上海市浦东2013-2014学年高二第一学期数学期中联考数学试卷

上海市浦东2013-2014学年高二第一学期数学期中联考
数学试卷
（满分100分 考试时间90分钟）
题号
1-12
13-16
17
18
19
20
21
总分
得分
一、填空题（1~11题每题3分，12题4分 满分37分）
1．数列-，，-，………的一个通项公式是_________________；
2．=___________________；
3．等差数列{an}中，若a3+a7=16,则a5=__________;
4．等比数列{bn}中，若b2b3b4=8，则b3=_______;
5．与向量=（4，-3）同向的单位向量是__________;
6．已知直角⊿ABC中，BC为斜边，且AC=4，AB=3，则=________;
7．设数列前n项的和为Sn=3n2-2n,则an=_________;
8．在各项都是正数的等比数列{an}中，若a2a8+2a5a3+a2a4=16,则a3+ a5=_____;
9．已知f(n)=1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1,对任意n∈N*,则f(n+1)-f(n)=____ __;
10．已知|AB|=|AC|=6，且=18，则⊿ABC的形状是________;
11．若，则实数x的取值范围是____________;
12．观察如图数表，根据数表中的变化规律 ，2013位于数表中的第____行，第____列。 1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
……………………….
二、选择题（每题3分，满分12分）
13．已知数列{an}前n项的和Sn=an2+bn(a≠0)是数列{an}成等差数列的（ ）
A，充分非必要条件， B必要非充分条件
C，充要条件 D，既非充分又非必要条件
14．已知数列，，1，3……前n项和Sn大于100的自然数n的最小值是（ ）
A 6 B 7 C 8 D 9
15．向量与向量=（1，-2）的夹角为1800，且||=，则等于（ ）
A （6，-3） B （3，-6） C （-3,6） D （-6,3）
16．设D，E，F分别是⊿ABC三边BC，CA，AB上的点，且，，，则与关系是……（ ）
A 反向平行 B 同向平行 C 互相垂直 D 既不平行也不垂直
三、解答题（满分51分）
17．（本题8分）
已知无穷等比数列{an}所有奇数项的和为36，偶数项的和为12，求此数列的首项和公比。
18．（本题10分）
有四个数，其中前三个成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。
19．（本题10分）
已知向量=（-3，2）与向量=（x，-5）
（1）若向量⊥向量，求实数x的值； (4分)
（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数x的取值范围。（6分）
20．（本题10分）
已知数列{an}前n项的和Sn,且a1=2, an+1=Sn (n∈N*)
（1) 求a2，a3，a4的值； （3分）
（2） 猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明。（7分）
21．（本题13分）
已知数列{an}中，a1=1,an=2an-1+1
（1）证明数列{an+1}是等比数列；并求此数列的通项an；（4分）
（2）设数列bn=,记Tn=b1+b2+………+bn,求的值。 （4分）
（3）若数列{Cn}满足C1=10，Cn+1=100Cn,求数列{Cn}的通项公式。 （5分）
2013年第一学期高二数学期中考试试卷
一，填空题（1~11题每题3分，12题4分满分37分
1，数列-，，-，………的一个通项公式是______-___________；
2，=___________________；
3，等差数列{an}中，若a3+a7=16,则a5=____8______;
4，等比数列{bn}中，若b2b3b4=8，则b3=___2____;
5，与向量=（4，-3）同向的单位向量是__(,-)_________;
6，已知直角⊿ABC中，BC为斜边，且AC=4，AB=3，则=___-16_____;
7，设数列前n项的和为Sn=3n2-2n,则an=_____6n-5______;
8，在各项都是正数的等比数列{an}中，若a2a8+2a5a3+a2a4=16,则a3+ a5=__4_____;
9, 已知f(n)=1+2+3+……+(n-1)+n+(n-1)+……..+3+2+1,对任意n∈
N*,f(n+1)-f(n)=__ 2n+1______;
10，已知|AB|=|AC|=6，且=18，则⊿ABC的形状是__等边三角形_______;
11，若，则实数x的取值范围是____________;
12，观察如图数表，根据数表中的变化规律 ，2013位于数表中的第_45___行，第_77___列。
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
……………………….
