山西省大同市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
山西省大同市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·大同期中）已知平面α和平面β的法向量分别为，，则（　　）
A．α⊥β B．α∥β
C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对
2．（2022高二上·大同期中）椭圆和具有（　　）
A．相同的离心率 B．相同的焦点
C．相同的顶点 D．相同的长、短轴
3．（2021高二上·大连期末）直线与圆相切，则（　　）
A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12
4．（2022高二上·大同期中）已知点，.若过点的直线l与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．
5．（2022高二上·大同期中）如图所示，空间四边形中，，点M在上，且，N为中点，则等于（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022高二上·大同期中）设抛物线上的三个点到该抛物线的焦点距离分别为．若的最大值为3，则的值为（　　）
A． B．2 C．3 D．
7．（2020高二上·海安期中）设 和 为双曲线 的两个焦点，若点 ， 是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（　　）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·大同期中）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二上·大同期中）设，圆与圆的位置关系不可能是（　　）
A．内切 B．相交 C．外离 D．外切
10．（2019高二上·辽宁月考）若方程 所表示的曲线为 ,则下面四个命题中错误的是（　　）
A．若 为椭圆,则
B．若 为双曲线,则 或
C．曲线 可能是圆
D．若 为椭圆，且长轴在 轴上，则
11．（2022高二上·大同期中）若实数x，y满足，则（　　）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
12．（2022高二上·齐齐哈尔期中）已知是椭圆上一点，椭圆的左 右焦点分别为，且，则（　　）
A．的周长为 B．
C．点到轴的距离为 D．
三、填空题
13．（2022高二上·大同期中）直线、的斜率、是关于k的方程的两根，若，则实数　 　．
14．（2022高二上·大同期中）已知，则　 　．
15．（2022高二上·大同期中）已知双曲线被直线截得的弦AB，弦的中点为，则直线AB的斜率为　 　.
16．（2022高二上·大同期中）如图，在梯形ABCD中，，，，，将沿对角线BD折起，设折起后点的位置为，并且平面平面BCD.则下面四个命题中正确的是　 　.（把正确命题的序号都填上）
①；②三棱锥的体积为；③；④平面平面.
四、解答题
17．（2022高二上·大同期中）已知，，为平面内的一个动点，且满足.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若直线为，求直线被曲线截得的弦的长度.
18．（2021·西城模拟）如图，在正方体 中，E为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
19．（2022高二上·大同期中）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为2，为坐标原点.
（1）求的方程；
（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，且，求的值.
20．（2022高二上·大同期中）如图，在三棱锥中，侧面是等边三角形，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若 ，则在棱上是否存在动点，使得平面与平面所成二面角的大小为 .
21．（2022高二上·大同期中）已知抛物线C：（）上的一点到它的焦点的距离为.
（1）求p的值.
（2）过点（）作曲线C的切线，切点分别为P，Q.求证：直线过定点.
22．（2022高二上·大同期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，其离心率为，且过点
（1）求双曲线的方程
（2）过的两条相互垂直的交双曲线于和，分别为的中点，连接，过坐标原点作的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在，求此定点.若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】向量语言表述面面的垂直、平行关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】根据向量平行的坐标表示进行判断，可得答案.
2．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】第一个椭圆的焦点，第二个椭圆的焦点为；
第一个椭圆的顶点，第二个椭圆的顶点；
第一个椭圆的长轴长为，短轴长为，第二个椭圆的长轴长为，短轴长为；
第一个椭圆的离心率为；将第二个椭圆方程化为标准式：
故离心率为，故两椭圆的离心率相同.
故答案为：A
【分析】分别求出两个椭圆的焦点坐标，顶点坐标，长轴长，短轴长，离心率，可得答案.
3．【答案】D
【知识点】点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵直线与圆心为（1，1），半径为1的圆相切，∴＝1或12，
故答案为：D.
【分析】根据题意由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，计算出b的取值即可。
4．【答案】D
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】由已知直线恒过定点，如图．
若与线段相交，则，∵，，∴，
故答案为：D.
【分析】作出图像，求出边界直线的斜率，进而可求出直线的斜率k的取值范围.
5．【答案】B
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】，
故答案为：B.
【分析】根据向量的加减运算三角形法则表示出，可得答案.
