苏教版（2019）高中数学必修第二册 9.4.2 向量在物理中的应用举例 练习（解析版）

9.4.2　向量在物理中的应用举例
一、选择题
1.两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为(　　)
A.40 N B.10 N
C.20 N D.10 N
2.已知作用在点A的三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)且A(1，1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为(　　)
A.(9，1) B.(1，9)
C.(9，0) D.(0，9)
3.质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位).设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为(　　)
A.(－2，4) B.(－30，25)
C.(10，－5) D.(5，－10)
4.关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是(　　)
A.船垂直到达对岸所用时间最少
B.当船速v的方向与河垂直时用时最少
C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样
D.以上说法都不正确
5.已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为(　　)
A.5 N B.5 N C.10 N D.5 N
二、填空题
6.飞机以300 km/h的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和垂直方向分解，则飞机在水平方向的分速度大小是________ km/h.
7.一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5).在这个过程中三个力的合力所做的功为________.
8.一个重20 N的物体从倾斜角为θ，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是10 J，则θ＝________.
三、解答题
9.如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受绳子的拉力的大小(忽略绳子质量).
10.已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0).
(1)求F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功.
11.河水的流速为2 m/s，一艘小船以10 m/s的速度沿垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为________ m/s.
12.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.
13.(多选题)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是(　　)
A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小
C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变
14.(多填题)一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度横渡，则船本身的速度大小为________，船航行的方向为________.
9.4.2　向量在物理中的应用举例答案
一、选择题
1.两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为(　　)
A.40 N B.10 N
C.20 N D.10 N
【解析】　设夹角90°时，合力为F，
|F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝10，
当θ＝120°，由平行四边形法则知：
|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 N.
【答案】　B
2.已知作用在点A的三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)且A(1，1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为(　　)
A.(9，1) B.(1，9)
C.(9，0) D.(0，9)
【解析】　F＝F1＋F2＋F3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，设合力F的终点为P(x，y)，则＝＋F＝(1，1)＋(8，0)＝(9，1).
【答案】　A
3.质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位).设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为(　　)
A.(－2，4) B.(－30，25)
C.(10，－5) D.(5，－10)
【解析】　设(－10，10)为A，5秒后P点的坐标为A1(x，y)，则＝(x＋10，y－10)，
由题意有＝5ν.
即(x＋10，y－10)＝(20，－15)
所以解得
【答案】　C
4.关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是(　　)
A.船垂直到达对岸所用时间最少
B.当船速v的方向与河垂直时用时最少
C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样
D.以上说法都不正确
【解析】　根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最少.
【答案】　B
5.已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为(　　)
A.5 N B.5 N C.10 N D.5 N
【解析】　如图，有|F1|＝|F|cos 60°＝10×＝5(N).
【答案】　B
二、填空题
6.飞机以300 km/h的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和垂直方向分解，则飞机在水平方向的分速度大小是________ km/h.
【解析】　如图所示，
|v1|＝|v|cos 30°＝300×＝150(km/h).
【答案】　150
7.一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5).在这个过程中三个力的合力所做的功为________.
【解析】　∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，
∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8).
又∵＝(0－1，5－1)＝(－1，4)，
∴F·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，
即三个力的合力做的功等于－40.
【答案】　－40
8.一个重20 N的物体从倾斜角为θ，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是10 J，则θ＝________.
【解析】　∵WG＝G·s＝|G||s|·cos(90°－θ)
＝20×1×cos(90°－θ)＝10(J)，
∴cos(90°－θ)＝，∴θ＝30°.
【答案】　30°
三、解答题
9.如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受绳子的拉力的大小(忽略绳子质量).
解　设A，B处所受绳子的拉力分别为F1，F2，物体的重力用F表示，则F1＋F2＝F.以重力作用点C为F1，F2的始点，作平行四边形CFWE，则CW为对角线，＝F2，＝F1，＝F，
∠ECW＝180°－150°＝30°，
∠FCW＝180°－120°＝60°，
∴∠FCE＝90°.
∴四边形CFWE为矩形.
∴||＝||cos 30°＝10×＝5(N).
||＝||cos 60°＝10×＝5(N).
∴A处受绳子的拉力大小为5 N，B处受绳子的拉力大小为5 N.
10.已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0).
(1)求F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功.
解　(1)＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)，
W1＝F1·＝(3，4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J).
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J.
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·
＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)
＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)
＝－117＋15＝－102(J).
∴合力F对质点所做的功为－102 J.
11.河水的流速为2 m/s，一艘小船以10 m/s的速度沿垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为________ m/s.
【解析】　设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则v＝v1＋v2，|v1|＝2 m/s，|v|＝10 m/s.
所以|v2|＝|v－v1|＝
＝＝＝2(m/s).
【答案】　2
12.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.
解　设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a，设实际风速为v，那么此时人感到风速为v－a，
设＝－a，＝－2a，＝v，因为＋＝，
所以＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速，
因为＋＝，所以＝v－2a.
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.
由题意：∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，
从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO＝PB＝a，
即：|v|＝a.
所以实际风速是每小时a千米的西北风.
13.(多选题)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是(　　)
A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小
C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变
【解析】　设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ(0<θ<).则|F|cos θ＝|f|，∴|F|＝.
∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大.
∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小.
【答案】　AC
14.(多填题)一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度横渡，则船本身的速度大小为________，船航行的方向为________.
【解析】　如图，设水流的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.可求得a的方向是北偏东30°，a的大小为3 km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为2 km/h.船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，由数形结合知，v3的方向是北偏西60°，大小是 km/h.
【答案】　 km/h　北偏西60°
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