4.4数学归纳法 课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
4.4* 数学归纳法
高二-—人教版数学—选择性必修第二册—第四章
问题的提出
在数列的学习过程中，我们知道若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，通过定义an－an-1=d(n≥2)，逐一列举a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d，……
归纳得到其通项公式为an=a1+(n－1)d(n∈N*).
但当时并没有给出严格的数学证明.
那么，对于这类与正整数n有关的命题，我们怎样证明它对每一个正整数n都是成立的呢？本节我们就来介绍一种重要的证明方法.
数学归纳法
问题探究
已知数列{an}满足， ，
计算a2 ， a3 ， a4 ，猜想其通项公式，并证明你的猜想.
计算可得a2=1 ,a3=1 , a4=1 .再结合a1=1 ,由此猜想：an=1 (n∈N*).
如何证明这个猜想呢？
我们自然会想到从n=5开始一个个往下验证.
一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小的时候可以逐个验证，但当n比较大时验证起来会很麻烦，特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的.
因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法:
通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立.
码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下.
这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……
总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下.
在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
经分析：可以看出，使所有骨牌都能倒下的条件有两个：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
思考：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言描述它？

经分析：可以看出，条件（2）实际上是给出了一个递推关系：
第k块骨牌倒下 第k+1块骨牌倒下.
这样，只要第一块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能相继倒下.
事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.
你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是an=1 (n∈N*)”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？
你可以类比多米诺骨牌游戏解决这个数学问题吗？
经分析：显然，如果能得到一个类似于“第k块骨牌倒下 第k+1块骨牌倒下”的递推关系式，那么猜想的正确性也就得到证明了.
思考：对于前面的猜想“数列的通项公式是an=1 (n∈N*) ”，这里的递推关系式是什么呢？
分析：数列{an}满足a1=1 （条件1 ------ 第一块骨牌倒下），
（条件2 ------ 递推关系式）.
根据以上两个条件，类似多米诺骨牌，我们能得到猜想的获得过程：
由a1=1 ，利用递推关系
推出a2=1;
由a2=1 ，利用递推关系
由a3=1 ，利用递推关系
推出a3=1;
推出a4=1;
思考：归纳上述过程的共性，你能得出推理的一般结构吗？
经分析，上述推导过程蕴含着一个与多米诺骨牌游戏的条件（2）类似的递推结构：
以
成立为条件，推出 也成立.
它相当于命题： 当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立.
只要能够证明这个命题，我们就可以在a1=1的条件下，由这个命题得到：
对任意正整数n，an=1成立.
如果n=k时猜想成立，即ak=1,
那么
即n=k+1时，猜想也成立.
类比多米诺骨牌，对于猜想“an=1 ”，
由n=1成立，就有n=2成立；
由n=2成立，就有n=3成立；
…….
所以，对于任意正整数n，猜想都成立，
即数列{an}的通项公式是an=1 (n∈N*).
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
只要完成这两个步骤（缺一不可），就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，
————这种证明方法称为数学归纳法．
证明形式：
记P(n)是一个关于正整数n的命题．
条件：(1)P(n0)为真；
(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真．
结论：P(n)为真.
原理：在数学归纳法的两步中，
第一步验证（或证明）了当n=n0时结论成立，即命题P(n0)为真；
第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：
若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真.
完成这两步，就有P(n0)为真，P(n0+1)为真，P(n0+2)为真，……，P(k)为真，P(k+1)为真，…….
从而完成证明.
例、 请用数学归纳法证明：
如果{an}是一个公差为d的等差数列，那么an=a1+ (n－1)d (n∈N*)
问题：
（1）利用数学归纳法证明这个命题，第一步应该做什么？为什么？
因为等差数列的通项公式涉及到全体正整数，
所以第一步应该证明n=1时命题成立.
（2）利用数学归纳法证明这个命题，第二步需要完成什么？
第二步要明确证明的目标，
即要证明一个新命题：
如果n=k时，命题成立；那么n=k+1时，命题也正确.