6．【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】根据抛物线的定义可得到抛物线的焦点距离最大为.故.
故答案为：C
【分析】抛物线的性质到焦点的距离转化为到准线的距离，只用横坐标表示，即可求出p的值.
7．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】若 ，设 ，则 ， 是等腰直角三角形的三个顶点， ， ， ，即 ， 双曲线的渐近线方程为 ，即为 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合勾股定理得出，再利用点 ， 是等腰直角三角形的三个顶点， 再结合勾股定理，从而求出a，c的关系式，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而求出a，b的关系式，从而求出双曲线的渐近线方程。
8．【答案】B
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为，且是直角三角形，所以.以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，，，，则，.故点到直线的距离.
故点到直线的距离是.
故答案为：B
【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，由点到直线的距离公式求解出点到直线的距离.
9．【答案】C,D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】两圆的圆心距，两圆的半径之和为，
因为，
所以两圆不可能外切或外离，
故答案为：CD
【分析】 计算两圆的圆心距，再比较其与两圆半径之和的大小，可判断出答案.
10．【答案】A,D
【知识点】命题的真假判断与应用；曲线与方程；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】若 ，则方程可变形为 ，它表示焦点在 轴上的双曲线；
若 ，则方程可变形为 ，它表示焦点在 轴上的双曲线；
若 ，则 ，故方程 表示焦点在 轴上的椭圆；
若 ，则 ，故方程 表示焦点在 轴上的椭圆；
若 ，方程 即为 ，它表示圆，
故答案为：AD.
【分析】就 的不同取值范围分类讨论可得曲线 表示的可能的类型.
11．【答案】C,D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意可得方程为圆心是 ，半径为1的圆，
则为圆上的点与定点连线的斜率，
由于直线和没有交点，
故设过点的斜率存在的直线为 ，即 ，
当直线与圆相切时，圆心到该直线的距离，即 ，
可得，解得 ，
所以 ，即最大值为，最小值为
故答案为：CD
【分析】的值相当于曲线上的点与定点的斜率的最值问题，当过的直线与曲线相切时达到最值，而由题意可得圆心是 ，半径为1的圆，由圆心到直线的距离等于半径，求出直线的最值.
12．【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】A．因为，
所以，故错误；
B．因为，，
所以，
所以，所以，故正确；
C．设点到轴的距离为，
所以，所以，故正确；
D．因为，故正确；
故答案为：BCD.
【分析】A．根据椭圆定义分析的周长并判断；
B．根据椭圆定义以及已知条件先求解出，结合三角形的面积公式求解出并判断；
C．根据三角形等面积法求解出到轴的距离并判断；
D．根据向量数量积运算以及求解出结果并判断.
13．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为，所以，又、是关于k的方程的两根，
所以，解得；
故答案为：-2
【分析】根据直线垂直的关系以及韦达定理，直线斜率所满足的条件，即可求出m的值.
14．【答案】
【知识点】向量的模；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】因为，
所以，
所以．
答案：
【分析】计算出向量的坐标，代入向量模的计算公式，即可求出答案.
15．【答案】1
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设，，显然，
则有，，
两式作差可得，，即，
又弦的中点为，则，，代入可得，
即，所以直线AB的斜率为1.
此时直线方程为，即，
联立直线与双曲线方程可得，，，即直线与双曲线相交，所以直线AB的斜率为1满足条件.
故答案为：1.
【分析】设出A、B的坐标，代入双曲线的方程，作差整理可求出直线AB的斜率.
16．【答案】③④
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】若，由已知平面平面BCD， 且平面与平面交线为.
如图过作的垂线，垂足为，易知平面，又因为平面，
所以，，与平面，
可得：平面，又因为平面，所以与已知矛盾，
故不成立.
所以①错误.
三棱锥的体积，
故②错误.
在中，，所以，同理在中，
，又因为，在中满足，故，
所以③正确.
，，平面，平面，
所以平面，平面，所以，平面平面.
所以④正确.
故答案为：③④
【分析】 由题意利用反证法结合线面垂直的性质定理得从而可判断①；利用棱锥的体积公式可判断②；利用折叠前四边形ABCD中的性质与数量关系结合勾股定理可判断③；利用折叠后 平面平面BCD ，可证得平面，然后利用面面垂直的判定定理可判断④.
