《均值不等式及其应用》高考达标练
1.（2019·福建师大附中高三模拟）已知，且，则下列不等式中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2019·新疆兵团二中高一期末测试）如果，那么的最小值是（ ）
A.2
B.
C.3
D.4
3.（2019·天津实验中学高三适应性测试）若，且，则的最小值是（ ）
A.1
B.
C.2
D.
4.（2018·江西师大附中、九江一中联考）已知，则的（ ）
A.最大值为0
B.最小值为0
C.最大值为
D.最小值为
5.（2019·辽宁抚顺一中高三模拟）高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.8
6.（2018·北京丰台检测）已知函数在时取得最小值，则_________.
7.（2018·江西南昌质量检测）已知，若，则mn的最小值为________.
8.（2018·山东曲阜期中）若当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________.
9.（2019·山东莱阳一中高三模拟）若正数满足则________.
10.（2019·云南昆明一中高三适应性测试）已知a,b，，求证：.
11.（2019·福建仙游一中高三适应性测试）已知，且，求的最小值.
参考答案
1.
答案：C
解析：，由可得（当且仅当时取等号），，故A，B错误；又（当且仅当时取等号），故选C.
2.
答案：D
解析：，当且仅当，即时，等号成立.
3.
答案：C
解析：根据题意，若，且，则且，，当且仅当时，等号成立，故最小值为2，选C.
4.
答案：C
解析：，
，等号成立的条件是，即.故有最大值为，故选C.
5.
答案：B
解析：
6.
答案：36
解析：由题意可得，.当且仅当，即时，等号成立.因为函数在时取最小值，所以，即.
7.
答案：8
解析：因为，化简可得，故，当且仅当时，等号成立，即mn的最小值是8.
8.
答案：
解析：因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，所以.
9.
答案：
解析：由，得,
即，
即.
因为，
当且仅当时取等号，
所以.
10.
答案：见解析
解析：均大于0，
，①
当且时等号成立.
，②
当且仅当时等号成立.
，③
当且仅当时等号成立.
①+②+③得.
，当且仅当时等号成立.
11.
答案：见解析
解析：解法1：由，得.
.
.
.
.
当且仅当，即时取等号.
又，则.
当时，取最小值16.
解法2：，
.
，
.
当且仅当，即时，取等号.
又.
当时，取最小值16.
1 / 7《均值不等式及其应用》提升训练
单项选择题
1.设，且，则有（ ）
A.最大值64
B.最小值
C.最大值
D最小值64
2.若，且，则当取最小值时，的值为（ ）
A.1
B.2
C.
D.
3.设，且，则它们的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.已知，，则的最小值是（ ）
A.3
B.4
C.
D.
5.若，则的最小值为（ ）
A.16
B.8
C.4
D.非上述情况
二、多项选择题
6.若a，b为正实数，且，则（ ）
A.有最大值4
B.有最小值
C.有最大值
D.有最小值
E.有最小值
三、填空题
7.设常数，若对一切正实数成立，则a的取值范围为______.
8.设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为________.
四、解答题
9.求下列各式的最大值.
（1）；
（2）.
10.已知.
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最小值.
参考答案
一、多项选择题
1.
答案：D
解析：，当且仅当，即时，等号成立. 有最小值64.
2.
答案：B
解析：，当且仅当时等号成立，
即.
3.
答案：A
解析：.
，，，同理，可知，，.
.
它们的大小关系为.故选A.
4.
答案：B
解析：，，
，
当且仅当，即时，等号成立，此时的最小值为4.
5.
答案：B
解析：，设，则，原式可变为，当且仅当，即时等号成立.的最小值为8.
二、多项选择题
6.
答案：CE
解析：对于A，，当且仅当时等号成立，有最小值4，故A项错误；
对于B，有最大值，故B项错误；
对于C，，，当且仅当时等号成立，故C项正确；对于D，，有最小值为，故D项错误；对于E，
，当且仅，即时等号成立，故E项正确.
三、填空题
7.
答案：
解析：，当且仅当，即时等号成立.
，即.
8.
答案：1
解析：，当且仅当，即时等号成立，此时，
当且仅当时等号成立，故所求的最大值为1.
四、解答题
9.
答案：见解析
解析：（1）：，
，
当且仅当，即时等号成立. 的最大值为。
（2），，当且仅当，即时等号成立.
的最大值为.
10.
答案：见解析
解析：
，
当且仅当，即时，等号成立.
