天津市和平区重点中学2022-2023学年高二上学期期中质量调查数学试题（解析版）
一.选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 过两点的直线的倾斜角为
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线的斜率公式计算即可求出.
【详解】直线AB的斜率,故直线AB的倾斜角，故选A.
【点睛】本题主要考查了直线的斜率计算公式，属于容易题.
2. 已知两平行直线：和：，则与的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，求得，得到的方程，解两平行线间的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，两直线和，
因为，可得，即，所以，
把直线化为，
根据两平行线间的距离公式，可得，
即两平行线间的距离为.
故选：A.
3. “”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】因为直线与直线相互垂直，
所以，
所以.
所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；
当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.
所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
4. 以点为圆心且与直线相切的圆的方程是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由题意，因此圆方程为．
考点：圆的标准方程．
5. 已知是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于两点，且，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在直角三角形利用勾股定理求，再由椭圆的定义求的值.
【详解】因为，所以，又，
所以在直角三角形中，，
因为，所以，
所以椭圆的方程为：.
【点睛】本题考查焦半径、椭圆的定义、椭圆的标准方程等知识，考查运算求解能力.
6. 如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角形的中位线做出异面直线所成角，然后利用余弦定理计算即可.
【详解】如图所示:
连接A1C,交AC1于D,取BC的中点E,连接AE,DE,
则DE//A1B,∴为异面直线A1B和AC1所成的角或其补角.
由题意，可设该正三棱柱的棱长为2，易得,
则AE=,
∴,
∴异面直线A1B和AC1所成的角的余弦值为，
故选：B.
7. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，借助模长公式能求出的长．
【详解】，
，
．
故选：A
8. 已知圆：，该圆过点的最短弦为，则弦的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题首先可根据圆的方程求出圆心，然后根据题意得出直线与直线垂直，即可求出，最后通过直线的点斜式方程即可得出结果.
【详解】，即，圆心，
因为该圆过点的最短弦为，
所以直线与直线垂直，
因为，所以，，
则弦的直线方程为，即，
故选：C.
9. 已知，是椭圆：两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
10. 、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【详解】延长交延长线于N,
则
选:A.
【点睛】涉及两焦点问题，往往利用椭圆定义进行转化研究，而角平分线性质可转化到焦半径问题，两者切入点为椭圆定义.
二.填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11. 已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】运用“点差法”即可求得答案.
【详解】由题意，设，因为的中点为，所以.
又.
于是，即所求直线的斜率为.
故答案为：.
12. 已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是________.
【答案】或
【解析】
【分析】分椭圆的焦点在，轴上，由椭圆的方程可得的值，再由焦距为2可得的值，求出椭圆的离心率．
【详解】由椭圆的方程可得，且，焦距为2，可得，即，
当焦点在轴上时，则，，可得，
由题意可得，所以，这时离心率；
当焦点在轴上时，则，即，这时离心率，
综上，离心率为或，
故答案为：或
13. 已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为________.
【答案】
【解析】
【分析】先由椭圆的定义得到，再由余弦定理与同角平方关系求得，从而利用三角面积公式可求得，则可知点P到y轴的距离.
【详解】如图，由椭圆可得 ,
所以, 则,
所以在中，，
因为, 且,所以 ,
设的坐标为, 且，即，解得，
所以点到轴的距离为.
故答案为：.
.
14. 若直线始终平分圆的周长，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意知直线过圆的圆心，由此得，再将问题转化为点到直线上的点的距离的最小值，从而利用点线距离公式可解.
【详解】由得，故圆心坐标为, 半径，
因为直线始终平分圆的周长，所以直线过圆的圆心，
把代入直线，得，
而可看作是点到直线上的点的距离，
因为到直线的距离为，
所以的最小值为.
故答案为：.
15. 是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为________
【答案】
【解析】
【分析】以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，的坐标，利用距离公式，即可得到结论.
【详解】解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
设平面的法向量是，
，
∴由，可得
取得，
，
∴到平面的距离.
故答案为：.
【点睛】本题考查点到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.
三.解答题（共4小题，共40分）
16. （1）以，，为顶点的，求边上的高所在的直线方程
（2）若点P在直线上，且P到直线的距离为，求点P的坐标
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
【分析】（1）由点，求得的斜率，根据，求得，结合直线的点斜式，即可求解；
（2）由点在直线上，可设，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.