17．【答案】（1）解：由题意可设点的坐标为，由及两点间的距离公式可得
，整理得
（2）解：由（1）可知，曲线
圆心到直线的距离，
所以弦的长度
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1） 由题意可设点的坐标为，由及两点间的距离公式整理可得点的轨迹方程；
（2）由（1）可知，曲线 ，根据点到直线的距离公式和圆的半径可求出直线被曲线截得的弦的长度.
18．【答案】（1）证明：连接 交 于点O，连接 ，
在正方形 中， ．
因为E为 的中点，
所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）解：不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系
则 ，
所以 ．
设平面 的法向量为 ，
所以 所以 即
令 ，则 ，
于是 ．
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】 （1）根据题意要证BD1∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD1与平行，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；
（2）连结OB1，EB1，由勾股定理得出OB1⊥OE，由AB1=B1C得出OB1⊥AC，于是OB1⊥平面ACE，从而平面EAC⊥平面AB1C；
19．【答案】（1）解：由离心率，则，设，
则直线的斜率，则，，
，
∴椭圆的方程为
（2）解：由题意得直线，设，，
则，整理得：，
，即，
∴，，
∴
，
即，
解得：或（舍去），
∴，
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意可得 ， ， ，求出a，b，进而可得椭圆 的方程；
(2) 由题意得直线，设，， 联立直线与椭圆的方程可得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得 ，， 再由弦长公式可得 ，进而求解出 的值.
20．【答案】（1）证明：取 的中点，连接 ，
因为为等边三角形，所以，
在中，有，
又因为，所以 ，
所以，即，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面 ，所以平面平面.
（2）解：不妨设，在中，，所以，
在底面内作于点，则 两两垂直，
以点为原点，所在的直线为轴， 所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
所以，，，，
设，
则，
设平面的法向量为，
所以 ，
令，可得，，所以，
可取平面ABC的一个法向量为，
所以，
整理可得，即，解得或（舍去）.
所以，所以当时，二面角的大小为 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1) 取 的中点，连接，证明 ，从而得到 ，结合PO⊥AC，由线面垂直的判定定理证明PO⊥平面ABC，即可证得平面平面；
(2) 以点为原点，所在的直线为轴， 所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 求出所需点的坐标和向量的坐标， 设，然后利用待定系数法求出平面MAB的法向量和平面ABC的一个法向量 ，由向量的夹角公式列式，求解出的值，即可得当时，二面角的大小为 .
21．【答案】（1）解：曲线C上点M到焦点的距离等于它到准线的距离．
∴，∴，∴．
（2）证明：依题意，过点N的抛物线切线的斜率存在，
故可设过N的直线：，代入得，．
因为直线与曲线C相切，则得，即．
所以，代入并化简得，解得，
设，的斜率分别为，，则．
所以，，
当时，直线的方程：．
即：．
．
即：．
．
．
．
∴直线过定点．
当时，即，
则所在的直线为.过点
综上可得，直线过定点.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 曲线C上点M到焦点的距离等于它到准线的距离，求解出p的值；
(2) 设过N的直线：，代入得，，与曲线C相切， 则得， 设，的斜率分别为，，则 ，然后求解QP方程说明直线PQ过定点(2， 0).
22．【答案】（1）解：由题可知：
，
双曲线的方程是.
（2）解：存在定点，使得为定值，理由如下：
由题意可知，若直线和其中一条没有斜率，则点为，
直线MN的方程为，
当直线和都有斜率时，
因为点，设直线的方程为：
设，，，
联立方程组得：
所以，，
故，
设直线的方程为：
设，，，
同理可得，，
故
所以，
所以直线的方程为，
化简得：，可知直线过定点
又因为，所以点的运动轨迹是以点为圆心，
以直径的圆，
所以存在定点，使得为定值.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知可得关于a， b，c的方程组，求得a与b的值，则可求出双曲线的方程；
(2)若直线AB和CD其中一条没有斜率，则H为(0， 0)，直线MN的方程为y=0；当直线AB和CD都有斜率时， 设直线的方程为： ，联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得M、N的坐标，求出MN所在直线的斜率，得到MN的方程，说明MN过定点 ，结合 ，可得点的运动轨迹是以点为圆心，以直径的圆，由此可得存在定点，使得为定值 .
