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山西省高中教育发展联盟2022-2023学年高二上学期数学11月期中检测试卷
一、单选题
1．（2022高二上·山西期中）已知直线l的倾斜角是135°，且过点，则下列四个点中在直线l上的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二上·山西期中）已知椭圆，则椭圆的长轴长为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2022高二上·山西期中）若点和点到直线的距离相等，则（ ）
A．-1 B．1 C．-1或-4 D．1或-4
4．（2022高二上·山西期中）已知圆内一点，则过P点的最短弦所在的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高二上·山西期中）若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．（2022高二上·山西期中）若直线与曲线有交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022高二上·山西期中）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线与E相交的另一点为M，点M在x轴上的射影为点N，O为坐标原点，若，则E的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·山西期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题
9．（2022高二上·山西期中）下列关于直线方程的说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角可以是
B．直线过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为
C．过点的直线的直线方程还可以写成
D．经过两点的直线方程可以表示为
10．（2022高二上·山西期中）下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程是
B．若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是
C．双曲线与椭圆的焦点相同
D．M是双曲线上一点，点是双曲线的焦点，若，则
11．（2022高二上·山西期中）已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆O引两条切线，A，B为切点，则下列说法正确的是（ ）
A．长度的最小值为
B．的最大值为
C．当最小时，直线的方程为
D．定点到动直线距离的最大值是
12．（2022高二上·山西期中）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（ ）
A．若的中点为M，则四面体是鳖臑
B．与所成角的余弦值是
C．点S是平面内的动点，若，则动点S的轨迹是圆
D．过点E，F，G的平面与四棱锥表面交线的周长是
三、填空题
13．（2022高二上·山西期中）抛物线 的焦点到准线的距离为 ．
14．（2022高二上·山西期中）在直角坐标系中，，沿直线把直角坐标系折成的二面角，则的长度为 .
15．（2022高二上·山西期中）已知正方体的棱长为1，点M，N是线段上的两个三等分点，动点G在内，且的面积为，则G点的轨迹长度为 .
16．（2022高二上·山西期中）阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得 阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的方程为 ；若Q为抛物线上的动点，Q在y轴上的射影为M，则的最小值为 .
四、解答题
17．（2022高二上·山西期中）已知直线与直线交于点.
（注：结果都写成直线方程的一般式）
（1）直线经过点，且平行于直线，求直线的方程；
（2）直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程.
18．（2022高二上·山西期中）如图，平行六面体中，底面是菱形，且.
（1）求与所成角的余弦值；
（2）若空间有一点P满足：，求点P到直线的距离.
19．（2022高二上·山西期中）已知圆与轴相切，且在轴上的截距之和是6，圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若圆上恰有两个点到直线的距离为2，求实数的取值范围；
（3）若圆与圆有公共点，求实数的取值范围.
20．（2022高二上·山西期中）如图1，在直角梯形中，为的中点，将沿折起，使，如图2，连接.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的大小.
21．（2022高二上·山西期中）已知抛物线上一动点G，过点G作x轴的垂线，垂足为D，M是上一点，且满足.
（1）求动点M的轨迹C；
（2）若为曲线C上一定点，过点P作两条直线分别与抛物线交于A，B两点，若满足，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.
22．（2022高二上·山西期中）已知椭圆，点P为E上的一动点，分别是椭圆E的左右焦点，的周长是12，椭圆E上的点到焦点的最短距离是2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的动直线l与椭圆交于P，Q两点，求面积的最大值及此时l的方程.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【解答】直线l的倾斜角是135°，所以，所以由点斜式得直线l的方程为： ，
当时，，A不符合题意，
当时，，故点在直线上，B符合题意，
当，C不符合题意，
当，D不符合题意，
故答案为：B
【分析】根据点斜式可得直线的方程，逐项进行判断，可得答案.
2．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆得：，所以，解得，所以长轴长，
故答案为：A.
