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浙江省台金六校2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1．（2022高二上·浙江期中）若椭圆满足，则该椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二上·浙江期中）已知直线，若，则与之间的距离（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（2022高二上·浙江期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022高二上·浙江期中）已知双曲线的一条渐近线的方程是，且焦点到该渐近线的距离为2，则该双曲线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．（2022高二上·浙江期中）在棱长为3的正方体中，平面与平面之间的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（2022高二上·浙江期中）点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
7．（2022高二上·浙江期中）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·浙江期中）已知为椭圆上不同的三点，直线，直线交于点，直线交于点，若，则（ ）
A．0 B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二上·浙江期中）已知一个古典概型的样本空间和事件和事件，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．与互斥 D．与相互独立
10．（2022高二上·浙江期中）在四面体中，分别是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则四边形为矩形
C．若，则
D．若，则
11．（2022高二上·浙江期中）设直线与直线交于点，已知点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，点在圆上
B．当时，
C．当时，点在直线上
D．当时，的最小值为2
12．（2022高二上·浙江期中）已知为椭圆的左 右焦点，为椭圆上的一点，若以线段为直径的圆与圆总有公共点，则的值可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
三、填空题
13．（2022高二上·浙江期中）已知过点的直线的倾斜角为，则直线的方程是 .
14．（2022高二上·浙江期中）某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.5.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李明最终通过面试的概率为 .
15．（2022高二上·浙江期中）已知椭圆和双曲线的焦点相同，分别为左 右焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若轴，则椭圆和双曲线的离心率之积为 .
16．（2022高二上·浙江期中）如图，把边长为2的正方形纸片沿对角线折起，设二面角的大小为，异面直线与所成角为，当时，的取值范围是 .
四、解答题
17．（2022高二上·浙江期中）某中学有教职工150人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：
本科 研究生 合计
35岁以下 35 30 65
岁 30 23 53
50岁以上 25 7 32
从这150名教职工中随机的抽取1人，求下列事件的概率.
（1）事件A：“年龄在35岁以下”；
（2）事件：“具有研究生学历”.
18．（2022高二上·浙江期中）已知圆，直线过点且与圆交于两点.
（1）当最小时，求直线的方程；
（2）当时，求直线的方程.
19．（2022高二上·浙江期中）如图，多面体，底面是边长为2的等边三角形，侧面为正方形且垂直于底面，，，为的中点，为棱上靠近点的三等分点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的大小.
20．（2022高二上·浙江期中）已知圆和定点为圆上的动点，线段的中垂线与直线交于点，设动点的轨迹为曲线.
（1）求证：为定值，并求曲线的方程；
（2）若曲线与轴的正半轴交于点，直线与曲线交于两点，且的面积是，求实数的值.
21．（2022高二上·浙江期中）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，为等边三角形，分别为棱的中点，为棱上的动点（包括端点）.
（1）若为棱的中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
22．（2022高二上·浙江期中）如图，已知为椭圆的上焦点，分别为上，下顶点，过作直线与椭圆交于两点（不与重合）.
（1）若，求直线的方程；
（2）记直线与的斜率分别为，求证：为定值，并求出该定值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为，所以.
故答案为：B
【分析】运用a、b、c的关系和离心率公式可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】因为，所以，即，两平行线之间的距离.
故答案为：B
【分析】根据两平行线间的距离公式可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】由题可知不共面，
对于A选项，因为，所以三个向量共面；
对于B选项，因为，所以三个向量共面；
对于C选项，假设存在实数使得，
则共面，与不共面矛盾，因此不共面；
对于D选项，，所以共面.
故答案为：C．
【分析】根据已知条件，结合共面向量的充要条件逐项进行判断，可得答案.
4．【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】若焦点在轴上，设焦点，因为双曲线的一条渐近线的方程是，且焦点到该渐近线的距离为2，
所以，解得，即；
因为，所以，此时方程为；
若焦点在轴上，设焦点，，解得，即；
因为，所以，此时方程为；
故答案为：D.
【分析】 先根据焦点位置，设焦点，利用距离求出c，结合渐近线的方程可得答案.
