知F3＝－(F1＋F2)，
所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2F1·F2＝4＋16＝20，
∴|F3|＝2.
答案　C
2.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为(　　)
A.v1－v2 B.v2－v1
C.v1＋v2 D.|v1|－|v2|
解析　由题易知，选项C正确.
答案　C
3.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N.
解析　设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°角，
且|F1|＝|F2|.
∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N，
∴每根绳子的拉力都为10 N.
答案　10
4.一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ min.
解析　∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，
|v1|＝20 km/h，|v2|＝12 km/h，
∴|v实际|＝＝＝16(km/h).
∴所需时间t＝＝0.05(h)＝3(min).
∴该船到达B处所需的时间为3 min.
答案　3
在向量概念教学中，应根据学生的生活经验，创设丰富的情境．例如，物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念都是向量概念的原型，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．教学中要展现并让学生经历这个抽象的过程．同时，注重向量模型的运用，引导现实解决一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．
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