【分析】将椭圆方程化成标准方程，求出a的值，进而可得椭圆的长轴长.
3．【答案】D
【知识点】点到直线的距离公式
【解析】【解答】由题意得：，即，解得：或.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式即可求出a的值.
4．【答案】D
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：由题得圆的圆心坐标为，
由圆的几何性质得，过点P点的最短弦所在的直线与垂直，
由题得，所以直线的斜率为 .
所以过P点的最短弦所在的直线方程是 即.
故答案为：D
【分析】由圆的几何性质得，过点P点的最短弦所在的直线与垂直，结合直线的斜率公式以及直线垂直时斜率的关系可得答案.
5．【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为
由，解得，此时双曲线的方程为
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为
由，解得，此时双曲线的方程为
故答案为：C
【分析】讨论焦点的位置，设出双曲线的方程，由渐近线、虚轴的性质求出双曲线的标准方程.
6．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】曲线，即，，
表示圆心为，半径的一个半圆.
直线，过定点，
如图所示，画出图像：
，，，，
根据图像知：，.
故答案为：D
【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解，可得实数k的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意得，设
因为，所以，
所以，得，即
因为点在椭圆上，
所以，化简得，
所以离心率，
故答案为：B.
【分析】由，可得，由此可求出点M的坐标，再把点M的坐标代入椭圆方程化简，可求出椭圆的离心率.
8．【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图，是底面正的中心，平面，平面，则，
，则，又，，
，直线交于点，，
以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，，
，
设与和都垂直，
则，取，则，，
P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离等于．
故答案为：D．
【分析】以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离，利用向量法可求得答案.
9．【答案】A,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的两点式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】对于A，当时，直线方程为：，此时直线倾斜角为，A符合题意；
对于B，当直线过坐标原点时，，此时其在两坐标轴上的截距相等；
当直线不过坐标原点时，设，则，；
综上所述：过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：或，B不符合题意；
对于C，在直线上，，
则，，C符合题意；
对于D，若或，则过两点的直线无法表示为，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】 由直线倾斜角的定义可判断A；分直线过坐标原点和直线不过坐标原点两种情况求解直线方程可判断B；可判断C；由直线的两点式方程可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质；曲线与方程；圆锥曲线的共同特征
【解析】【解答】对于A，抛物线的准线方程是，A符合题意，
对于B，当即时，方程表示圆，B不符合题意，
对于C，双曲线即，与椭圆的焦点均为，C符合题意，
对于D，双曲线，顶点为，焦点为，，
，而，则，D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】根据已知条件，结合抛物线、椭圆、双曲线的性质逐项进行判断，可得答案.
11．【答案】A,C,D
【知识点】直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】对于A，圆：的圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，由切线的性质可知为直角三角形，
所以，
当且仅当与直线垂直时取等号，所以长度的最小值为，所以A符合题意，
对于B，越小，的值越大，当的长无限大时，无限接近，的值无限接近1，所以B不符合题意，
对于C，圆：的圆心，半径，如图，连接，
则，
所以要求的最小值，只要求出的最小值，即时取得最小值，
所以，所以直线的方程为，即，
由，解得，即，
因为，所以也在以为直径的圆上，
因为以为直径的圆为，
即，
所以直线的方程为，即，
所以当最小时，直线的方程为，所以C符合题意，
对于D，设，因为为直线任一点，所以，
因为圆的两条切线，A，B为切点，
所以，所以也在以为直径的圆上，
令的中点为，则，则以为直径的圆为
，
因为圆，
所以直线的方程为，
因为，所以直线的方程为，
即，
由，得，
所以直线恒过定点，
所以定点到动直线距离的最大值是
，
所以D符合题意，
故答案为：ACD.