5．【答案】C
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为，平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面平面，
所以平面与平面之间的距离可以转化为点到平面之间的距离，
以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，
，，，，，，
设平面的法向量为，
所以，即，令，则，，
所以点到平面之间的距离为，
即平面与平面之间的距离为.
故答案为：C.
【分析】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用向量的数量积求解平面与平面之间的距离 .
6．【答案】D
【知识点】恒过定点的直线；点到直线的距离公式
【解析】【解答】由直线，整理可得，
令，解得，
点到直线距离的最大值为点到定点的距离，则，
故答案为：D.
【分析】 由已知直线方程求得直线所过定点坐标，再由两点间的距离公式求解出答案.
7．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】因为圆，圆心为，半径为，
由切线性质得，，A，，四点共圆，且.，
所以，
而，则当直线时，最小，最小，
所以此时直线，
由解得，即，
所以以为直径的圆的方程为，
即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故答案为：A.
【分析】分析可知，当直线时，最小，最小，由此可求得此时直线PO的方程，进而求得点P的坐标，进一步求得以为直径的圆的方程，将该方程与圆O的方程相减即可得到直线的方程．
8．【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由，则，
由图知：当位置变化时，或，故，
所以，而直线、斜率存在且不为0，
故，
，
所以，即或，
当，化简得.
当时，，显然，无解.
所以.
故答案为：B.
【分析】根据三角形面积公式及或，得再应用相交弦长公式列方程，求解可得答案.
9．【答案】A,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】因为，，
所以，
，
，
，A符合题意，B不符合题意；
与不互斥，C不符合题意；
事件A与相互独立，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】 计算出事件A和事件B，以及A∪B，的概率，即可判断A， B；由于，，可判断C；分别计算P(A) P(B)， P (AB)的值，可得二者的关系，判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由于分别是棱的中点，
所以，所以四边形是平行四边形.
A选项，，
所以A选项错误.
B选项，设是的中点，
若，则，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，
所以，所以四边形是矩形，B选项正确.
C选项，若，则四边形是矩形，所以，所以，
所以C选项正确.
D选项，若，
，所以；
，所以；
，所以.
故答案为：BCD
【分析】由于分别是棱的中点，可得四边形是平行四边形，根据向量加法及数乘运算判断A；根据棱锥的结构特征，结合线面垂直的判定和性质定理可判断B；由四边形是矩形，可得，可判断C；利用向量数量积的运算可判断D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】直线的一般式方程与直线的性质
【解析】【解答】设，则，，
当时，，即，所以点在圆上，A符合题意；
当时，，，
，即，B符合题意；
当时，由题可得，即，故点在直线上，C符合题意；
当时，点在直线上，设点关于的对称点为，
则，解得，即，
所以，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】利用直线垂直的充要条件的应用，结合两点间的距离公式逐项进行判断，可得答案.
12．【答案】B,C
【知识点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】求出的最小值和最大值，即可求出以线段为直径的圆的最小和最大圆，若都与圆总有公共点，即可求出的取值范围，即可得出答案.
【详解】因为椭圆，所以，
所以，则，因为为椭圆上的一点，
当为椭圆的右顶点即时，最大，
此时以线段为直径的圆为：，圆心，
当为椭圆的左顶点即时，最小，
此时以线段为直径的圆为：，
圆心，
若以线段为直径的圆与圆总有公共点，
则，解得：.
故答案为：BC.
【分析】求出的最小值和最大值，即可求出以线段为直径的圆的最小和最大圆，若都与圆总有公共点，即可求出的取值范围，即可得答案.
13．【答案】x=3
【知识点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】因为过点的直线的倾斜角为，
所以直线轴，故直线方程为x=3，
故答案为：x=3
【分析】 由于直线过点(4， 3)且直线的倾斜角为90°，可得直线⊥x轴，即可得到直线的方程 .
14．【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设李明最终通过面试为事件，则，
所以.
故答案为：.
【分析】利用相互独立事件的概率公式计算可得答案.
15．【答案】1
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设，由题可知，，
因为轴，所以，
所以椭圆和双曲线的离心率之积为.
故答案为：1.
【分析】根据椭圆和双曲线的定义，得，再根据椭圆和双曲线的离心率关系求出答案.