二，选择题，（每题3分，满分12分）
13，已知数列{an}前n项的和Sn=an2+bn(a≠0)是数列{an}成等差数列的（ A ）
A，充分非必要条件， B必要非充分条件
C，充要条件 D，既非充分又非必要条件
14，已知数列，，1，3，………前n项和Sn大于100的自然数n的最小值是 （ B ）
A 6 B 7 C 8 D 9
15，向量与向量=（1，-2）的夹角为1800，且||=，则等于 （ C ）
A （6，-3） B （3，-6） C （-3,6） D （-6,3）
16，设D，E，F分别是⊿ABC三边BC，CA，AB上的点，且，
, ，则与关系是 （ A ）
A 反向平行 B 同向平行 C 互相垂直 D 既不平行也不垂
三，解答题，（满分52分）
17，（本题8分）
已知无穷等比数列{an}所有奇数项的和为36，偶数项的和为12，求此数列的首项和公比。
解： 设数列{an}的首项为a1，公比为q,依题意得：
……………..①……………………………1`
………………②……………………………1`
两式相除得q= …………………………………………3`
将q=代入①得a1=32……………………………………2`
∴此数列的首项为32，公比为. …………………1`
18，（本题10分）
有四个数，其中前三个成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。
解：设这四个数分别为x , y , 12-y , 16-x ……………2`
依题意得： 2y=x+12-y且(12-y)2=y(16-x) ………………2+2
解得：x=0 , y=4或x=15,y=9…………………2`
所以：所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1………………….2`
19，（本题10分）
已知向量=（-3，2）与向量=（x，-5）
（1）若向量⊥向量，求实数x的值； (4分)
（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数x的取值范围。（6分）
解：(1)∵向量⊥向量………………………………………….1`
∴·=0………………………………………………….1`
∴-3x-10=0 ……………………………………………….1`
∴x=- …………………………………………………1`
(2) ∵向量与向量的夹角为钝角
∴·<0且·≠-1 …………………………………2`
∴-3x-10<0且-3x-10≠-1 ……………………………….2`
∴x的取值范围是（-，-3）∪（-3，+）……………2`
20，（本题10分）
已知数列{an}前n项的和Sn,且a1=1, an+1=Sn (n∈N*)
（1) 求a2，a3，a4的值； （3分）
（2） 猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明。（7分）
解(1)：由an+1=Sn (n∈N*)，且a1=1得
a2=- ……………………………………………………….1`
a3= - ……………………………………………………….1`
a4= - ………………………………………………………..1`
(2): 猜想：an=…………………………………2`
下面用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1、n=2时，a1=1，a2=-，猜想结论成立………1`
（ⅱ）假设当n=k(,k≥2,k∈N*)，猜想结论成立。
当n=k+1时，
ak+1=Sk=-(Sk-1+ak)
=-Sk-1 ak
=ak ak
=
=
= ………………………………3`
由（ⅰ），（ⅱ）可得，猜想对任意n∈N*都成立。…………1`
21，（本题12分）
已知数列{an}中，a1=1,an=2an-1+1 （n≥2,n∈N*）
（1）证明数列{an+1}是等比数列；并求此数列的通项an；（4分）
（2）设数列bn=,记Tn=b1+b2+………+bn,求的值。 （4分）
（3）若数列{Cn}满足C1=10，Cn+1=100Cn,求数列{Cn}的通项公式。 （4分）
(1),证明：∵an=2an-1+1
∴an+1==2an-1+2
∴an+1==2(an-1+1)
∴数列{an+1}是以2为公比的等比数列 …………………2`
又∵a1=1，∴a1+1=2
∴an+1=2·2n-1,
∴an=2n-1………………………………………………….2`
(2) ∵bn===………….2`
∴ Tn=b1+b2+………+bn
=1-+-+-+…….+
=1-
=1 …………………………………………….2`
(3) ∵ Cn+1=100Cn
∴lgCn+1=2+lgCn, ……………………………….2
∴{ lgCn}是以2为公差的等差数列…………………..1`
又∵C1=10，∴lgC1=1
lgCn=1+(n-1)2=2n-1
∴Cn=102n-1, (n∈N*)………………………………1`

江苏省赣榆高级中学高三年级学情检测文科数学试卷参考答案
(2) ∵
∴
------------------------------------------10分
∵ ∴
∴ ∴.