【分析】利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题可判断A；∠APB无限接近0°，cos∠APB的值无限接近1，可判断B；由四边形PAOB等面积法的最小值转化为求|PO|的最小值，即：当时，|PO|取得最小值，求得点P坐标，再由点P、点O求出以PO为直径的圆的方程，两圆方程之差即为(公共弦)AB所在的直线方程可判断C；根据题意设P的坐标为P(m，n)，由切线的性质得点A、B在以OP为直径的圆C上，求出圆C的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标，可求定点到动直线距离的最大值，可判断D.
12．【答案】A,B,C
【知识点】棱锥的结构特征；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】连接，
因为底面，面，所以，
又，面，面，，
所以面，又面，所以，
所以面MCB为直角三角形，
所以，又
由勾股定理知，所以面MBD为直角三角形，
又面BCD，面DCM均为直角三角形，
所以四面体是鳖臑，所以A符合题意；
以D为坐标原点，分别以为正半轴建系如图，
则，
故，，.
故与所成角的余弦值
，B符合题意；
对于C：因 ，，所以的轨迹是以为焦点的椭球面，
又，，
，又面，面，，
所以面，
即面垂直于椭球的长轴，故面截椭球的截面为圆，
所以动点S的轨迹是圆，所以C符合题意；
对于D：设平面的法向量为，
由可取，
设过点E，F，G的平面与交于，与交于，设，
故，又因为平面，
所以，解得，，
又，
由几何体的对称性知，
所以截面周长为，D不符合题意，
故答案为：ABC.
【分析】根据“鳖臑”的定义可判断A；以D为坐标原点，分别以为正半轴建系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法可判断B、C、D.
13．【答案】
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】 ，所以 ，所以抛物线的焦点到准线的距离为 .
【分析】根据抛物线的定义可得答案.
14．【答案】8
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】如图，分别作垂直于直线于点，
则由等腰直角三角形的性质可得，即.
若沿直线把直角坐标系折成的二面角，则，
因为二面角的大小为，所以，代入上式可得，
所以，即的长度为8.
故答案为：8.
【分析】若沿直线把直角坐标系折成的二面角，则，两边平方，再结合余弦定理可求出的长度.
15．【答案】
【知识点】轨迹方程；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】连接交于点，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.
则，
，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则
则平面，且点到平面的距离，
所以的面积，则
所以G点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，圆的周长为.
又因为点G在中，则点G的轨迹为圆在三角形内部的弧长.
如图所示：
因为平面，所以
则，
，即，，
根据对称性知圆内弧长占圆周长的，则G点的轨迹长度为.
故答案为：.
【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，可得G点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，根据对称性知圆内弧长占圆周长的，即可求出G点的轨迹长度.
16．【答案】或（）；
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】设，由得，
化简得，
抛物线的焦点为，，
，
，
易知当四点共线时，取得最小值为，
所以的最小值是．
故答案为：；．
【分析】 设点P坐标，根据题意写出关于x与y的关系式化简即可得阿氏圆的方程；利用抛物线的定义可知，进而可得的最小值为，求解可得答案.
17．【答案】（1）解：由联立得，，
设，将代入得，解得，
为.
（2）解：由题意直线的斜率存在且不为，设或，
将代入得或
解得无解或，
所以，即，
为.
【知识点】直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【分析】（1） 由 求出点P的坐标， 设 ，把点P的坐标代入方程，求出m的值，即可得直线的方程；
（2） 设或，把点P的坐标代入方程，即可求出直线的方程.
18．【答案】（1）解：因为，，
所以，同理可得，，
因为，
所以，
，
所以
，
所以，
，
与所成角的余弦值是；
（2）解：因为，，
所以，
在菱形中，，
则为等边三角形，所以，
所以
，
则点到直线的距离
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）由已知得 ， 利用向量法可求出 ，从而可求出 与所成角的余弦值；
（2）利用已知可得 ，利用 可求出点到直线的距离.
19．【答案】（1）解：由已知圆在轴上的截距之和是6可得圆心在直线上，
代入得圆心，
又圆与轴相切，所以，
所以
（2）解：圆心到直线的距离，
因为圆上恰有两个点到直线的距离为2，
所以，解得，或
（3）解：圆与圆有公共点，则，
因为，
所以，
解得，
所以实数的取值范围.
