人教B版高中数学选择性必修第一册 2.2.4均值不等式及其应用（解析版）

提升训练2．7均值不等式及其应用
一、选择题
1．已知x＞0，函数的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
2．已知，则取最大值时的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知，都为正实数，，则的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知正实数
A．b满足a+b=ab，则ab的最小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
6．若，则的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
7．若正数满足，则的最小值为
A．
B．
C．
D．3
8．若两个正实数x，y满足，则2x+y的最小值为（ ）
A．9
B．7
C．5
D．3
9．若正实数满足，则（ ）
A．有最大值
B．有最小值
C．有最小值
D．有最大值
10．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若正数，满足，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．设，，均为正实数，则三个数，，（ ）
A．都大于2
B．都小于2
C．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2
二、填空题
13．若，，，则的最大值为__________．
14．若，则的最小值为______．
15．若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________．
16．若，且，则的最小值为_______．
三、解答题
17．已知正实数a，b满足，求的最小值．
18．设都是正数，且，求的最小值．
19．已知，求证：．
20．某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为30，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
21．已知，．
（1）求的最小值；
（2）是否存在，满足？并说明理由．
22．设a>0，b>0，且证明：
（1）a＋b≥2；
（2）a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
提升训练2．7均值不等式及其应用
一、选择题
1．已知x＞0，函数的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【解析】
∵x＞0，
∴函数，当且仅当x=3时取等号，
∴y的最小值是6．
故选：C．
2．已知，则取最大值时的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
因为，所以，
所以，
当且仅当时，即，等号成立．
故答案选．
3．的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是，故选B．
4．已知，都为正实数，，则的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
因为，都为正实数，，
所以，
当且仅当，即时，取最大值．
故选B
5．已知正实数
A．b满足a+b=ab，则ab的最小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
【答案】D
【解析】
∵ab=a+b≥2，≥2，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，故ab的最小值为4，
故选：D．
6．若，则的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】C
【解析】
，当且仅当时取等号，故的最小值为，选C．
7．若正数满足，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【解析】
由题意，因为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，故选A．
8．若两个正实数x，y满足，则2x+y的最小值为（ ）
A．9
B．7
C．5
D．3
【答案】A
【解析】
两个正实数满足，
则，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为．
故选A．
9．若正实数满足，则（ ）
A．有最大值
B．有最小值
C．有最小值
D．有最大值
【答案】D
【解析】
对于A，取，则，故A错误；
对于B，取，则，故B错误；
对于C，取，则，故C错误；
对于D，因为，又，故，即，当且仅当时等号成立，故D正确．
10．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由方程组得x+b（1-ax）=1，所以方程（1-ab）x=1-b无解．
所以当ab=1，且a，b不同时为1，其中、，
∴，即．
故选：B
11．若正数，满足，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由得：，即：
，
当且仅当，即时取等号
本题正确选项：
12．设，，均为正实数，则三个数，，（ ）
A．都大于2
B．都小于2
C．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2
【答案】D
【解析】
假设，，均小于，则，
又因为，，，故，
这与矛盾，
故假设不正确，即，，至少有一个不小于．故选D．
二、填空题
13．若，，，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
因为，，，
所以，
当且仅当时，取等号；
故答案为
14．若，则的最小值为______．
【答案】8
【解析】
因为，所以，当且仅当时取等号，即的最小值为8．
15．若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________．
【答案】
【解析】
由已知得，，所以，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以该矩形的周长的最大值为．
故答案为．
16．若，且，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】
由a2+2ab﹣3b2＝1得（a+3b）（a﹣b）＝1，
令x＝a+3b，y＝a﹣b，则xy＝1且a，b，
所以a2+b2＝（）2+（）2，
当且仅当x2，y2时取等．
故答案为．
三、解答题
17．已知正实数a，b满足，求的最小值．
【答案】
【解析】
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为．
18．设都是正数，且，求的最小值．
【答案】．
【解析】
∵，∴．
∴
．
当且仅当，即时，取“＝”．
又∵，∴．
∴的最小值为．
19．已知，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
证明：
，
，
，
上面三式相加，得：
，
所以，．
20．某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为30，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
【答案】房屋正面长为6，侧面宽为5时，总造价最低为59800元．
【解析】
令房屋地面的正面长为，侧面宽为，总造价为元，
则，
，
∵，
∴，
当且仅当即时取等号，
答：房屋正面长为6，侧面宽为5时，总造价最低为59800元．
21．已知，．
（1）求的最小值；
（2）是否存在，满足？并说明理由．
【答案】（1）；（2）不存在．
【解析】
（1），
当且仅当时，等号成立．
所以的最小值为2．
（2）不存在．
因为，
所以，又，所以．
从而有，
因此不存在，满足．
22．设a>0，b>0，且证明：
（1）a＋b≥2；
（2）a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
证明：由，a>0，b>0，得ab＝1．
（1）由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，
即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．
（2）假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，
则由a2＋a<2及a>0，得0同理，0这与ab＝1矛盾．
故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．