即函数的值域为.-------------------------------------------14分
16、（本题满分14分）
（1）证明：因为是的中点，， 所以。

由底面，得，
又，即，
平面，所以 ，
平面，
。 ………… 7分
（2）由分别为的中点，得，且，
又，故，
由（1）得平面，又平面，故，
四边形是直角梯形，
在中，，，
截面的面积。 …… 14分
(2) 直线的方程为
由得切点 …………………………10分
又∵P(4,4), ∴线段PD的中点为M(2,3)
又∵椭圆右焦点
又,∴线段PD的垂直平分线的斜率为 -2 …………………………14分
∵,∴线段PD的垂直平分线与椭圆有两个交点
即在椭圆上存在两个点Q,使△PDQ是以PD为底的等腰三角形. ………………………16分
(或与过点M的椭圆右侧切线斜率比较说明)
当时，，此时的单调性如下表：
0
0
增
减
增
………………………6分
综上：当时，在是增函数
当时，在，是增函数，
在是减函数…………………7分
20．（本小题满分16分）
解：（1）∵
∴ ……………………2分
∴是以为首项，p为公比的等比数列
因此，即 ……………………4分
（2）∵当时，，
由，得 ……………………6分
∵
又∵
而
∴
即对满足题设的所有点在区域：内……………………8分
而对区域内的任一点，
取，
则，
即，使得，都是（）中的点
综上可知，点构成的图形是如图所示的圆，其面积为 …………………10分
（3）∵
∴ …………………12分

…………………14分
∴ …………………16分

惠州市2014届高三第三次调研考试
数学 (理科）参考答案与评分标准
一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
B
A
C
D
A
1.【解析】1.由且得，选B；
2.【解析】集合，集合B为函数的定义域，所以，所以（1，2]。故选D
3【解析】解：故选C
4.【解析】解：，因此输出故选B
5.【解析】抛物线的焦点为（2，0），∴椭圆焦点在x轴上且半焦距为2，
∴，∴，∴椭圆的方程为 故选A。
6.【解析】设11时到12时的销售额为万元，依设有，选C
7. 【解析】从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为
故选D
8.【解析】【答案】A
解析:,可知函数所以函数为奇函数,同时，也是递增函数,注意到，所以同号,所以,选A
二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
9． 10．3 11．14 12．1 13．1 14． 15．
9.【解析】因为，所以得
10.【解析】由题意
11.?【解析】6人中选4人的方案种，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种。
12. 【解析】本小题主要考查线性规划的相关知识。由恒成立知，当时，
恒成立，∴；同理，∴以,b为坐标点
所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1.
13.【解析】依题意有 ，；，；
，；，.
