博罗县2022-2023 学年度第一学期高二期中学科质量检测
数学试题 参考答案
1．C【详解】，，则 故选：C
2．C
【详解】因为圆的圆心为，
则圆的圆心坐标是.故选：C．
3．A 【详解】因为直线经过第一、二、三象限，
所以直线的斜率，在y轴上的截距.故选：A
4．D
【详解】∵ ∴x＝1， ∴，
∴，
又∵， ∴向量与的夹角为 故选：D.
5．A
【详解】由题意得：，则，. 故选：A
6．C
【详解】因为向量，，且，，
所以，， 解得，
所以向量，， 所以，
所以， 故选：C
7．D
【详解】因为过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，
所以由图可知，或，
因为或， 所以或， 故选：D
8．B
【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得，
由，得，∴M（－3，1）．
设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为，
∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），
∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0． 故选：B．
9．BC
【详解】向量， ，，，故正确；
，1，，故错误；
，故错误；
，故正确． 故选：．
10．AC
【详解】令，解得：或．当时，与重合；当时，．A正确，B错误．
若，则，解得，C正确，D错误． 故选：AC
11．AC
【详解】对于A，任意一条直线都有倾斜角，但当直线与轴垂直时没有斜率，故A正确；
对于B，直线与直线的距离为，故B错误；
对于C，直线与两坐标轴交点为，，
直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C正确；
对于D，当直线在轴上截距时，直线在轴上截距，
此时直线过点，，直线方程为，即，
当直线在轴上截距时，直线在轴上截距，
设直线方程为，把代入得，解得，
直线方程为，即，
经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，，故D错误．
故选：AC．
12．ACD
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系
对A，根据长方体的性质判定即可；
对B，根据可得点的位置，再计算是否为0即可；
对C，求解平面的法向量，并判断即可；
对D，根据可得点的位置，再分别证明，即可
【详解】在长方体中，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
则，，，，，，，则，．
A选项，当时，为线段的中点，根据长方体的结构特征，为体对角线的中点，因此也为的中点，所以，，三点共线，故A正确．
B选项，当时，，由题意可得，．由，解得，所以，即点为线段上靠近点的五等分点，所以．则，，所以，所以与不垂直，故B错误．
C选项，当时，．
设平面的法向量为，由，令，可得．又，所以，因此，又点不在平面内，所以平面，故C正确．
D选项，当时，，所以，
所以，，因此，．
又，则平面，故D正确．
故选：ACD．
13． ( )
【详解】化直线方程为斜截式得，故直线的斜率为.
故答案为：.
14．2
【详解】因为点K（1，k，0）是四次曲面：上的一点，
所以，得，解得， 故答案为：2
15．
【详解】解析过程略
16． 3
【解析】根据条件可得,再结合条件利用向量相等求出x,y,z的值;结合条件直接由,求出即可.
【详解】解:由题意,知在平行六面体中,,
则,
因为,所以,所以.
因为底面是边长为1的正方形,侧棱的长为2,,
所以
.
故答案为:3;.
【点睛】本题考查了利用向量相等求参数,向量的数量积和向量的模,考查了方程思想,属中档题.
17．(1)
(2)或
【详解】(1)∵A（4，0），B（0，3）
由两点式可得直线AB的方程为，即.……………4分
(2)由（1）可设直线l：，
∴，解得或.……………8分
∴直线l的方程为或.……………10分
18．（1）；（2）；（3）
【分析】设圆的标准方程为，根据已知条件依次计算即可求得（1）（2）（3）.
【详解】设圆的标准方程为，
（1）圆心在点，半径，则圆的方程为；…………3分
（2）求得半径，所以圆的方程为；…………7分
（3）设圆心 则,…………10分
半径，所以圆的方程为.…12分
19．（1）；（2）.
【分析】（1）根据已知向量垂直有，应用空间向量数量积的坐标表示列方程，求的值.
.
由题设得，应用空间向量夹角的坐标表示求即可
【详解】（1）：由，即，…………2分
∴，解得.…………6分
（2）由已知得：，，…………8分
…………12分
20．(1)证明见解析
(2)30°
【详解】（1）如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．…………1分
则，，，，，，．
所以，…………3分
因为平面,
所以平面的一个法向量为，
因为，所以，
因为平面，
所以平面…………5分
（2），，．…………6分
设平面的一个法向量为
则，令，则，， 所以…………9分
设与平面所成角为，
则．…………11分
因为， 所以与平面所成角为30°．…………12分
21．(1)证明见详解.
(2).
【详解】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：…………1分
则,………2分
设面的一个法向量为，，…………4分
可得，即，不妨令则,…………6分
平面.…………7分
，…………8分
则点到平面的距离为.…………12分
22．【分析】（1）过作交于，利用勾股定理证得，进而得到，进而证得平面，故平面平面；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再代入算得结果.
【详解】（1）如图，在四边形中，过作交于，在中，得，，则，得，…………2分
，
又由已知条件平面，
故平面，
又平面平面平面.…………5分
（2）为等腰三角形，，又因为平面，
以为原点建立空间直角坐标系，…………6分
如图：可得，，…………7分
设平面的法向量为，…………8分
根据，得，
令，则，得，…………10分
又，设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值.…………12分
答案第1页，共2页博罗县 2022-2023 学年度第一学期高二期中质量检测
数学试题
总分：150 分，测试时间：120 分钟
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息
填写在答题卡上．
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题
目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无
效．
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，
写在本试卷上无效．
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题满分 5分，共 40分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项符合题目要求，选对得 5分，选错得 0分.