【知识点】点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】(1) 由已知圆在轴上的截距之和是6可得圆心在直线上， 代入 ，可得圆心的坐标，又根据圆C与y轴相切可得圆的半径，从而可得圆的方程；
(2)根据题意可知圆心到直线的距离d，满足|d-3|<2，求解不等式可得实数的取值范围；
(3)根据两圆相交圆心距的关系列出不等式，求解出实数的取值范围.
20．【答案】（1）证明：交于点，故平面，
又平面，故，交于点，
故平面，平面，故平面平面.
（2）解：平面，过作平面的垂线为轴，以为原点，分别为轴，轴建立如图所示空间直角坐标系.
设，则，
解得，，
，，
设平面的法向量，则有，
取，
设平面的法向量，则有，
取，
，
根据观察知，二面角的平面角为锐角，故二面角的大小是.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明 平面， 进而证明CD⊥平面ABD，再由面面垂直的判定定理证明出平面平面；
(2) 以为原点，分别为轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可求出二面角的大小.
21．【答案】（1）解：设，则，
由，得，代入得，
所以动点的轨迹.
（2）证明：易得的斜率存在，设，
，
由联立可得：，
①，
②
将①代入②得：，
所以，
所以直线恒过定点.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 设，则， 由已知可得 ，可求出动点M的轨迹C；
(2) 设，，结合已知可得，进而可求直线AB恒过定点，进而求出定点坐标.
22．【答案】（1）解：由题意得，解得：，
椭圆的方程是：
（2）解：设，
联立消去得：
由题意可知：点，
所以
令，则，所以，
，易知在单调递增，
所以当，此时，所以直线的方程为：.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题意得 ，求出a，c，进而求出b，即可求出椭圆的标准方程；
（2） 设 与椭圆联立结合韦达定理可得 得 ， 令，则，得，利用基本不等式可求出 面积的最大值 ，求出m的值，可得直线的方程.
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山西省高中教育发展联盟2022-2023学年高二上学期数学11月期中检测试卷
一、单选题
1．（2022高二上·山西期中）已知直线l的倾斜角是135°，且过点，则下列四个点中在直线l上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【解答】直线l的倾斜角是135°，所以，所以由点斜式得直线l的方程为： ，
当时，，A不符合题意，
当时，，故点在直线上，B符合题意，
当，C不符合题意，
当，D不符合题意，
故答案为：B
【分析】根据点斜式可得直线的方程，逐项进行判断，可得答案.
2．（2022高二上·山西期中）已知椭圆，则椭圆的长轴长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆得：，所以，解得，所以长轴长，
故答案为：A.
【分析】将椭圆方程化成标准方程，求出a的值，进而可得椭圆的长轴长.
3．（2022高二上·山西期中）若点和点到直线的距离相等，则（ ）
A．-1 B．1 C．-1或-4 D．1或-4
【答案】D
【知识点】点到直线的距离公式
【解析】【解答】由题意得：，即，解得：或.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式即可求出a的值.
4．（2022高二上·山西期中）已知圆内一点，则过P点的最短弦所在的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：由题得圆的圆心坐标为，
由圆的几何性质得，过点P点的最短弦所在的直线与垂直，
由题得，所以直线的斜率为 .
所以过P点的最短弦所在的直线方程是 即.
故答案为：D
【分析】由圆的几何性质得，过点P点的最短弦所在的直线与垂直，结合直线的斜率公式以及直线垂直时斜率的关系可得答案.
5．（2022高二上·山西期中）若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为
由，解得，此时双曲线的方程为
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为
由，解得，此时双曲线的方程为
故答案为：C
【分析】讨论焦点的位置，设出双曲线的方程，由渐近线、虚轴的性质求出双曲线的标准方程.
6．（2022高二上·山西期中）若直线与曲线有交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】曲线，即，，
表示圆心为，半径的一个半圆.
