高中数学人教A版（2019)必修第一册第五章5.4.2正弦函数、余弦函数的性质——课后练习（含解析）

高中数学人教A版（2019)必修第一册第五章5.4.2正弦函数、余弦函数的性质——课后练习（2）
一、单选题
1．集合，则（　　）
A． B．
C． D．．
2．函数 ， 的最大值是（　　）
A． B． C． D．
3． 在 上的值域为
A． B． C． D．
4．函数 和 都递减的区间是（　　）
A． B．
C． D．
5．函数f（x）=3sinx ln（1+x）的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
6．如果函数y=sin（x+ ）的图象经过点 ，那么 可以是（　　）
A．0 B． C． D．
7．下列关于函数，的单调性的叙述，正确的是（　　）
A．在上是增函数，在上是减函数
B．在和上是增函数，在上是减函数
C．在上是增函数，在上是减函数
D．在上是增函数，在和上是减函数
8．若函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（　　）．
A．1 B． C．2 D．3
二、多选题
9．下列函数周期为π，又在 上单调递增的是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则（　　）
A．是奇函数
B．函数在区间上是减函数
C．函数的图象关于直线对称
D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
11．已知函数，下列说法正确的有（　　）
A．函数在上单调递减
B．函数是最小正周期为的周期函数
C．函数的最大值与最小值之和为1
D．函在区间内，共有4个零点
12．设函数 , 已知 在 有且仅有5个零点.下述四个结论中正确的是（　　）
A． 在 有且仅有 个最大值点
B． 在 有且仅有2个最小值点
C． 在 单调递增
D． 的取值范围是
三、填空题
13．函数 ， 的值域是　 　．
14． 的单调递增区间为　 　.
15．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为　 　.
16．已知函数，其中，若的值域是，则实数的取值范围是　 　.
四、解答题
17．已知函数，.
（1）求不等式的解集；
（2）若有两个不同的实数根，求a的取值范围.
18．已知函数 .
（1）当 时，求 的值域和单调减区间；
（2）若 关于 对称，且 ，求 的值.
19．函数 b的部分图象如图所示．
（1）求 的解析式；
（2）求 在区间 上的最大值．
20．已知函数 的最大值为 ，最小值为 .
（1）求 ， 的值.
（2）求函数 的最小值，并求出对应的 的值；
（3）求函数 的单调递增区间.
21．函数 （ ）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，
（1）求函数 的解析式；
（2）设 ，则 ，求 的值
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】因为，
，
所以
故答案为：D
【分析】首先由正弦函数的单调性即可求出x的取值范围，从而得出集合P；再由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，从而得出集合Q，然后由交集的定义结合不等式即可得出答案。
2．【答案】C
【解析】【解答】 ，所以，当 时，函数 取得最大值，即 .
故答案为：C.
【分析】根据余弦函数的值域可得出函数 的最大值.
3．【答案】C
【解析】【解答】解： ，
，
即 ，
故答案为：C．
【分析】根据x的取值范围，结合不等式的性质及余弦函数的单调性，即可求出相应函数的值域.
4．【答案】C
【解析】【解答】因为 在 上递增，所以排除选项 ；
在区间 上，
的减区间是 ；
的减区间是 ，
和 的公共减区间是
，
故答案为：C.
【分析】由已知利用正弦函数与余弦函数的单调性，即可得结果.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：由f（x）=3sinx ln（x+1）知x＞﹣1，当x= 时，f（ ）=3sin ln（ +1）=3ln（ +1）＜3lne=3，
∵f′（x）=3cosxln（x+1）+3sinx ，令f′（x）=0，即3cosxln（x+1）+3sinx =0，
当0＜x＜π时，ln（x+1）＞0，sinx＞0， ＞0，∴cosx＜0，∴ ＜x＜π，∴函数的极值点在（ ，π），
故答案为：B．
【分析】由题意可得当x= 时，f（ ）=3sin ln（ +1）=3ln（ +1）＜3lne=3，求导得f′（x）=3cosxln（x+1）+3sinx ， 令f′（x）=0故当0＜x＜π时，ln（x+1）＞0，sinx＞0，.即 cosx＜0， ＜x＜π∴函数的极值点在（ ，π）。
6．【答案】D
【解析】【解答】解：函数y=sin（x+ ）的图象经过点 ，
则 ，代入选项可得选D．
故选D．
【分析】函数y=sin（x+ ）的图象经过点 ，则 ，代入选项可得结论．
7．【答案】D
【解析】【解答】解：因为的单调递增区间为，，，单调递减区间为，，，
又，，
所以函数在，上是增函数，在，和，上是减函数，
故答案为：D.