故
14.【解析】曲线即，表示圆心在（1，0），半径等于1的圆，直线即直线，故圆心到直线的距离为1。
15.【解析】设，则，由得。又
得
三、解答题：
16. （本小题满分12分）
解：（1）
3分
，
5分
7分
（2）(法一) ,及,
, 即(舍去)或 10分
故 12分
(法二) ,及,
. 7分
,
,
. 10分
故 12分
17（本小题满分12分）
解：（1）解法一：由题意知，的可能取值为0，1，2，3，且 …………1分
，，…………3分
，．…………5分
所以的分布列为
0
1
2
3
的数学期望为．…………7分
解法二：根据题设可知，，…………3分
因此的分布列为．…………5分
因为，所以．…………7分
（2）解法一：用表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以，且互斥，又…………8分
，…………10分
，…………11分
由互斥事件的概率公式得．…………12分
解法二：用表示“甲队得分”这一事件，用表示“乙队得分”这一事件，．
由于事件，为互斥事件，故有．
由题设可知，事件与独立，事件与独立，…………10分
因此
．…………12分
18（本小题满分14分）
解: (1)∵平面，，…1分
∵，…3分
…4分
又 ∴， ……5分
……6分
∴. ……7分
（2）由题知为在平面上的射影，
∵，平面，∴，
∴， …………8分
………9分
………10分
， ………12分
当且仅当，即时取等号， ………13分
∴当时，三棱锥的体积最大，最大值为． ……14分
说明：向量法酌情给分
19（本小题满分14分）
(1)解:由,得. ………2分
由于是正项数列,所以. …………3分
于是时,. ………5分
综上,数列的通项. …………………6分
(2)证明:由于. …………7分
则. …………9分
……11分
…………13分
. …………14分
20（本小题满分14分）解：（1）（法1）设，因为点在圆上，
且点关于圆心的对称点为，
所以， …………1分
且圆的直径为．…………2分
由题意，动圆与轴相切，
所以，两边平方整理得：，
所以曲线的方程． ……………………………………6分
（法2）因为动圆过定点且与轴相切，所以动圆在轴上方，
连结，因为点关于圆心的对称点为，所以为圆的直径．
过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为（如图6－1）．
在直角梯形中，，
即动点到定点的距离比到轴的距离1．…………………3分
又动点位于轴的上方（包括轴上），
所以动点到定点的距离与到定直线的距离相等．
故动点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线．
所以曲线的方程． ……………6分
（2）①（法1）由题意，直线的斜率存在且不为零，如图6－2．
设直线的斜率为（），则直线的斜率为． ………………7分
因为是曲线：上的点，
所以，直线的方程为．
由，解得或，
所以点的坐标为，……………9分
以替换，得点的坐标为． ……………10分
所以直线的斜率为定值．………14分
（法2）因为是曲线：上的点，所以，．
又点、在曲线：上，所以可设，， ……7分
而直线，的倾斜角互补，
所以它们的斜率互为相反数，即，……9分
整理得．……10分 所以直线的斜率…11分
…13分 …14分为定值．………14分
21（本小题满分14分）
解：（1）由得，所以．……2分
由得，故的单调递增区间是，
由得，故的单调递减区间是…………4分
（2）由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．……5分
由得．
①当时，．
此时在上单调递增．故，符合题意．…6分
②当时，．
当变化时的变化情况如下表：
单调递减
极小值
单调递增
由此可得，在上，．
依题意，，又．
综合①，②得，实数的取值范围是．……9分
（3），……10分
，…11分
，，…，
由此得，………13分
故．…………14分

2013-2014学年广州市花都区圆玄中学高一数学第一学期期末考试试题
一、选择题（以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共50分）
1. 若三点共线，m则的值为（ ）
Ａ．　　 Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．
2. 已知集合A=， B=，则＝（ ）
A．( 0 , 1 ) B． ( 0 ,) C．(, 1 ) D．
3．一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知A(),B(),︱AB︱=5,m则 =（ ）
A． B． C．或 D．或
5．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
6． 如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）
A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
7．已知，是平面，，是直线，给出下列命题
①若，，则．
②若，，∥，∥，则∥．
③如果、n是异面直线，那么相交．
④若，∥，且，则∥且∥．
其中正确命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有( )
A． B．
C． D．
9．已知函数，若，令
，则（ ）
A． M>N>P B．N>M>P C．P>N>M D． M>P>N
10．设，函数，则使的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．我国2000年底的人口总数为M，人口的年平均自然增长率p,到2010年底我国人口总数是 ；
12．已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为 ；
13．为定义在区间的奇函数，它在区间上的图象为
如右图所示的一条线段，则不等式的解集为 ；
14．如右图，在正方体中，点在侧面及边界上运动并保持⊥，在图中画出点的运动轨迹。
三、解答题（共80分）
15．（本小题13分）已知的三个顶点是，，．
（1）求BC边的高所在直线方程； （2）求的面积S．
16．（本小题13分）如图，在长方体 中，，， 为的中点．
（1）求证：平面BEC；
（2）求三棱锥E-BCD的体积.