【详解】（1）由点，可得，
设边上的高所在的直线的斜率为，可得，解得，
又由，所以所求直线方程是，即.
（2）因为点在直线上，可设，
又由点到直线的距离为，可得，
化简得，即，解得或，即或．
17. 已知圆Ｃ过两点，且圆心在直线上
（1）求圆C的标准方程：
（2）已知点，直线l过点M与圆C交于P，Q两点，，求直线l的方程
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）设圆心坐标为，由列式求得，则圆心的坐标与圆的半径可求，则圆的方程可求；
（2）当直线l没有斜率时，此时直线的方程为；当直线存在斜率时，设直线的方程为，利用求出即得解.
【小问1详解】
解：设圆心坐标为，
由，得，
解得，圆心，半径，
圆的标准方程为；
【小问2详解】
解：当直线l没有斜率时，令，或，
所以，此时直线的方程为；
当直线存在斜率时，设直线的方程为.
因为，所以.
所以直线方程为.
所以直线的方程为或.
18 已知圆与圆关于直线对称.
（1）求圆的方程及圆与圆的公共弦长；
（2）设过点的直线与圆交于、两点，为坐标原点，求的最小值及此时直线的方程.
【答案】（1）圆的方程为，公共弦长为；（2）的最小值为，此时直线的方程为.
【解析】
【分析】
（1）设点，由题意可知，两圆圆心关于直线对称，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可求得圆的方程，求得两圆的公共弦方程，求出公共弦截圆所得弦长，即可得解；
（2）由题意可知直线的斜率存在，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的关系式，进而可求得的最小值以及对应的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）设，则由题意得，解得，
∴圆的方程为.
将圆与圆的方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为，
圆心到公共弦所在直线的距离为，两圆的公共弦长为；
（2）若直线与轴重合，此时直线与圆相离，不合乎题意；
所以，直线的斜率存在，设点、，设直线的方程为，
联立，整理得，
，解得，
由韦达定理得，，
所以，，其中.
要求最小值，只需在的情形下计算.
令，则，
当且仅当时，取得最小值，
此时，则直线的方程为.
【点睛】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了利用韦达定理求平面向量数量积的最值，考查计算能力，属于中等题.
19. 如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析 （2）
（3）存在，且.
【解析】
【分析】（1）过作于，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的向量，从而可证明线面平行.
（2）求出平面的法向量，利用向量求夹角公式解得.
（3）令，，设，求出，结合已知条件可列出关于的方程，从而可求出的值.
【小问1详解】
过作，垂足，则，
如图，以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，
则，，， ，，，
为的中点，，则，
设平面的一个法向量为，，，
则，令，解得：.
，即，
又平面，所以平面．
【小问2详解】
设平面的一个法向量为，，，
所以，令，解得.
所以
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【小问3详解】
假设线段上存在一点，设，，.
，，则
又直线与平面所成角的正弦值为，平面的一个法向量
，
化简得，即，
，，故存在，且.天津市和平区重点中学2022-2023学年高二上学期期中质量调查数学试题
一.选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 过两点的直线的倾斜角为
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2. 已知两平行直线：和：，则与的距离为（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 以点为圆心且与直线相切的圆的方程是
A. B.
C. D.
5. 已知是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于两点，且，则的方程为（ ）
A B.
C. D.
6. 如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A 0 B. C. D.
7. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1正方形，若，且，则的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知圆：，该圆过点的最短弦为，则弦的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
10. 、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二.填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11. 已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为______.
12. 已知椭圆焦距是2，则离心率e的值是________.
13. 已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为________.
14. 若直线始终平分圆的周长，则的最小值为________.
15. 是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为________
三.解答题（共4小题，共40分）
16. （1）以，，为顶点的，求边上的高所在的直线方程
（2）若点P在直线上，且P到直线的距离为，求点P的坐标
17. 已知圆Ｃ过两点，且圆心在直线上
（1）求圆C的标准方程：
（2）已知点，直线l过点M与圆C交于P，Q两点，，求直线l的方程
18 已知圆与圆关于直线对称.
（1）求圆的方程及圆与圆的公共弦长；
（2）设过点的直线与圆交于、两点，为坐标原点，求的最小值及此时直线的方程.
19. 如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