【分析】 根据三角函数的单调性进行求解，即可得答案.
8．【答案】B
【解析】【解答】依题意函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则，
即，解得.
故答案为：B
【分析】根据以及周期性求得.
9．【答案】B,D
【解析】【解答】解：选项A. 由
则 ，当k=0时，
所以 在上单调递增，在 上单调递减，故A不正确.
选项B . 由y=|sinx|在上单调递增，在上单调递减.
由 ，得
所以 在 上 单调递增，故B正确.
选项C . y=cos|2x|=cos2x ，由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z
则
所以y=cos|2x|=cos2x在上单调递减，所以在单调递减，故C不正确.
选项D . 当时，y=|tanx|=tanx单调递增，故D正确.
故选：BD
【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质求解即可.
10．【答案】B,C
【解析】【解答】对于A，定义域为，因为，所以不是奇函数，所以A不符合题意，
对于B，由，得，得， 所以函数在区间上是减函数，所以B符合题意，
对于C，因为，所以为函数的一条对称轴，所以C符合题意，
对于D，因为，所以函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到，所以D不符合题意，
故答案为：BC
【分析】直接利用函数的关系式的变换和函数的性质的应用逐项判断即可.
11．【答案】C,D
【解析】【解答】解：A，∵，∴为偶函数，当时，，所以，又，由在为先增后减，A不正确；
B，当时，由可得，所以函数在且上为增函数，在且上为减函数，当时，由可得，所以函数在且上为增函教，在且上为减函数，画出函数图象如图，
又因为函数为偶函数，故不是周期函数，B不符合题意；
C，由B选项的分析可知，函数的最大值为2，最小值为．故最大值与最小值的和为1，C符合题意；
D，由函数图象可得在区间有4个零点，D符合题意．
故答案为：CD．
【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据正弦、余弦函数的性质讨论函数在各段的函数解析式，即可画出函数图象，结合函数图象分析即可.
12．【答案】A,C,D
【解析】【解答】由于 ， ，而 在 有且仅有5个零点，
所以 ，解得 ，D符合题意；
因此只有满足 的 是 在 上的最大值点，共3个，A符合题意；
满足 的 显然是 在 上的最小值点，
但当 接近 时， ，也是一个最小值点，这时有3个最小值点，B不符合题意；
当 时，由 ，所以 是递增的，C符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】先求已知求出 的范围，然后再结合 的图象判断各选项 是否正确．
13．【答案】
【解析】【解答】 时， ，
所以 ，即 时， ，又 时， ，
所以函数值域为 ．
【分析】根据题意由x的取值范围即可得出，然后由正弦函数的性质即可求出函数的最值，从而得出函数的值域。
14．【答案】[ ]，
【解析】【解答】依题意得， ，
即 ，
即 的单调递增区间是[ ]， ，
故答案为：[ ]，
【分析】 利用正弦函数的单调性，即可求得单调递增区间.
15．【答案】
【解析】【解答】由题意可知，，即，
∵函数在区间上单调递增，
∴，
当时，，即；
当时，，即；
故的取值范围为
故答案为：
【分析】根据题意结合周期的公式即可求出的取值范围，再由特殊点法代入计算出，由此即可得出函数的解析式，再结合正弦函数的单调性由整体思想即可求出满足题意的，由此即可得出答案。
16．【答案】
【解析】【解答】解：由，可知，因为且，所以要使的值域是，结合图象可知只要，即，
故答案为.
【分析】由题意可得，由的值域是，结合图象可得．
17．【答案】（1）解：由，则.