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
山西省大同市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·大同期中）已知平面α和平面β的法向量分别为，，则（　　）
A．α⊥β B．α∥β
C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对
【答案】B
【知识点】向量语言表述面面的垂直、平行关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】根据向量平行的坐标表示进行判断，可得答案.
2．（2022高二上·大同期中）椭圆和具有（　　）
A．相同的离心率 B．相同的焦点
C．相同的顶点 D．相同的长、短轴
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】第一个椭圆的焦点，第二个椭圆的焦点为；
第一个椭圆的顶点，第二个椭圆的顶点；
第一个椭圆的长轴长为，短轴长为，第二个椭圆的长轴长为，短轴长为；
第一个椭圆的离心率为；将第二个椭圆方程化为标准式：
故离心率为，故两椭圆的离心率相同.
故答案为：A
【分析】分别求出两个椭圆的焦点坐标，顶点坐标，长轴长，短轴长，离心率，可得答案.
3．（2021高二上·大连期末）直线与圆相切，则（　　）
A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12
【答案】D
【知识点】点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵直线与圆心为（1，1），半径为1的圆相切，∴＝1或12，
故答案为：D.
【分析】根据题意由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，计算出b的取值即可。
4．（2022高二上·大同期中）已知点，.若过点的直线l与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】由已知直线恒过定点，如图．
若与线段相交，则，∵，，∴，
故答案为：D.
【分析】作出图像，求出边界直线的斜率，进而可求出直线的斜率k的取值范围.
5．（2022高二上·大同期中）如图所示，空间四边形中，，点M在上，且，N为中点，则等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】，
故答案为：B.
【分析】根据向量的加减运算三角形法则表示出，可得答案.
6．（2022高二上·大同期中）设抛物线上的三个点到该抛物线的焦点距离分别为．若的最大值为3，则的值为（　　）
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】根据抛物线的定义可得到抛物线的焦点距离最大为.故.
故答案为：C
【分析】抛物线的性质到焦点的距离转化为到准线的距离，只用横坐标表示，即可求出p的值.
7．（2020高二上·海安期中）设 和 为双曲线 的两个焦点，若点 ， 是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】若 ，设 ，则 ， 是等腰直角三角形的三个顶点， ， ， ，即 ， 双曲线的渐近线方程为 ，即为 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合勾股定理得出，再利用点 ， 是等腰直角三角形的三个顶点， 再结合勾股定理，从而求出a，c的关系式，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而求出a，b的关系式，从而求出双曲线的渐近线方程。
8．（2022高二上·大同期中）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为，且是直角三角形，所以.以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，，，，则，.故点到直线的距离.
故点到直线的距离是.
故答案为：B
【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，由点到直线的距离公式求解出点到直线的距离.
二、多选题
9．（2022高二上·大同期中）设，圆与圆的位置关系不可能是（　　）
A．内切 B．相交 C．外离 D．外切
【答案】C,D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】两圆的圆心距，两圆的半径之和为，
因为，
所以两圆不可能外切或外离，
故答案为：CD
【分析】 计算两圆的圆心距，再比较其与两圆半径之和的大小，可判断出答案.
10．（2019高二上·辽宁月考）若方程 所表示的曲线为 ,则下面四个命题中错误的是（　　）
A．若 为椭圆,则
B．若 为双曲线,则 或
C．曲线 可能是圆
D．若 为椭圆，且长轴在 轴上，则
【答案】A,D
【知识点】命题的真假判断与应用；曲线与方程；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】若 ，则方程可变形为 ，它表示焦点在 轴上的双曲线；
若 ，则方程可变形为 ，它表示焦点在 轴上的双曲线；
若 ，则 ，故方程 表示焦点在 轴上的椭圆；
若 ，则 ，故方程 表示焦点在 轴上的椭圆；
若 ，方程 即为 ，它表示圆，
故答案为：AD.
【分析】就 的不同取值范围分类讨论可得曲线 表示的可能的类型.