16．【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】设的中点为，连接，则，
所以为二面角的平面角，即，
如图以为原点建立空间直角坐标系，
则，
所以，
所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：.
【分析】设的中点为，连接，可得为二面角的平面角，以为原点建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法可求出 的取值范围 .
17．【答案】（1）解：年龄在35岁以的有35个本科生和30个研究生，
所以事件A的概率为
（2）解：具有研究生学历的在不同年临段分别有30，23，7人
所以事件B的概率为
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）先求出年龄在35岁以下的人数，再由频率估计概率即可求出事件A的概率；
（2）先求出具有研究生学历的人数，再由频率估计概率即可求出事件B的概率.
18．【答案】（1）解：圆，圆心，半径.
当直线与垂直时，最短，直线的斜率，
所以此时直线的斜率为-2，直线的方程为，即
（2）解：当时，圆心到直线的距离为.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为，
即，所以，解得，
所以的方程为，即.
综上所述：当时，直线的方程为或.
【知识点】直线的点斜式方程；点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【分析】（1）把圆M一般方程化为标准方程，求出圆心和半径， 当直线与垂直时，最短， 求出直线的斜率，进而得出直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程；
（2）当时，求出圆心到直线的距离 ，分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况求解直线的方程.
19．【答案】（1）证明： 底面是边长为2的等边三角形，
又侧面为正方形且垂直于底面，，，
为的中点，为棱上靠近点的三等分点.
由题意可得， 以为坐标原点，以 为 轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示.
则点，，，， ，
，，，
，
，
，，
即，又，平面，平面，
平面
（2）解：由（1）可知为平面的法向量且，
设平面的一个法向量可以为，
设平面与平面的夹角为，
，
，
平面与平面夹角的大小为： .
【知识点】直线与平面垂直的判定；向量语言表述线线的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 以为坐标原点，以 为 轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量数量积的运算证得 ，再根据线面垂直的判定定理可证得 平面；
（2）求出平面的法向量和平面的一个法向量 ，利用向量夹角公式可求出平面与平面夹角的大小.
20．【答案】（1）证明：由线段的中垂线与直线交于点，得，
为定值.点的轨迹是以为焦点的双曲线，
设双曲线方程为：，，
所以，曲线的轨迹方程是.
（2）解：由（1）得，，设，
由，消去得，，则.
，整理得，
解得，或（舍去）.
所以，.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由线段的中垂线与直线交于点，得， 再结合已知条件可得点的轨迹是以为焦点的双曲线，求出a，b，可得曲线的方程；
（2）设 ， 直线与曲线 联立结合韦达定理可得 ，再根据 ，可求出实数的值.
21．【答案】（1）证明：取线段的中点，连接，
因为为棱的中点，所以，且
又因为
又分别为的中点，
所以，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，又因为平面平面，
所以平面
（2）解：因为为边长为2等边三角形，分别为的中点，
所以，且，
底面为等腰梯形，，
分别为的中点，
所以，且，
又因为平面平面，
所以平面，
又因为，所以平面，又平面，
所以，
所以在中，，
所以是边长为等边三角形，
解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，
设，则，
设直线与平面所成角为，则
，
所以当时，取得最大值，
当或1时，取得最小值，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.
解法二：因为平面，平面，
所以平面，
所以到平面得距离相等，设为，
因为为线段的中点，则，且，
又因为平面，平面，
所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，
所以，
因为平面，又平面，
所以，
所以，
在等腰中，，
所以底边上的高，
所以，
设直线与平面所成角为，则，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 取线段的中点，连接， 由已知条件可得四边形是平行四边形，可得 ，再根据线面平行的判定定理可证得 平面；
（2） 建立空间直角坐标系， 求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值的取值范围 .
22．【答案】（1）解：由题可知，依题知直线的斜率存在，设为，
所以，，设，
由，可得，
所以，
由，得，
∴，
，
解得，即，
直线的方程为
（2）证明：由题可知，
∴，
，
所以，，
，，
，
∴，
所以为定值，定值为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 依题知直线的斜率存在，设，，与椭圆方程联立，结合韦达定理可得 ，由 可得 ，求出k的值，进而得直线的方程；
（2） 由题可知 ，结合椭圆的方程可得 ， 得出 为定值 .