的最小值为.
（2）解法一：由，得.
又，
当且仅当，即时等号成立.
的最小值为4.
解法二：，
当且仅当时等号成立.
.
令，解得或（舍），的最小值为4.
1 / 7《均值不等式及其应用》高考通关练
1.（2018·11月浙江学考数学试题）若实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A.8
B.6
C.4
D.2
2.（2019·江西上高二中高三适应性测试）设，则下列不等式中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2019·山西实验中学高三模拟）若正数x，y满足，则xy的最大值为（ ）
A.
B.
C.1
D.
4.（2019·辽宁大连二十四中高三适应性测试）若已知x，y，z为正实数，则的最大值为（ ）
A.1
B.2
C.
D.
5.（2019·广州六中高三模拟）已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A.2
B.4
C.6
D.8
6.（2019·深圳中学高三适应性测试）已知且满足，则xy的最大值为_________.
7.（2019·辽宁庄河高级中学期末）已知，且，则的最小值为_________.
8.（2019·安徽黄山屯溪一中高三适应性测试）若对任意恒成立,则a的取值范围是_________.
9.（2019·辽宁阜新实验中学高三模拟）函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，则的最小值为________.
10.（2019·吉林长春实验中学高三模拟）（1）求函数的最大值；
（2）求函数的最小值.
参考答案
1.
答案：C
解析：直接利用关系式的恒等变换和均值不等式求出结果.实数a，b满足，则，当且仅当，且时，等号成立，故选C.
2.
答案：B
解析：错误；，排除D，选B.
3.
答案：A
解析：因为，所以.当且仅当时，等号成立，故选A.
4.
答案：C
解析：，当且仅当时，取等号.,故答案为C.
5.
答案：B
解析：，
，即，故选B.
6.
答案：3
解析：且，
当且仅当，即时取等号.
7.
答案：
解析：，
.
当且仅当即时取等号.
故的最小值为.
8.
答案：
解析：（当且仅当时取的最大值为等号），
，
即的最大值为，故.
9.
答案：4
解析：由题意知，定点A的坐标为，将其代入直线（）得..（当且仅当时取等号）
10.
答案：见解析
解析：(1)
，
当且仅当时，取“=”.
.
（2），
，
当且仅当，即时，取“=”.
.
1 / 5《均值不等式及其应用》基础训练
单项选择题
1.设为实数，则下列不等式恒成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.当，且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知正整数a，b满足，当取最小值时，实数对是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.已知，则的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.1
5.设是正实数，且，则（ ）
A.或
B.
C.
D.
二、多项选择题
6.下列不等式中，一定成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
E. 为正实数）
三、填空题
7.当时，的最小值为_______.
8.若不等式对一切恒成立，则a的取值范围为_______.
四、填空题
9.已知a，b，c是正实数，且，求证：.
10.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图设矩形温室的室内长为（单位：m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（单位：）.
（1）求S关于的函数关系式；
（2）求S的最大值.
参考答案
一、单项选择题
1.
答案：D
解析：当时，A、B、C项均不正确，故选D.
2.
答案：C
解析：，且，，当且仅当时等号成立，.
3.
答案：A
解析：，
当且仅当时等号成立.
由得故当取最小值时，实数对是.
4.
答案：B
解析：当时，；当时，.
，当且仅当，即时等号成立，
，即.
综上所述，当时，.
5.
答案：A
解析：是正实数，，当且仅当时等号成立. ，即，
或.
二、多项选择题
6.
答案：ABDE
解析：对于A，，恒成立，故A成立；对于B，恒成立.
，故B成立；对于C，当时，，故C不成立；对于D，，，故D成立；对于E，当a，b均为正实数时，，当且仅当时等号成立，，，故E成立.
四、填空题
7.
答案：2
解析：，
，
当且仅当，即时等号成立.
的最小值为2.
8.
答案：
解析：当时，，对任意都成立.当时，由题意，可知在上恒成立.，当且仅当，即时等号成立.
.
综上，a的取值范围为.
四、解答题
9.
答案：见解析
解析：是正实数，且，，
当且仅当，即时等号成立；
，当且仅当，即时等号成立；
，当且仅当，即时等号成立.
，当且仅当时等号成立.故原不等式成立.
10.
答案：见解析
解析：（1）由题可得.
（2）因为，所以，当且仅当，即时等号成立，因此.故当矩形温室的室内长为时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为.
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