直线，过定点，
如图所示，画出图像：
，，，，
根据图像知：，.
故答案为：D
【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解，可得实数k的取值范围.
7．（2022高二上·山西期中）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线与E相交的另一点为M，点M在x轴上的射影为点N，O为坐标原点，若，则E的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意得，设
因为，所以，
所以，得，即
因为点在椭圆上，
所以，化简得，
所以离心率，
故答案为：B.
【分析】由，可得，由此可求出点M的坐标，再把点M的坐标代入椭圆方程化简，可求出椭圆的离心率.
8．（2022高二上·山西期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图，是底面正的中心，平面，平面，则，
，则，又，，
，直线交于点，，
以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，，
，
设与和都垂直，
则，取，则，，
P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离等于．
故答案为：D．
【分析】以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离，利用向量法可求得答案.
二、多选题
9．（2022高二上·山西期中）下列关于直线方程的说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角可以是
B．直线过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为
C．过点的直线的直线方程还可以写成
D．经过两点的直线方程可以表示为
【答案】A,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的两点式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】对于A，当时，直线方程为：，此时直线倾斜角为，A符合题意；
对于B，当直线过坐标原点时，，此时其在两坐标轴上的截距相等；
当直线不过坐标原点时，设，则，；
综上所述：过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：或，B不符合题意；
对于C，在直线上，，
则，，C符合题意；
对于D，若或，则过两点的直线无法表示为，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】 由直线倾斜角的定义可判断A；分直线过坐标原点和直线不过坐标原点两种情况求解直线方程可判断B；可判断C；由直线的两点式方程可判断D.
10．（2022高二上·山西期中）下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程是
B．若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是
C．双曲线与椭圆的焦点相同
D．M是双曲线上一点，点是双曲线的焦点，若，则
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质；曲线与方程；圆锥曲线的共同特征
【解析】【解答】对于A，抛物线的准线方程是，A符合题意，
对于B，当即时，方程表示圆，B不符合题意，
对于C，双曲线即，与椭圆的焦点均为，C符合题意，
对于D，双曲线，顶点为，焦点为，，
，而，则，D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】根据已知条件，结合抛物线、椭圆、双曲线的性质逐项进行判断，可得答案.
11．（2022高二上·山西期中）已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆O引两条切线，A，B为切点，则下列说法正确的是（ ）
A．长度的最小值为
B．的最大值为
C．当最小时，直线的方程为
D．定点到动直线距离的最大值是
【答案】A,C,D
【知识点】直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】对于A，圆：的圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，由切线的性质可知为直角三角形，
所以，
当且仅当与直线垂直时取等号，所以长度的最小值为，所以A符合题意，
对于B，越小，的值越大，当的长无限大时，无限接近，的值无限接近1，所以B不符合题意，
对于C，圆：的圆心，半径，如图，连接，
则，
所以要求的最小值，只要求出的最小值，即时取得最小值，
所以，所以直线的方程为，即，
由，解得，即，
因为，所以也在以为直径的圆上，
因为以为直径的圆为，
即，
所以直线的方程为，即，
所以当最小时，直线的方程为，所以C符合题意，
对于D，设，因为为直线任一点，所以，
因为圆的两条切线，A，B为切点，
所以，所以也在以为直径的圆上，
令的中点为，则，则以为直径的圆为
，
因为圆，
所以直线的方程为，
因为，所以直线的方程为，
即，
由，得，
所以直线恒过定点，
所以定点到动直线距离的最大值是
，
所以D符合题意，
故答案为：ACD.
【分析】利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题可判断A；∠APB无限接近0°，cos∠APB的值无限接近1，可判断B；由四边形PAOB等面积法的最小值转化为求|PO|的最小值，即：当时，|PO|取得最小值，求得点P坐标，再由点P、点O求出以PO为直径的圆的方程，两圆方程之差即为(公共弦)AB所在的直线方程可判断C；根据题意设P的坐标为P(m，n)，由切线的性质得点A、B在以OP为直径的圆C上，求出圆C的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标，可求定点到动直线距离的最大值，可判断D.
