4.3.2等比数列的前n项和公式 教学设计

第四章 数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式（1课时）
【教学内容】
等比数列前n项和公式及其运用.
【教学目标】
1.掌握等比数列的前n项和公式及其推导；
2.会用错位相减法求数列的和，培养逻辑推理、数学运算的核心素养；
3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的问题，培养数学建模的核心素养.
【教学重难点】
教学重点：等比数列的前n项和公式的推导及其运用.
教学难点：等比数列的前n项和公式的推导.
【教学过程】
1．创设情境，抽象问题
引导语：上一章学习了等比数列的定义及其通项公式，本节课将模仿等差数列的研究方法继续探讨等比数列的前n项和公式.
情景：国际象棋起源于古印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……以此类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦粒的质量为40，据查，2016-2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言呢？
分析情景，将文字语音转化为数学符号
分析发明者的要求：
格数 麦粒数
第1格 1
第2格 2
第3格
第4格
...
第63格
第64格
如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，该数列的首项是1，公比是2.
而发明者要求的麦粒总数为：，即求首项是1，公比是2的等比数列的前64项的和，记为：
问题1：如何求解等比数列的前n项的和呢？
设计意图：通过对情景的分析，让学生体验实际问题分析方法，培养分析问题与解决问题的能力.
回顾旧知，发现数列求和本质
方法1.由等比数列前n项和的定义推导等比数列前n项和公式.
假设等比数列的首项为，公比为，则的前n项和是
因为
根据等比数列相邻两项的关系：，则
化简，得 ①
问题2：①式两边是否可以同时除以？
因此，当时，即时，我们就得到了等比数列的前n项和公式
（*）
问题3：上式（*）还可以有其他形式吗？
因为，所以公式（*)还可以写成
问题4：当时，等比数列的前n项和等于多少？
我们发现，当时，等比数列为以为通项的常数列，因此
方法2.由错位相减法推导等比数列前n项和公式.
在等差数列的求和推导过程中，根据等差数列相邻两项的关系：，利用倒序相加法进行相减消项，获得等差数列前n项和的公式：.在等差数列求和的过程中，公差d起到了重要的作用.
而在等比数列中，，所以对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法。
问题5：在等比数列求和过程中，如何利用公比q进行化简求和呢？
假设等比数列的首项为，公比为，则的前n项和是
为了看清式子的特点，我们不妨利用等比数列的通项公式把各项都用首项和公比来表示.
根据等比数列的通项公式，上式可写成
②
根据等比数列相邻两项的关系：
我们发现，如果用公比乘②的两边，可得
③
②③两式的右边有很多相同的项，用②-③，消去相同的项，
可得
即
问题6：对于上式两边是否可以同时除以，也要对进行分类讨论.模仿第一种推导方法，
当时，即时，我们就得到了等比数列的前n项和公式
（**）
又因为，所以公式（**)还可以写成
当时，即时，等比数列为以为通项的常数列，因此.
问题7：同学们思考除了以上两种推导的方法，还可以有其他方法进行等比数列前n项和公式的推导吗？大家可以课后进行补充.
设计意图：通过回顾旧知类比教学，让学生发现数学本质，培养学生的数学思想。通过问题串，层层递进，引导学生探究等比数列的求和问题。发展学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养，增强应用意识。拓展设计，让学生丰富自己的内在知识.
（4）归纳总结
等比数列的前n项和公式
已知量 首项，公比q(q≠1)，项数n 首项，末项，公比q(q≠1) 首项，公比q＝1
求和公式
（5）回归情景，应用公式
有了上述公式，就可以解决本节开头提出的问题了.由，可得
如果一千颗麦粒的质量约为40，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，约是2016-2017年度世界小麦产量的981倍.因此，国王根本不可能实现他的诺言.
例题讲解，学以致用
已知数列是等比数列.
若，，求；
若，，，求；
若，，，求.
解：（1）因为，，所以
解法1：由，，可得
，
即
.
又由，得
，
所以
把，，代入，得
.
整理，得 .
解得 .
问题6：对于等比数列的相关量，，，，，已知几个量就可以确定其他量？
回顾例1的解答过程，可得
（1） 8 √ √
（2） 27 √ 9 √
（3） 8 √ √
结论：对于等比数列的相关量，，，，，五个量“知三求二”.这也是方程思想在数列中的体现.
设计意图：通过典型例题，加深学生对等比数列求和公式的综合运用能力。让学生掌握列方程求解的基本方法，明白等比数列五个基本量的关系，同时发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
已知等比数列的公比，前n项和为.
证明：，，成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：
解法1：利用等比数列前n项和的定义，
因为
所以 .
因为为常数，所以，，成等比数列，公比为.
解法2：利用等比数列前n项和公式，
因等比数列前n项和公式存在两种情况：，所以在证明时可分类讨论：
当时，
，
，
，
所以，，成等比数列，公比为1.
当时，
，
，
.
所以 .
因为为常数，所以，，成等比数列，公比为.
如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比是多少？
【解析】1.运用等比数列前n项和公式，列方程组进行运算；
2等比数列前n项和公式分两种情况：，故在解题时需分类讨论；
3.等比数列前n项和可以使用定义进行化简运算求解.
解法1：当q=1时，由题意，得
所以，方程组无解.
当时，由题意，得
由可得，
所以
即
解法2：由题意，得
即
设计意图：通过典型例题，进一步加深学生对等比数列求和公式的综合运用能力。学生在解法1的证明过程中利用等比数列的前n项和的定义证明，避免了对公比的分类讨论。解法2应使用等比数列前n项和公式，必须进行分类讨论，加深等比数列的前n项和公式的两种情况的认识，提醒学生在解答时应注意的地方。两种方法各有优点，可让学生自主选择解题方法。本题在于发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
3．课堂小结，凝练升华
教师引导学生回顾本节学习的主要内容：
（1）等比数列的前n项和公式
已知量 首项，公比q(q≠1)，项数n 首项，末项，公比q(q≠1) 首项，公比q＝1
求和公式
4．课后作业，巩固提高
设计意图:在数学的学习上，通过布置适合同学们学情的作业，让每位同学都能在数学上有所提高，体验成功的快乐。
已知等比数列的首项为-1，前n项和为，若求公比
【解析】若则
所以
当时，由得
整理，得
即
所以
（2）设等比数列的前n项和为，已知，，求和.
【解析】解法1：设等比数列的首项为，公比为，
由，，可得
由，得
化简，得
解之，得 或
所以，当时，得
则
当时，得
则
解法2：把代入中，得
化简，得
根据韦达定理，，为关于的方程的两个根，
所以 或
所以，当，时，
当，时 ，
.
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