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学考达标练：均值不等式及其应用
1．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是( )
A.＋<1 B.＋≥1
C.＋<2 D.＋≥2
2．若0A．1 B.
C. D.
3．已知x≥，则有( )
A．最大值 B．最小值
C．最大值1 D．最小值1
4．若x>0，y>0，且＋＝1，则xy有( )
A．最大值64 B．最小值
C．最小值 D．最小值64
5．已知实数a，b，c满足条件a>b≥c且a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值( )
A．一定是正数 B．一定是负数
C．可能是0 D．正负不确定
6．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是________．
7．若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为________．
8．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．
9．已知a，b，c均为正实数， 求证：＋＋≥3.
10．(1)已知x<3，求＋x的最大值；
(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值．
参考答案
1.解析：选B 因为ab≤2≤2＝4，所以＋≥2≥2＝1.
2.解析：选C 因为00，所以x＝×2x≤×＝，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立，故选C.
3.解析：选D ＝＝，
因为x≥，所以x－2>0，所以≥·2＝1.当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．故原式有最小值为1.
4.解析：选D 由题意xy＝xy＝2y＋8x≥2＝8，∴≥8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.
5.解析：选B 因为a>b≥c且a＋b＋c＝0，abc>0，所以a>0，b<0，c<0，且a＝－(b＋c)，所以＋＋＝－＋＋，因为b<0，c<0，所以b＋c≤－2，所以－≤，又＋≤－2，所以－＋＋≤－2＝－<0，故选B.
6.解析：∵a>0，b>0，∴＋＋2≥2＋2≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立． 答案：4
7.解析：∵2m＋n＝1，则＋＝(2m＋n)＝3＋＋≥3＋2，即最小值为3＋2. 答案：3＋2
8.解析：因为x>0，y>0,2x＋3y＝6，所以xy＝(2x·3y)≤·2＝·2＝.
当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值. 答案：
9.证明：∵a，b，c均为正实数，
∴＋≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，
＋≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，
＋≥2(当且仅当2b＝3c时等号成立)，
将上述三式相加得＋＋≥6(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)，
∴＋＋≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)，
即＋＋≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)．
10.解：(1)∵x<3，∴x－3<0，
∴＋x＝＋(x－3)＋3＝－＋3≤－2 ＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，∴＋x的最大值为－1.
(2)∵x，y是正实数，∴(x＋y)＝4＋≥4＋2.当且仅当＝，
即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．
又x＋y＝4，∴＋≥1＋，故＋的最小值为1＋.
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高考通关练：均值不等式及其应用
1．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
2．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
3．若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为________．
4．已知a，b为正实数，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2＝4(ab)3，求ab的值．
5．某厂家拟在2019年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．
(1)将2019年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；
(2)该厂家2019年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
参考答案
1.解析：选B 若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是，存储费用是，总的费用是＋≥2 ＝20，当且仅当＝时取等号，得x＝80.所以每批应生产产品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小．
2.解析：因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号，
所以有＝≤＝，
即的最大值为，故a≥.
答案：
3.解析：由a＋b＝1，知＋＝＝，又ab≤2＝当且仅当a＝b＝时等号成立，∴9ab＋10≤，∴≥，故＋的最小值为.
答案：
4.解：(1)因为a，b为正实数，且＋＝2，所以＋＝2≥2，即ab≥(当且仅当a＝b时等号成立)．
因为a2＋b2≥2ab≥2×＝1(当且仅当a＝b时等号成立)，
所以a2＋b2的最小值为1.
(2)因为＋＝2，所以a＋b＝2ab.因为(a－b)2＝4(ab)3，所以(a＋b)2－4ab＝4(ab)3，即(2ab)2－4ab＝4(ab)3，即(ab)2－2ab＋1＝0，(ab－1)2＝0.因为a，b为正实数，所以ab＝1.
5.解：(1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，
解得k＝2，∴x＝3－，
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m
＝4＋8－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，
当且仅当＝m＋1，
即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2019年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．
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