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浙江省台金六校2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1．（2022高二上·浙江期中）若椭圆满足，则该椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为，所以.
故答案为：B
【分析】运用a、b、c的关系和离心率公式可求出答案.
2．（2022高二上·浙江期中）已知直线，若，则与之间的距离（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】因为，所以，即，两平行线之间的距离.
故答案为：B
【分析】根据两平行线间的距离公式可求出答案.
3．（2022高二上·浙江期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】由题可知不共面，
对于A选项，因为，所以三个向量共面；
对于B选项，因为，所以三个向量共面；
对于C选项，假设存在实数使得，
则共面，与不共面矛盾，因此不共面；
对于D选项，，所以共面.
故答案为：C．
【分析】根据已知条件，结合共面向量的充要条件逐项进行判断，可得答案.
4．（2022高二上·浙江期中）已知双曲线的一条渐近线的方程是，且焦点到该渐近线的距离为2，则该双曲线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】若焦点在轴上，设焦点，因为双曲线的一条渐近线的方程是，且焦点到该渐近线的距离为2，
所以，解得，即；
因为，所以，此时方程为；
若焦点在轴上，设焦点，，解得，即；
因为，所以，此时方程为；
故答案为：D.
【分析】 先根据焦点位置，设焦点，利用距离求出c，结合渐近线的方程可得答案.
5．（2022高二上·浙江期中）在棱长为3的正方体中，平面与平面之间的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为，平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面平面，
所以平面与平面之间的距离可以转化为点到平面之间的距离，
以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，
，，，，，，
设平面的法向量为，
所以，即，令，则，，
所以点到平面之间的距离为，
即平面与平面之间的距离为.
故答案为：C.
【分析】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用向量的数量积求解平面与平面之间的距离 .
6．（2022高二上·浙江期中）点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】恒过定点的直线；点到直线的距离公式
【解析】【解答】由直线，整理可得，
令，解得，
点到直线距离的最大值为点到定点的距离，则，
故答案为：D.
【分析】 由已知直线方程求得直线所过定点坐标，再由两点间的距离公式求解出答案.
7．（2022高二上·浙江期中）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】因为圆，圆心为，半径为，
由切线性质得，，A，，四点共圆，且.，
所以，
而，则当直线时，最小，最小，
所以此时直线，
由解得，即，
所以以为直径的圆的方程为，
即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故答案为：A.
【分析】分析可知，当直线时，最小，最小，由此可求得此时直线PO的方程，进而求得点P的坐标，进一步求得以为直径的圆的方程，将该方程与圆O的方程相减即可得到直线的方程．
8．（2022高二上·浙江期中）已知为椭圆上不同的三点，直线，直线交于点，直线交于点，若，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由，则，
由图知：当位置变化时，或，故，
所以，而直线、斜率存在且不为0，
故，
，
所以，即或，
当，化简得.
当时，，显然，无解.
所以.
故答案为：B.
【分析】根据三角形面积公式及或，得再应用相交弦长公式列方程，求解可得答案.
二、多选题
9．（2022高二上·浙江期中）已知一个古典概型的样本空间和事件和事件，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．与互斥 D．与相互独立
【答案】A,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】因为，，
所以，
，
，
，A符合题意，B不符合题意；
与不互斥，C不符合题意；
事件A与相互独立，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】 计算出事件A和事件B，以及A∪B，的概率，即可判断A， B；由于，，可判断C；分别计算P(A) P(B)， P (AB)的值，可得二者的关系，判断D.
10．（2022高二上·浙江期中）在四面体中，分别是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则四边形为矩形
C．若，则
D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由于分别是棱的中点，
所以，所以四边形是平行四边形.
A选项，，
所以A选项错误.
B选项，设是的中点，
若，则，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，
所以，所以四边形是矩形，B选项正确.
C选项，若，则四边形是矩形，所以，所以，
所以C选项正确.
D选项，若，
，所以；
，所以；
，所以.
故答案为：BCD
【分析】由于分别是棱的中点，可得四边形是平行四边形，根据向量加法及数乘运算判断A；根据棱锥的结构特征，结合线面垂直的判定和性质定理可判断B；由四边形是矩形，可得，可判断C；利用向量数量积的运算可判断D.
