2021-2022学年四川省成都市蓉城名校联盟高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
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2021-2022学年四川省成都市蓉城名校联盟高二（下）期中数学试卷（文科）
副
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
函数的导函数为( )
A. B.
C. D.
已知复数满足，则复数的模为( )
A. B. C. D.
已知，，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
函数在处的切线的斜率为( )
A. B. C. D.
下列叙述不正确的是( )
A. 由，，猜想，这是归纳推理
B. 由平面内不共线的个点确定一个圆猜想空间中不共面的个点确定一个球，这是类比推理
C. 指数函数的图象过点，是指数函数，因此的图象过点，这是演绎推理
D. 用反证法证明“若，则，，至少有一个不小于”应先假设，，至少有一个小于
已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
已知函数，则函数的单调递增区间为( )
A. B. ，
C. D.
九章算术中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
直线过点且与曲线相切，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
在正方体中，下列结论正确的有( )
异面直线与所成角的大小为；
直线与直线垂直；
直线与平面所成角的正切值为；
二面角的正切值为．
A. B. C. D.
已知变量与变量的关系可以用模型其中为自然对数的底数拟合，设，变换后得到一组数：
则当时，的估计值为( )
附：线性回归方程中的系数，．
A. B. C. D.
如图，正方形的中心为正方形的中心，，截去如图所示的阴影部分后，翻折得到正四棱锥四点重合于点，则此四棱锥的体积的最大值为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
函数在处取得极值，则实数的值为______．
已知复数，则复数的虚部为______．
在各棱长都相等的正三棱柱中，异面直线与所成角的余弦值为______．
已知对任意不相等的正数，都有恒成立，则实数的取值范围为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
为了解学生每天的运动情况，随机抽取了名学生进行调查，如图是根据调查结果绘制的学生每天运动时间的频率分布直方图，并将每天运动时间不低于分钟的学生称为“运动达人”
根据题意完成下面的列联表：
非运动达人 运动达人 合计
男
女
合计
能否有的把握认为“运动达人”与性别有关？
独立性检验临界值表：
参考公式及数据：，其中．
本小题分
已知函数在点处的切线方程为．
求，的值；
若方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．
本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别为棱，的中点．
求证：平面；
求三棱锥的体积．
本小题分
已知函数．
求函数的极值；
当时，恒成立，求实数的取值范围．
本小题分
如图，四边形是正方形，平面平面，，，，．
证明：平面平面；
求多面体的体积．
本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若恒成立，求实数的取值集合；
证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：函数的导函数为：．
故选：．
利用导数的运算法则，求解即可．
本题考查函数导数的应用，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由，
则，
即，
故选：．
由复数的模的运算，结合复数的运算求解即可．
本题考查了复数的模的运算，重点考查了复数的运算，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若，，则直线、可能平行、相交或异面，A错误；
对于，若，，则直线、可能平行、相交或异面，B错误；
对于，垂直与同一直线的两个平面平行，C正确；
对于，若，，则或，D错误；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查直线与平面的位置关系，涉及直线、平面平行垂直的判断和性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
根据导数的几何意义可知，
函数在处的切线的斜率为，
故选：．
对函数求导，利用导数的几何意义可知切线的斜率为的值．
本题考查了导数的几何意义，所以基础题．
5.【答案】
【解析】解：对于，由，，猜想，
用的是从特殊到一般的推理，是归纳推理，故A正确；
对于，“平面内不共线的个点确定一个圆”
由圆的性质类比推理到球的性质，我们可类比推理出：
“空间不共面个点确定一个球”，故B正确；
对于，是从一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，是演绎推理，故C正确；
对于，用反证法证明“若，则，，至少有一个不小于”，
应先假设，，都小于，故D错误．
故选：．
利用归推理判断；利用类比推理判断；利用演绎推理判断；利用反证法判断．
本题考查命题真假的判断，考查归推理、类比推理、演绎推理、反证法等基础知识，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：函数函数，．
函数在上为单调递增函数，转化为在上恒成立，
从而有，．
并且，，解得
故选：．
求出导函数，利用导函数非负，列出不等式，转化求解即可．
本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力．
7.【答案】
【解析】解：由题意，可知：
，
令，即：．
，并且，
解得：．
函数的单调递增区间为
故选：．
利用导函数的符号，列出不等式求解即可．
本题主要考查用导数法求函数的单调区间，以及不等式的求解问题，本题属中档题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，如图：三棱锥为鳖臑，
其中平面，则，，，
又，，则平面，则有，
可知三棱锥的四个面都是直角三角形，则的中点为三棱锥外接球的球心，为外接球的直径，
又由，
则外接球的半径，其表面积，
故选：．
根据题意，由“鳖臑”的定义和直线与平面垂直的性质可得的中点为三棱锥外接球的球心，为外接球的直径，求出的长，可得外接球的半径，由此计算可得答案．
本题考查多面体外接球与内切球的体积与表面积，关键是确定球心的位置，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为，所以，
设直线与曲线的切点为，切线的斜率为，
所以，
