苏教版（2019）高中数学必修第二册 第9章 平面向量 单元综合测试A（含解析）

单元综合测试A
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)
1.下列量不是向量的是（ ）
A.力
B.速度
C.质量
D.加速度
2.已知都是单位向量,则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.设分别为的三边的中点,则（ ）
A.
B.
C.
D.
4.已知向量,则（ ）
A.
B.
C.
D.
5.已知向量,则与的夹角为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.已知两点,与平行且方向相反的|向量可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.已知与的夹角为,则（ ）
A.12
B.3
C.6
D.3
8.已知向量,且,则实数（ ）
A.
B.0
C.3
D.
9.已知向量不共线,实数满足,则的值为（ ）
A.3
B.
C.
D.2
10.若向量满足:,则（ ）
A.2
B.
C.1
D.
11.若,则（ ）
A.
B.
C.2
D.
12.如图,在中,边上的高为,已知,,则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分）
13.已知三个力,)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力,则______.
14.已知,则______.
15.已知向量满足,且,则______.
16.平面向量,且与的夹角等于与的夹角,则______.
三、解答题(共70分)
17.(10分)(1)已知,求与垂直的单位向量的坐标;
(2)若,且与的夹角为,求的值.
18.(12分)已知在梯形中,.
求证:.
19.(12分)设向量满足及.
(1)求的夹角;
(2)求的值.
20.(12分)已知是一组基底,
(1)若与共线,求的值;
(2)若是夹角为的单位向量,当时,求的最大值.
21.(12分)已知是同一平面内的三个向量,其中.
(1)若,且,求的坐标;
(2)若,且与垂直,求与的夹角.
22.(12分)已知向量满足
(1)求关于的解析式;
(2)若,求实数的值;
(3)求向量与夹角的最大值.
单元综合测试A答案
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)
1.下列量不是向量的是（ ）
A.力
B.速度
C.质量
D.加速度
答案：C
解析：质量只有大小,没有方向,不是向量.
2.已知都是单位向量,则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：因为都是单位向量,所以,所以,即.
3.设分别为的三边的中点,则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：
4.已知向量,则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：由于,于是
5.已知向量,则与的夹角为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：设与的夹角为,则,又
6.已知两点,与平行且方向相反的|向量可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：∵.D正确.
7.已知与的夹角为,则（ ）
A.12
B.3
C.6
D.3
答案：C
解析：由题意得,且,故.
8.已知向量,且,则实数（ ）
A.
B.0
C.3
D.
答案：C
解析：因为,所以,3).因为,
所以0,解得.
9.已知向量不共线,实数满足,则的值为（ ）
A.3
B.
C.
D.2
答案：A
解析：由平面向量基本定理得解得
10.若向量满足:,则（ ）
A.2
B.
C.1
D.
答案：B
解析：∵,
∴
11.若,则（ ）
A.
B.
C.2
D.
答案：A
解析：因为,所以.又因为,所以.解得
12.如图,在中,边上的高为,已知,,则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：因为 ,所以,所以.
又因为,所以,
所以,所以.
所以
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分）
13.已知三个力,)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力,则______.
答案：
解析：由力的平衡原理知,
14.已知,则______.
答案：
解析：因为,12),所以.
15.已知向量满足,且,则______.
答案：
解析：,∴,∴.又
16.平面向量,且与的夹角等于与的夹角,则______.
答案：2
解析：∵向量,∴.
∴,
∵与的夹角等于与的夹角,
∴,角,∴,解得
三、解答题(共70分)
17.(10分)(1)已知,求与垂直的单位向量的坐标;
(2)若,且与的夹角为,求的值.
答案：见解析
解析：(1)设与垂直的单位向量为,则,解得
所以或.
(2),所以.
18.(12分)已知在梯形中,.
求证:.
答案：见解析
解析：以为原点,所在直线为轴,建立直角坐标系,
如图,设,则.
∴,,∴
19.(12分)设向量满足及.
(1)求的夹角;
(2)求的值.
答案：见解析
解析：(1)由已知得,即,又,代入得,
∴,即.又.
(2)由知,,∴.
20.(12分)已知是一组基底,
(1)若与共线,求的值;
(2)若是夹角为的单位向量,当时,求的最大值.
答案：见解析
解析：(1)∵,∴存在实数,使得,
即,∴,解得.
(2)∵是夹角为的单位向量,∴,∴,
设,它在区间上是减函数,∴时,取最大值.
21.(12分)已知是同一平面内的三个向量,其中.
(1)若,且,求的坐标;
(2)若,且与垂直,求与的夹角.
答案：见解析
解析：(1)设,∵.①又∵.②
由①②联立,解得,或.∴或.
(2)由已知,∴,
又,解得,∴.∵,∴与的夹角.
22.(12分)已知向量满足
(1)求关于的解析式;
(2)若,求实数的值;
(3)求向量与夹角的最大值.
答案：见解析
解析：(1)由已知,有,
即.
又∵,∴,即.
(2)∵,∴,则与同向.∵,
∴,整理得,∴.∴当时,.
(3)设的夹角为,则,
当,即时,取取小值.又.
即向量与夹角的最大值为 .
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