11．（2022高二上·浙江期中）设直线与直线交于点，已知点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，点在圆上
B．当时，
C．当时，点在直线上
D．当时，的最小值为2
【答案】A,B,C
【知识点】直线的一般式方程与直线的性质
【解析】【解答】设，则，，
当时，，即，所以点在圆上，A符合题意；
当时，，，
，即，B符合题意；
当时，由题可得，即，故点在直线上，C符合题意；
当时，点在直线上，设点关于的对称点为，
则，解得，即，
所以，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】利用直线垂直的充要条件的应用，结合两点间的距离公式逐项进行判断，可得答案.
12．（2022高二上·浙江期中）已知为椭圆的左 右焦点，为椭圆上的一点，若以线段为直径的圆与圆总有公共点，则的值可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B,C
【知识点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】求出的最小值和最大值，即可求出以线段为直径的圆的最小和最大圆，若都与圆总有公共点，即可求出的取值范围，即可得出答案.
【详解】因为椭圆，所以，
所以，则，因为为椭圆上的一点，
当为椭圆的右顶点即时，最大，
此时以线段为直径的圆为：，圆心，
当为椭圆的左顶点即时，最小，
此时以线段为直径的圆为：，
圆心，
若以线段为直径的圆与圆总有公共点，
则，解得：.
故答案为：BC.
【分析】求出的最小值和最大值，即可求出以线段为直径的圆的最小和最大圆，若都与圆总有公共点，即可求出的取值范围，即可得答案.
三、填空题
13．（2022高二上·浙江期中）已知过点的直线的倾斜角为，则直线的方程是 .
【答案】x=3
【知识点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】因为过点的直线的倾斜角为，
所以直线轴，故直线方程为x=3，
故答案为：x=3
【分析】 由于直线过点(4， 3)且直线的倾斜角为90°，可得直线⊥x轴，即可得到直线的方程 .
14．（2022高二上·浙江期中）某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.5.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李明最终通过面试的概率为 .
【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设李明最终通过面试为事件，则，
所以.
故答案为：.
【分析】利用相互独立事件的概率公式计算可得答案.
15．（2022高二上·浙江期中）已知椭圆和双曲线的焦点相同，分别为左 右焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若轴，则椭圆和双曲线的离心率之积为 .
【答案】1
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设，由题可知，，
因为轴，所以，
所以椭圆和双曲线的离心率之积为.
故答案为：1.
【分析】根据椭圆和双曲线的定义，得，再根据椭圆和双曲线的离心率关系求出答案.
16．（2022高二上·浙江期中）如图，把边长为2的正方形纸片沿对角线折起，设二面角的大小为，异面直线与所成角为，当时，的取值范围是 .
【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】设的中点为，连接，则，
所以为二面角的平面角，即，
如图以为原点建立空间直角坐标系，
则，
所以，
所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：.
【分析】设的中点为，连接，可得为二面角的平面角，以为原点建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法可求出 的取值范围 .
四、解答题
17．（2022高二上·浙江期中）某中学有教职工150人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：
本科 研究生 合计
35岁以下 35 30 65
岁 30 23 53
50岁以上 25 7 32
从这150名教职工中随机的抽取1人，求下列事件的概率.
（1）事件A：“年龄在35岁以下”；
（2）事件：“具有研究生学历”.
【答案】（1）解：年龄在35岁以的有35个本科生和30个研究生，
所以事件A的概率为
（2）解：具有研究生学历的在不同年临段分别有30，23，7人
所以事件B的概率为
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）先求出年龄在35岁以下的人数，再由频率估计概率即可求出事件A的概率；
（2）先求出具有研究生学历的人数，再由频率估计概率即可求出事件B的概率.
18．（2022高二上·浙江期中）已知圆，直线过点且与圆交于两点.
（1）当最小时，求直线的方程；
（2）当时，求直线的方程.
【答案】（1）解：圆，圆心，半径.
当直线与垂直时，最短，直线的斜率，
所以此时直线的斜率为-2，直线的方程为，即
（2）解：当时，圆心到直线的距离为.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为，
即，所以，解得，
所以的方程为，即.
综上所述：当时，直线的方程为或.