所以切线的方程为：，
因为直线过点，
所以，
解得，
所以，
所以直线的倾斜角为，
故选：．
对函数进行求导，设直线与曲线的切点为，切线的斜率为，利用导数的几何意义可得，点斜式表示出切线方程，将点代入可得的值，进而可得切线的斜率和倾斜角的值．
本题考查了导数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：连接，，
由正方体可得，又是等边三角形，故异面直线与所成角的大小为，故错误；
由底面是正方形，，又平面，平面，，
又，平面，又平面，，故正确；
平面，所以是直线与平面所成的角，
在中，；故正确；
平面，，
是二面角的平面角，
在中，可得故正确．
故选：．
利用正方体的性质，以及每个选项的条件逐项计算求解可判断真假性．
本题考查空间几何体的性质，线线角，线面角，面面角的求法，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：由表中数据可得，，
，
，
，即，
，，
，
当时，，即．
故选：．
根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解线性回归方程，再将代入上式的线性回归方程中，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：设，则所得棱锥侧面的高为，
棱锥的高为，
其体积
，
当且仅当时等号成立，
即体积的最大值为．
故选：．
由题意首先设出的长度，然后得到体积的不等式，最后结合基本不等式求解体积的最大值即可．
本题主要考查锥体体积的计算，基本不等式求最值的方法等知识，属于中等题．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
由题意可知，，
经检验，时函数在处取得极值，
故．
故答案为：．
由题意首先求得导函数的解析式，然后利用导数与函数极值的关系即可求得的值．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，导数的应用等知识，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
，
复数的虚部为．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题主要考查复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】
解：由，
则异面直线与所成角的为或其补角，
连接，设，
则在中，，，
，
故答案为：．
由，则异面直线与所成角的为或其补角，然后结合余弦定理求解即可．
本题考查了异面直线所成角，重点考查了异面直线所成角的作法，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：对任意不相等的正数，都有恒成立，
设，则，
即恒成立，
问题等价于函数，
即在上为增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
问题等价于在上为增函数，求出函数的导数，问题转化为，求出的范围即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．
17.【答案】解：由频率分布直方图可得，抽取的名学生中，运动达人的人数为，
则列联表为：
非运动达人 运动达人 合计
男
女
合计
，
有的把握认为“运动达人”与性别有关．
【解析】先求出运动达人的人数，再结合列联表之间的数据关系，即可求解．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于基础题．
18.【答案】解：因为，
所以，
又因为函数在点处的切线方程为，
所以，即，
解得，；
由可知，
所以，
令，得，．
当变化时，，的变化情况如下表：


极大值 极小值
所以的极大值为，极小值为，
若方程有个不相等的实数根，
即与直线有三个不同的交点，
所以，
即实数的取值范围是．
【解析】对函数求导，结合条件列出方程可求解，求得函数的极值，将方程的根的个数转为两个函数图象交点个数即可求解．
本题考查了导数的几何意义以及极值的应用，属于中档题．
19.【答案】证明：如图所示，取的中点，连结，，
由三角形中位线的性质可知，且，据此可知，
据此可知四边形是平行四边形，则，
由于不在平面内，在平面内，故A平面．
解：由题意可得．
【解析】由题意首先证得线线平行，然后证明线面平行即可；
由题意结合中的结论转化顶点即可求得三棱锥的体积．
本题主要考查线面平行的判定，三棱锥体积的计算等知识，属于基础题．
20.【答案】解：由函数的解析式可得，
时，单调递增，
时，单调递减，
时，单调递增，
故函数的极大值为，
函数的极小值为．
原问题等价于不等式恒成立，
即函数恒不在直线的上方，
注意到直线恒过定点，故考查函数经过该点的切线方程，
由函数的解析式可得，则切点坐标为，斜率为，
切线方程即，
切线经过点，则，解得，，
结合对数函数的图像可知，，
即实数的取值范围是．
【解析】由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数研究函数的单调性即可确定函数的极值；
将原问题进行等价转化，然后利用导数的几何意义即可求得实数的取值范围．
本题主要考查利于导数研究函数极值的方法，利于导数研究不等式恒成立的方法，导数的几何意义等知识，属于中等题．
21.【答案】证明：由于平面平面，平面平面，，
故EA平面，则，
由于四边形是正方形，故CA，且，
故BD平面，平面，
由面面垂直的判断定理可得平面平面．
解：
．
【解析】由题意首先求得线面垂直，然后证明面面垂直即可；
由题意将原问题转化为两个多面体的体积之和，然后计算其体积即可．
本题主要考查面面垂直的判定，组合体体积的计算等知识，属于基础题．
22.【答案】解：因为，所以，
当时，，函数在区间上单调递增；
当时，令，，令，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
由可得当，函数在区间上单调递增，
又，所以，则，与条件矛盾，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，由已知，
所以，
设，则，
所以当时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减，
又，
所以不等式的解集为．
证明：设，则，
当时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
又，
所以，当且仅当时取等号，
由，当且仅当时取等号，
所以．
【解析】首先求函数的导数，再讨论和两种情况，即可求函数的单调性；
根据由条件可得且，解不等式确定实数的取值集合；先证明，根据可得，由此完成证明．
本题考查利用导数处理含参函数的单调性、函数的恒成立问题，涉及参变分离、分类讨论和构造函数等思想与方法，考查学生的分析能力和运算能力，对于恒成立问题，常用到以下两个结论：恒成立；恒成立属于中档题．
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