12．（2022高二上·山西期中）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（ ）
A．若的中点为M，则四面体是鳖臑
B．与所成角的余弦值是
C．点S是平面内的动点，若，则动点S的轨迹是圆
D．过点E，F，G的平面与四棱锥表面交线的周长是
【答案】A,B,C
【知识点】棱锥的结构特征；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】连接，
因为底面，面，所以，
又，面，面，，
所以面，又面，所以，
所以面MCB为直角三角形，
所以，又
由勾股定理知，所以面MBD为直角三角形，
又面BCD，面DCM均为直角三角形，
所以四面体是鳖臑，所以A符合题意；
以D为坐标原点，分别以为正半轴建系如图，
则，
故，，.
故与所成角的余弦值
，B符合题意；
对于C：因 ，，所以的轨迹是以为焦点的椭球面，
又，，
，又面，面，，
所以面，
即面垂直于椭球的长轴，故面截椭球的截面为圆，
所以动点S的轨迹是圆，所以C符合题意；
对于D：设平面的法向量为，
由可取，
设过点E，F，G的平面与交于，与交于，设，
故，又因为平面，
所以，解得，，
又，
由几何体的对称性知，
所以截面周长为，D不符合题意，
故答案为：ABC.
【分析】根据“鳖臑”的定义可判断A；以D为坐标原点，分别以为正半轴建系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法可判断B、C、D.
三、填空题
13．（2022高二上·山西期中）抛物线 的焦点到准线的距离为 ．
【答案】
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】 ，所以 ，所以抛物线的焦点到准线的距离为 .
【分析】根据抛物线的定义可得答案.
14．（2022高二上·山西期中）在直角坐标系中，，沿直线把直角坐标系折成的二面角，则的长度为 .
【答案】8
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】如图，分别作垂直于直线于点，
则由等腰直角三角形的性质可得，即.
若沿直线把直角坐标系折成的二面角，则，
因为二面角的大小为，所以，代入上式可得，
所以，即的长度为8.
故答案为：8.
【分析】若沿直线把直角坐标系折成的二面角，则，两边平方，再结合余弦定理可求出的长度.
15．（2022高二上·山西期中）已知正方体的棱长为1，点M，N是线段上的两个三等分点，动点G在内，且的面积为，则G点的轨迹长度为 .
【答案】
【知识点】轨迹方程；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】连接交于点，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.
则，
，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则
则平面，且点到平面的距离，
所以的面积，则
所以G点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，圆的周长为.
又因为点G在中，则点G的轨迹为圆在三角形内部的弧长.
如图所示：
因为平面，所以
则，
，即，，
根据对称性知圆内弧长占圆周长的，则G点的轨迹长度为.
故答案为：.
【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，可得G点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，根据对称性知圆内弧长占圆周长的，即可求出G点的轨迹长度.
16．（2022高二上·山西期中）阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得 阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的方程为 ；若Q为抛物线上的动点，Q在y轴上的射影为M，则的最小值为 .
【答案】或（）；
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】设，由得，
化简得，
抛物线的焦点为，，
，
，
易知当四点共线时，取得最小值为，
所以的最小值是．
故答案为：；．
【分析】 设点P坐标，根据题意写出关于x与y的关系式化简即可得阿氏圆的方程；利用抛物线的定义可知，进而可得的最小值为，求解可得答案.
四、解答题
17．（2022高二上·山西期中）已知直线与直线交于点.
（注：结果都写成直线方程的一般式）
（1）直线经过点，且平行于直线，求直线的方程；
（2）直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程.
【答案】（1）解：由联立得，，
设，将代入得，解得，
为.
（2）解：由题意直线的斜率存在且不为，设或，
将代入得或
解得无解或，
所以，即，
为.