【知识点】直线的点斜式方程；点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【分析】（1）把圆M一般方程化为标准方程，求出圆心和半径， 当直线与垂直时，最短， 求出直线的斜率，进而得出直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程；
（2）当时，求出圆心到直线的距离 ，分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况求解直线的方程.
19．（2022高二上·浙江期中）如图，多面体，底面是边长为2的等边三角形，侧面为正方形且垂直于底面，，，为的中点，为棱上靠近点的三等分点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的大小.
【答案】（1）证明： 底面是边长为2的等边三角形，
又侧面为正方形且垂直于底面，，，
为的中点，为棱上靠近点的三等分点.
由题意可得， 以为坐标原点，以 为 轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示.
则点，，，， ，
，，，
，
，
，，
即，又，平面，平面，
平面
（2）解：由（1）可知为平面的法向量且，
设平面的一个法向量可以为，
设平面与平面的夹角为，
，
，
平面与平面夹角的大小为： .
【知识点】直线与平面垂直的判定；向量语言表述线线的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 以为坐标原点，以 为 轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量数量积的运算证得 ，再根据线面垂直的判定定理可证得 平面；
（2）求出平面的法向量和平面的一个法向量 ，利用向量夹角公式可求出平面与平面夹角的大小.
20．（2022高二上·浙江期中）已知圆和定点为圆上的动点，线段的中垂线与直线交于点，设动点的轨迹为曲线.
（1）求证：为定值，并求曲线的方程；
（2）若曲线与轴的正半轴交于点，直线与曲线交于两点，且的面积是，求实数的值.
【答案】（1）证明：由线段的中垂线与直线交于点，得，
为定值.点的轨迹是以为焦点的双曲线，
设双曲线方程为：，，
所以，曲线的轨迹方程是.
（2）解：由（1）得，，设，
由，消去得，，则.
，整理得，
解得，或（舍去）.
所以，.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由线段的中垂线与直线交于点，得， 再结合已知条件可得点的轨迹是以为焦点的双曲线，求出a，b，可得曲线的方程；
（2）设 ， 直线与曲线 联立结合韦达定理可得 ，再根据 ，可求出实数的值.
21．（2022高二上·浙江期中）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，为等边三角形，分别为棱的中点，为棱上的动点（包括端点）.
（1）若为棱的中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
【答案】（1）证明：取线段的中点，连接，
因为为棱的中点，所以，且
又因为
又分别为的中点，
所以，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，又因为平面平面，
所以平面
（2）解：因为为边长为2等边三角形，分别为的中点，
所以，且，
底面为等腰梯形，，
分别为的中点，
所以，且，
又因为平面平面，
所以平面，
又因为，所以平面，又平面，
所以，
所以在中，，
所以是边长为等边三角形，
解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，
设，则，
设直线与平面所成角为，则
，
所以当时，取得最大值，
当或1时，取得最小值，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.
解法二：因为平面，平面，
所以平面，
所以到平面得距离相等，设为，
因为为线段的中点，则，且，
又因为平面，平面，
所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，
所以，
因为平面，又平面，
所以，
所以，
在等腰中，，
所以底边上的高，
所以，
设直线与平面所成角为，则，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 取线段的中点，连接， 由已知条件可得四边形是平行四边形，可得 ，再根据线面平行的判定定理可证得 平面；
（2） 建立空间直角坐标系， 求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值的取值范围 .
22．（2022高二上·浙江期中）如图，已知为椭圆的上焦点，分别为上，下顶点，过作直线与椭圆交于两点（不与重合）.
（1）若，求直线的方程；
（2）记直线与的斜率分别为，求证：为定值，并求出该定值.
【答案】（1）解：由题可知，依题知直线的斜率存在，设为，
所以，，设，
由，可得，
所以，
由，得，
∴，
，
解得，即，
直线的方程为
（2）证明：由题可知，
∴，
，
所以，，
，，
，
∴，
所以为定值，定值为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 依题知直线的斜率存在，设，，与椭圆方程联立，结合韦达定理可得 ，由 可得 ，求出k的值，进而得直线的方程；
（2） 由题可知 ，结合椭圆的方程可得 ， 得出 为定值 .
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