证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1+0×d=a1，
所以an=a1+(n－1)d 对n=1成立；
（2）假设当n=k(k∈N*)时，ak=a1+(k－1)d成立，
根据等差数列的定义，有 ak+1 －ak=d ，
于是
即当n=k+1时，an=a1+(n-1)d也成立.
由（1）（2）可知，an=a1+(n－1)d对任何n∈N*都成立.
例1、如果{an}是一个公差为d的等差数列，那么an=a1+(n-1)d (n∈N*).
例2、已知数列{an}满足 ，试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
例2、已知数列{an}满足 ，试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
例3、用数学归纳法证明：首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式是
，前n项和公式是 .
证明:（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1q0=a1，等式成立.
（2）假设当n=k(k∈N*)时，等式成立，即 .
则当n=k+1时，
所以，当n=k+1时，等式成立.
由（1）（2）可知，首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式是
下面证明：
首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和公式是 .
证明：（1）当n=1时，左边=S1=a1，右边=a1，等式成立.
（2）假设当n=k(k∈N*)时，等式成立，即
则当n=k+1时，
所以，当n=k+1时，等式成立.
由（1）（2）可知，
首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和公式是
数学归纳法证题的三个关键点：
(1)归纳奠基是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值n0不一定是1，且若n>k(k为正整数)，则n0=k＋1 .
题1.证明“凸n边形对角线的条数 f(n)= ”时，第一步应验证n= 是否成立.
题2.用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2=2n＋3－1”，验证n=1时，左边式子应为 .
3
1＋2＋22＋23
(2)归纳递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“n=k”到
“n=k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．
关键是弄清等式两边的构成规律，明确由n=k到n=k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．
题3.用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2(n∈N*)的过程中，第二步假设n=k(k∈N*)时等式成立，则当n=k＋1时应得到(　　)
A. 1＋3＋5＋…＋(2k＋1)=k2 B. 1＋3＋5＋…＋(2k＋1)=(k＋1)2
C. 1＋3＋5＋…＋(2k＋1)=(k＋2)2 D. 1＋3＋5＋…＋(2k＋1)=(k＋3)2
B
(3)利用假设是核心：在第二步证明n=k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k＋1时命题成立”，在书写P(k＋1)时，一定要把包含P(k)的式子写出来，尤其是P(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.
A
题4、
反思与感悟　用数学归纳法证明的两个关键：
(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0=k＋1.
(2)证明过程的第二步中，从n=k到n=k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳递推．
4.4* 数学归纳法——答疑
高二-—人教版数学—选择性必修第二册—第四章
数学归纳法的框图表示
注意：1.第一步归纳奠基是第二步归纳递推的基础，不可或缺.
2.第二步的归纳假设是归纳递推的根基，
不使用归纳假设，不是数学归纳法.
课本P47---练习1.下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？
这里的错误在于缺少了第一步的验证，因此归纳假设n=k时成立没有基础--------------缺少了归纳奠基
（1）求证：当n∈N*时，n=n+1.
证明：假设当n=k（k∈N*）时，等式成立，即k=k+1.
则当n=k+1时，左边=k+1=(k+1)+1=右边.
所以当n=k+1时，等式也成立.
由此得出，对任何n∈N*，等式n=n+1都成立.
这里的错误是第二步推理使用了“倒序相加法”，而没有利用归纳递推，不是数学归纳法.
（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是
.
证明：①当n=1时，左边=
右边=a1，等式成立.
.
则当n=k+1时，
上面两式相加并除以2，可得 .
即当n=k+1时，等式也成立.
由①②可知，等差数列的前n项和公式是 .
.
②假设当n=k（k∈N*）时，等式成立，即
　C
注意点1.明确第一步要解决的问题
注意点2.由n=k时成立得n=k＋1时成立时，必须使用归纳假设
C
例3.用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)=2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________．
2(2k＋1)
小结
用数学归纳法证明等式或不等式问题的四个关键点：