【知识点】直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【分析】（1） 由 求出点P的坐标， 设 ，把点P的坐标代入方程，求出m的值，即可得直线的方程；
（2） 设或，把点P的坐标代入方程，即可求出直线的方程.
18．（2022高二上·山西期中）如图，平行六面体中，底面是菱形，且.
（1）求与所成角的余弦值；
（2）若空间有一点P满足：，求点P到直线的距离.
【答案】（1）解：因为，，
所以，同理可得，，
因为，
所以，
，
所以
，
所以，
，
与所成角的余弦值是；
（2）解：因为，，
所以，
在菱形中，，
则为等边三角形，所以，
所以
，
则点到直线的距离
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）由已知得 ， 利用向量法可求出 ，从而可求出 与所成角的余弦值；
（2）利用已知可得 ，利用 可求出点到直线的距离.
19．（2022高二上·山西期中）已知圆与轴相切，且在轴上的截距之和是6，圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若圆上恰有两个点到直线的距离为2，求实数的取值范围；
（3）若圆与圆有公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由已知圆在轴上的截距之和是6可得圆心在直线上，
代入得圆心，
又圆与轴相切，所以，
所以
（2）解：圆心到直线的距离，
因为圆上恰有两个点到直线的距离为2，
所以，解得，或
（3）解：圆与圆有公共点，则，
因为，
所以，
解得，
所以实数的取值范围.
【知识点】点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】(1) 由已知圆在轴上的截距之和是6可得圆心在直线上， 代入 ，可得圆心的坐标，又根据圆C与y轴相切可得圆的半径，从而可得圆的方程；
(2)根据题意可知圆心到直线的距离d，满足|d-3|<2，求解不等式可得实数的取值范围；
(3)根据两圆相交圆心距的关系列出不等式，求解出实数的取值范围.
20．（2022高二上·山西期中）如图1，在直角梯形中，为的中点，将沿折起，使，如图2，连接.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）证明：交于点，故平面，
又平面，故，交于点，
故平面，平面，故平面平面.
（2）解：平面，过作平面的垂线为轴，以为原点，分别为轴，轴建立如图所示空间直角坐标系.
设，则，
解得，，
，，
设平面的法向量，则有，
取，
设平面的法向量，则有，
取，
，
根据观察知，二面角的平面角为锐角，故二面角的大小是.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明 平面， 进而证明CD⊥平面ABD，再由面面垂直的判定定理证明出平面平面；
(2) 以为原点，分别为轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可求出二面角的大小.
21．（2022高二上·山西期中）已知抛物线上一动点G，过点G作x轴的垂线，垂足为D，M是上一点，且满足.
（1）求动点M的轨迹C；
（2）若为曲线C上一定点，过点P作两条直线分别与抛物线交于A，B两点，若满足，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1）解：设，则，
由，得，代入得，
所以动点的轨迹.
（2）证明：易得的斜率存在，设，
，
由联立可得：，
①，
②
将①代入②得：，
所以，
所以直线恒过定点.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 设，则， 由已知可得 ，可求出动点M的轨迹C；
(2) 设，，结合已知可得，进而可求直线AB恒过定点，进而求出定点坐标.
22．（2022高二上·山西期中）已知椭圆，点P为E上的一动点，分别是椭圆E的左右焦点，的周长是12，椭圆E上的点到焦点的最短距离是2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的动直线l与椭圆交于P，Q两点，求面积的最大值及此时l的方程.
【答案】（1）解：由题意得，解得：，
椭圆的方程是：
（2）解：设，
联立消去得：
由题意可知：点，
所以
令，则，所以，
，易知在单调递增，
所以当，此时，所以直线的方程为：.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题意得 ，求出a，c，进而求出b，即可求出椭圆的标准方程；
（2） 设 与椭圆联立结合韦达定理可得 得 ， 令，则，得，利用基本不等式可求出 面积的最大值 ，求出m的值，可得直线的方程.
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