17. （本小题13分）甲、乙两地相距200千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过50千米/ 小时。已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/小时的平方成正比,比例系数为0.02;固定部分为50元/小时.
(1) 把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出定义域；
(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶？
18．（本小题13分）如右图,在棱长都等于1的三棱锥中，是上的一点，过F作平行于棱AB和棱CD的截面，分别交BC,AD,BD于E，G，H
(1) 证明截面EFGH是矩形；
（2）在的什么位置时，截面面积最大,说
明理由.
19．（本小题14分）设为实数，函数，
（1）当时，讨论的奇偶性；
（2）当时，求的最大值.
20. （本小题14分）二次函数满足，且，
（1）求的解析式；
（2）在区间上的图象恒在图象的上方，试确定实数的范围。
2013-2014学年广州市花都区圆玄中学高一数学第一学期期末考试试题答案
班级 姓名 学号 评分
选择题答案栏（30分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
C
B
D
B
B
C
B
二、填空题（12分）
11． M (1+p)10
12． x+4y－7=0 ，x＝－1
13． 14.
三、解答题（58分）
15．（10分）
解：（1）设BC边的高所在直线为l，由题知1 ――――2分
则， ――――3分
又点在直线l上
所以直线l的方程为 即 ――――4分
（2）BC所在直线方程为： 即 ――5分
点A（－1，4）到BC的距离 ――――7分
又 ――――8分
则 ――――10分
16．（12分）
解：（1）证明：侧面，
侧面，
∴ ―――2分
在中，，
则有，
∴，即， ――――4分
又∵
∴平面． ―――－6分
（2） 侧面 且侧面，
∴ ――――8分
则 ――――9分
又∵平面
就是三棱锥E-BCD的高 －―――10分
则 ―――12分
17．（12分）
解：（1）依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为小时 ――――1分
全程运输成本y(元)与速度v(千米/时)的函数关系是：
， ――――5分
（2）令，
设 ――――6分
（） 8分
由得，又得 且
∴ ――――10分
则在上单调递减 ――――11分
∴
答：为了使全程运输成本最小,汽车应以50千米/ 时的速度行驶。―――12分
18．（14分）
解：（1）证：∵AB∥平面EFGH，
平面ABC平面EFGH＝EF
∴AB∥EF ――2分
同理AB∥GH
∴EF∥GH
同理EH∥CD∥FG ――4分
∴四边形EFGH是平行四边形 ――5分
取CD中点S，连接AS，BS
∵AC＝AD，S是CD中点
∴AS⊥CD ――6分
同理 BS⊥CD
又∵ASBS＝S
∴CD⊥平面ABS
∴CD⊥AB ――8分
又∵AB∥EF，FG∥CD
∴EF⊥CD
即 四边形EFGH是矩形 ――9分
(2) 设FG＝， ――10分
由（1）知，又CD＝AB＝1
∴EF= ―－12分
则 ――――13分

∴当时，最大
即是的中点时，截面面积最大 ――――14分
19．（10分）
解：（1）当时，，
此时为奇函数。 ――――1分
当时，，，
由且，
此时既不是奇函数又不是偶函数 ――――3分
（2） 当时，
∵时，为增函数，
∴时，. ―――4分
当时，
∵，
∴，其图象如图所示：
①当，即时，. ――――5分
②当，即时，―― 7分
③当，即时， ――9分
综上：当时，；
当时，；
当时，； ――――10分
20. 解：（1）由题设
∵ ∴ 又
∴
∴ ∴ ∴
∴
（2）当时，的图象恒在图象上方
∴ 时恒成立，即恒成立
令
时，
故只要即可，实数的范围