11．（2022高二上·大同期中）若实数x，y满足，则（　　）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】C,D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意可得方程为圆心是 ，半径为1的圆，
则为圆上的点与定点连线的斜率，
由于直线和没有交点，
故设过点的斜率存在的直线为 ，即 ，
当直线与圆相切时，圆心到该直线的距离，即 ，
可得，解得 ，
所以 ，即最大值为，最小值为
故答案为：CD
【分析】的值相当于曲线上的点与定点的斜率的最值问题，当过的直线与曲线相切时达到最值，而由题意可得圆心是 ，半径为1的圆，由圆心到直线的距离等于半径，求出直线的最值.
12．（2022高二上·齐齐哈尔期中）已知是椭圆上一点，椭圆的左 右焦点分别为，且，则（　　）
A．的周长为 B．
C．点到轴的距离为 D．
【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】A．因为，
所以，故错误；
B．因为，，
所以，
所以，所以，故正确；
C．设点到轴的距离为，
所以，所以，故正确；
D．因为，故正确；
故答案为：BCD.
【分析】A．根据椭圆定义分析的周长并判断；
B．根据椭圆定义以及已知条件先求解出，结合三角形的面积公式求解出并判断；
C．根据三角形等面积法求解出到轴的距离并判断；
D．根据向量数量积运算以及求解出结果并判断.
三、填空题
13．（2022高二上·大同期中）直线、的斜率、是关于k的方程的两根，若，则实数　 　．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为，所以，又、是关于k的方程的两根，
所以，解得；
故答案为：-2
【分析】根据直线垂直的关系以及韦达定理，直线斜率所满足的条件，即可求出m的值.
14．（2022高二上·大同期中）已知，则　 　．
【答案】
【知识点】向量的模；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】因为，
所以，
所以．
答案：
【分析】计算出向量的坐标，代入向量模的计算公式，即可求出答案.
15．（2022高二上·大同期中）已知双曲线被直线截得的弦AB，弦的中点为，则直线AB的斜率为　 　.
【答案】1
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设，，显然，
则有，，
两式作差可得，，即，
又弦的中点为，则，，代入可得，
即，所以直线AB的斜率为1.
此时直线方程为，即，
联立直线与双曲线方程可得，，，即直线与双曲线相交，所以直线AB的斜率为1满足条件.
故答案为：1.
【分析】设出A、B的坐标，代入双曲线的方程，作差整理可求出直线AB的斜率.
16．（2022高二上·大同期中）如图，在梯形ABCD中，，，，，将沿对角线BD折起，设折起后点的位置为，并且平面平面BCD.则下面四个命题中正确的是　 　.（把正确命题的序号都填上）
①；②三棱锥的体积为；③；④平面平面.
【答案】③④
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】若，由已知平面平面BCD， 且平面与平面交线为.
如图过作的垂线，垂足为，易知平面，又因为平面，
所以，，与平面，
可得：平面，又因为平面，所以与已知矛盾，
故不成立.
所以①错误.
三棱锥的体积，
故②错误.
在中，，所以，同理在中，
，又因为，在中满足，故，
所以③正确.
，，平面，平面，
所以平面，平面，所以，平面平面.
所以④正确.
故答案为：③④
【分析】 由题意利用反证法结合线面垂直的性质定理得从而可判断①；利用棱锥的体积公式可判断②；利用折叠前四边形ABCD中的性质与数量关系结合勾股定理可判断③；利用折叠后 平面平面BCD ，可证得平面，然后利用面面垂直的判定定理可判断④.
四、解答题
17．（2022高二上·大同期中）已知，，为平面内的一个动点，且满足.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若直线为，求直线被曲线截得的弦的长度.
【答案】（1）解：由题意可设点的坐标为，由及两点间的距离公式可得
，整理得
（2）解：由（1）可知，曲线
圆心到直线的距离，
所以弦的长度
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1） 由题意可设点的坐标为，由及两点间的距离公式整理可得点的轨迹方程；
（2）由（1）可知，曲线 ，根据点到直线的距离公式和圆的半径可求出直线被曲线截得的弦的长度.
18．（2021·西城模拟）如图，在正方体 中，E为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：连接 交 于点O，连接 ，
在正方形 中， ．
因为E为 的中点，
所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）解：不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系
则 ，
所以 ．
设平面 的法向量为 ，
所以 所以 即
令 ，则 ，
于是 ．
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】 （1）根据题意要证BD1∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD1与平行，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；
（2）连结OB1，EB1，由勾股定理得出OB1⊥OE，由AB1=B1C得出OB1⊥AC，于是OB1⊥平面ACE，从而平面EAC⊥平面AB1C；
19．（2022高二上·大同期中）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为2，为坐标原点.