∴，可得，即.
故不等式的解集为.
（2）解：在上的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
又有两个不同的实数根，则，
∴，A的取值范围为.
【解析】【分析】(1)首先由x的取值范围即可得出，然后由正弦函数的单调性结合整体思想即可求出x的取值范围。
(2)根据题意由正弦函数的单调性由整体思想即可得出函数f(x)的单调区间，再由特殊值法结合正弦函数的图象计算出a的取值范围即可。
18．【答案】（1）解：当 时， .
当 时， ，则 ，
所以f(x)∈[-1，2] ，
由 得
由，则k=0时， ，即此时减区间为 ，
所以 当 时， 的值域为[-1，2] ，单调减区间为 ；
（2）由 关于 对称，则
即 ，又 ，所以
【解析】【分析】根据正弦函数的值域、单调性与对称性求解即可.
19．【答案】（1）解：由题可知 ，
解得
的最小正周期 ，
则
则 ，则 ， ．
又 ，所以 ，故
（2）解：因为 ，
所以
当 ，即 时， 取得最大值，且最大值为 ．
【解析】【分析】(1)由函数的图象即可求出A与b的取值，结合周期公式计算出结果然后由周期公式计算出的取值，利用特殊值法代入计算出，从而得出函数的解析式。
(2)由正弦函数的单调性结合整体思想，即可求出x的取值范围，结合函数的单调性即可求出函数的最值。
20．【答案】（1） 函数 的最大值为 ，最小值为 ，
，解得 ， ；
（2） ，
当 ，即 时， 取得最小值为 ，
所以 的最小值为-2，对应的 的值为 ；
（3）令 ，解得 ，
故函数 的单调递增区间为 .
【解析】【分析】(1)由已知条件把数值代入得到关于a与b的方程组，计算出a、b的值即可。
(2)根据题意由正弦函数的性质即可求出函数g(x)的最小值。
(3)由正弦函数的单调性结合整体思想即可求出x的取值范围，由此得出函数的单调区间即可。
21．【答案】（1）由三角函数性质得，最大值为A+1=3，∴A=2，
周期 ，
∴f（x）=2sin（2x- ）+1
（2） ，f（ ）=2
∴2sin（ - ）+1=2，得sin（ - ）= ， =
【解析】【分析】(1)首先由周期的公式计算出的值，由此即可得出函数的解析式。
(2)根据题意把点的坐标代入计算出的值即可。
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：87分
分值分布 客观题（占比） 28.0(32.2%)
主观题（占比） 59.0(67.8%)
题量分布 客观题（占比） 12(57.1%)
主观题（占比） 9(42.9%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
填空题 4(19.0%) 4.0(4.6%)
解答题 5(23.8%) 55.0(63.2%)
多选题 4(19.0%) 12.0(13.8%)
单选题 8(38.1%) 16.0(18.4%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (23.8%)
2 容易 (76.2%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 函数解析式的求解及常用方法 10.0(11.5%) 19
2 根的存在性及根的个数判断 10.0(11.5%) 17
3 余弦函数的周期性 3.0(3.4%) 9
4 正弦函数的零点与最值 3.0(3.4%) 12
5 交集及其运算 2.0(2.3%) 1
6 函数的最值及其几何意义 15.0(17.2%) 20
7 正弦函数的单调性 67.0(77.0%) 1,4,7,8,9,10,11,12,14,15,17,18,19,20
8 正切函数的单调性 3.0(3.4%) 9
9 正弦函数的奇偶性与对称性 13.0(14.9%) 10,18
10 正弦函数的定义域和值域 12.0(13.8%) 13,15,18
11 正弦函数的图象 30.0(34.5%) 5,6,15,20,21
12 正切函数的周期性 3.0(3.4%) 9
13 函数的零点与方程根的关系 3.0(3.4%) 11
14 余弦函数的单调性 5.0(5.7%) 4,9
15 余弦函数的定义域和值域 5.0(5.7%) 2,3,16
16 一元二次不等式的解法 2.0(2.3%) 1
17 正弦函数的周期性 28.0(32.2%) 8,9,11,19,21
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