1．已知向量a 3,2,5 ，b 1,5, 1 ，则3a b （ ）
A． ( 8,11,14) B． ( 9,3,15) C． ( 10,1,16) D． (0,13,2)
2．已知圆的一般方程为 x2 y2 4x 2y 4 0，其圆心坐标是（ ）
A． (1, 2) B． ( 1,2) C． ( 2,1) D． ( 1, 2)
3．若直线 y ax c经过第一、二、三象限，则有（ ）
A． a 0,c 0 B． a 0,c 0 C． a 0,c 0 D． a 0,c 0
4．已知 a (1,0,1)，b (x,1,2)，且 a b 3，则向量 a与b的夹角为（ ）
5π 2π π
A． B． C． D．
6 3 3 6
5．若直线 l的方向向量为 a (3, 1,2)，平面 的法向量为 n ( 6, 2, 4)，则（ ）
A． l B． l∥ C． l D． l与 斜交
6．设 x，y R
，向量 a x,1,1 ，b (1, y,1)，c (2, 4, 2)且a b，b / /c ，则 | a b |
（ ）
A． 2 2 B． 10 C．3 D．4
7．已知 A 0,2 ，B 2,1 ，过点C 1,0 且斜率为 k的直线 l与线段 AB有公共点，则 k的
取值范围是（ ）
A． 2,1 B． , 2 1, C． 2,1 D． , 2 1,
8．直线 ax＋y＋3a－1＝0恒过定点 M，则直线 2x＋3y－6＝0关于点 M对称的直线方
程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0
试卷第 1页，共 4页
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题满分 5分，共 20分．在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5分，部分选对得 2分，有选错的得 0分.
9．已知向量 a 4, 2, 4 ,b 6, 3,2 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． a b 10, 5, 2 B． a b 2, 1,6
C． a b 10 D． a 6
10．已知直线 l1 :mx 2y 1 0, l2 : x (m 1)y 1 0，则下列结论正确的是（ ）
A．若 l1∥ l2，则m 2 B．若 l1∥ l2，则m 1或m 2
C．若 l1 l
2 2
2，则m D．若 l1 l2，则m 3 3
11．下列说法正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．直线 y x 1与直线 y x 2的距离为 1
C．直线 x y 2 0与两坐标轴围成的三角形的面积是 2
D．经过点 (1,1)且在 x轴和 y轴上截距都相等的直线方程为 x y 2 0
12．如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1， AB 3AD 3AA1 3，点 P为线段 A1C上
的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当 A1C 2A1P时， B1， P，D三点共线
B．当 AP A1C时， AP D1P
C．当 A1C 3A1P时，D1P//平面 BDC1
D．当 A1C 5A1P时， A1C 平面D1AP
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分，其中 16题第一个空 2分，第二个
空 3分.
13．直线3x 4y 12 0的斜率为______。
14．我国近代数学家苏步青主要从事微分几何学和计算几何学等方面的研究，在仿射微
分几何学和射影微分几何学等研究方面取得了出色成果．他的主要成就之一是发现了四
次代数锥面：对于空间中的点 P（x，y，z），若其坐标满足关于 x，y， z的四次代数方
程式，称点 P的轨迹为四次代数曲面．若点 K（1，k，0）是四次曲面 ：x4 y3 z2 9
上的一点，则 k＝___。
15．过直线 2x y 3 0和直线 x 2y 1 0的交点，且斜率为-1的直线的一般式方程
为 。
试卷第 2页，共 4页
16.如图所示，已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD是
边长为 1的正方形，侧棱 AA1的长为 2， A1AB A1AD 120 。
若 AC1 xAB yAD zAA1 ，则 x y z ______；则 AC1的长为
______ 。
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题 10分）已知平面直角坐标系内两点 A（4，0），B（0，3）。
(1)求直线 AB的方程；
(2)若直线 l平行于直线 AB，且到直线 AB的距离为 2，求直线 l的方程。
18．（本小题 12分）根据下列条件求圆的方程：
（1）圆心在点O 0,0 ，半径 r 3；
（2）圆心在点O 0,0 ，且经过点M 3, 4 ；
（3）以点 A 2,5 、B 4,1 为直径。
19 ．（本小题 12分）已知 a (1, 4, 2),b ( 2,2,4)。
（1）若 (ka b) (a 3b)，求实数 k的值；
1
（2）若 c b，求 cos a,c 的值。
2
试卷第 3页，共 4页
20．（本小题 12分）如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，棱长为 2，M、N分别为 A1B、AC
的中点。
(1)证明：MN //平面 BCC1B1；
(2)求 A1B与平面 A1B1CD所成角的大小。
21．（本小题 12分）如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，已知 AB AD 2，AA1 5，E，
F分别为DD1，BB1上的点，且DE B1F 1。
(1)求证：BE 平面 ACF：
(2)求点 B到平面 ACF的距离。
22．如图，在四棱锥 P ABMN中，△PNM 是边长为 2的正三角形，AN NP，AN∥BM ，
AN 3，BM 1， AB 2 2，C，D分别是线段 AB， NP的中点。
(1)求证：平面 ANMB 平面 NMP；
(2)求直线CD与平面 ABP所成角的正弦值。
试卷第 4页，共 4页