（1）求的方程；
（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，且，求的值.
【答案】（1）解：由离心率，则，设，
则直线的斜率，则，，
，
∴椭圆的方程为
（2）解：由题意得直线，设，，
则，整理得：，
，即，
∴，，
∴
，
即，
解得：或（舍去），
∴，
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意可得 ， ， ，求出a，b，进而可得椭圆 的方程；
(2) 由题意得直线，设，， 联立直线与椭圆的方程可得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得 ，， 再由弦长公式可得 ，进而求解出 的值.
20．（2022高二上·大同期中）如图，在三棱锥中，侧面是等边三角形，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若 ，则在棱上是否存在动点，使得平面与平面所成二面角的大小为 .
【答案】（1）证明：取 的中点，连接 ，
因为为等边三角形，所以，
在中，有，
又因为，所以 ，
所以，即，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面 ，所以平面平面.
（2）解：不妨设，在中，，所以，
在底面内作于点，则 两两垂直，
以点为原点，所在的直线为轴， 所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
所以，，，，
设，
则，
设平面的法向量为，
所以 ，
令，可得，，所以，
可取平面ABC的一个法向量为，
所以，
整理可得，即，解得或（舍去）.
所以，所以当时，二面角的大小为 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1) 取 的中点，连接，证明 ，从而得到 ，结合PO⊥AC，由线面垂直的判定定理证明PO⊥平面ABC，即可证得平面平面；
(2) 以点为原点，所在的直线为轴， 所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 求出所需点的坐标和向量的坐标， 设，然后利用待定系数法求出平面MAB的法向量和平面ABC的一个法向量 ，由向量的夹角公式列式，求解出的值，即可得当时，二面角的大小为 .
21．（2022高二上·大同期中）已知抛物线C：（）上的一点到它的焦点的距离为.
（1）求p的值.
（2）过点（）作曲线C的切线，切点分别为P，Q.求证：直线过定点.
【答案】（1）解：曲线C上点M到焦点的距离等于它到准线的距离．
∴，∴，∴．
（2）证明：依题意，过点N的抛物线切线的斜率存在，
故可设过N的直线：，代入得，．
因为直线与曲线C相切，则得，即．
所以，代入并化简得，解得，
设，的斜率分别为，，则．
所以，，
当时，直线的方程：．
即：．
．
即：．
．
．
．
∴直线过定点．
当时，即，
则所在的直线为.过点
综上可得，直线过定点.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 曲线C上点M到焦点的距离等于它到准线的距离，求解出p的值；
(2) 设过N的直线：，代入得，，与曲线C相切， 则得， 设，的斜率分别为，，则 ，然后求解QP方程说明直线PQ过定点(2， 0).
22．（2022高二上·大同期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，其离心率为，且过点
（1）求双曲线的方程
（2）过的两条相互垂直的交双曲线于和，分别为的中点，连接，过坐标原点作的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在，求此定点.若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题可知：
，
双曲线的方程是.
（2）解：存在定点，使得为定值，理由如下：
由题意可知，若直线和其中一条没有斜率，则点为，
直线MN的方程为，
当直线和都有斜率时，
因为点，设直线的方程为：
设，，，
联立方程组得：
所以，，
故，
设直线的方程为：
设，，，
同理可得，，
故
所以，
所以直线的方程为，
化简得：，可知直线过定点
又因为，所以点的运动轨迹是以点为圆心，
以直径的圆，
所以存在定点，使得为定值.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知可得关于a， b，c的方程组，求得a与b的值，则可求出双曲线的方程；
(2)若直线AB和CD其中一条没有斜率，则H为(0， 0)，直线MN的方程为y=0；当直线AB和CD都有斜率时， 设直线的方程为： ，联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得M、N的坐标，求出MN所在直线的斜率，得到MN的方程，说明MN过定点 ，结合 ，可得点的运动轨迹是以点为圆心，以直径的圆，由此可得存在定点，使得为定值 .
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1