4.3.2等比数列的前n项和公式课件(共44张PPT)
文档属性
| 名称 | 4.3.2等比数列的前n项和公式课件(共44张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-12 10:51:29 | ||
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文档简介
(共44张PPT)
4.3.2 等比数列的前 项和公式
高二 —人教版—数学选择性必修第二册—第四章
回顾旧知，引入新知
1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比
都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，
公比通常用字母 表示（显然 ）.
2.首项为 ，公比为 的等比数列 的通项公式为
创设情境，抽象问题
国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.
假定一千颗麦粒的质量约为40克，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言呢？
创设情境，抽象问题
第1格：
第2格：
第4格：
第3格：
第63格：
第64格：
1
……
首项为1
公比为2
共64项
这位聪明的发明者到底想要多少麦粒呢？
这实际上是首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和，记为
创设情境，抽象问题
如何求一个等比数列的前 项和呢？
根据等比数列相邻两项的关系： ，上式可写成
探索新知，推导公式
假设等比数列
的首项为
，公比为 ，则
的前 项和是
化简，得
又因为
所以
化简，得
①
思考： 能两边同时除以
得到 吗？
①
即
探索新知，推导公式
因此，当 时，我们就得到等比数列的前 项和公式
又因为 ，所以公式还可以写成
思考1：当 时，等比数列的前 项和 等于多少？
当 时，我们发现等比数列 是以 为首项的常数列，
因此
①
思考2：还有其他方法吗？
探索新知，推导公式
回顾等差数列前 项求和公式推导过程，
等差数列前 项和的公式
关键利用等差
数列的公差
假设等差数列
的首项为
，公差为 ，
利用倒序相加法，
根据等差数列的性质： ，得到
得，
思考：如何利用等比数列的公比 推导等比数列 的前 项和公式？
在等比数列中，因
所以对于等比数列的前 项求和，不能照搬倒序相加的方法.
探索新知，推导公式
假设等比数列
的首项为
，公比为 ，则
的前 项和是
根据等比数列相邻两项的关系：
我们发现，如果用公比
乘②的两边，可得
根据等比数列的通项公式 ，上式可写成
②
③
在等比数列求和过程中，如何利用数列的公比 进行化简求和呢？
探索新知，推导公式
②③两式的右边有很多相同的项，由②-③可得
②
③
在等比数列求和过程中，如何利用数列的公比 进行化简求和呢？
即
探索新知，推导公式
当 时，我们就得到等比数列的前 项和公式
又因为 ，所以公式还可以写成
思考：除了以上两种推导方法外，还有其他推导方法吗？
当 时，等比数列 是以 为首项的常数列，
因此
已知 首项 ，项数 ， 公比 首项 ，末项 ， 公比 首项 ，项数 ，
公比
等比数列的 前 项和公 式
等比数列的前 项和公式
回归情境，运用公式
有了上述公式，就可以解决本节开头提出的问题了.
可得
如果一千颗麦粒的质量约为40克，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，约是2016-2017年度世界小麦产量的981倍.因此，国王根本不可能实现他的诺言.
国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”
由
例题讲解，学以致用
思考：如何利用等比数列前 项和公式求解？
例1. 已知 是等比数列.
（1）若 求 ；
解：因为
所以
例题讲解，学以致用
例1. 已知 是等比数列.
（2）若 求 ；
例题讲解，学以致用
例1. 已知 是等比数列.
（2）若 求 ；
所以
即
例题讲解，学以致用
解法：由 可得
又由 得
例1. 已知 是等比数列.
（2）若 求 ；
例题讲解，学以致用
例1. 已知 是等比数列.
（2）若 求 ；
解法1：由
又由 所以
所以
得
所以
例题讲解，学以致用
解法2：由
所以
得
又由 所以
所以
例1. 已知 是等比数列.
（3）若 求 .
例题讲解，学以致用
解：把 代入 得
整理，得
解得
例1. 已知 是等比数列.
（3）若 求 .
例题讲解，学以致用
例题讲解，学以致用
思考：
对于等比数列的相关量
，已知
几个量就可以确定其他量？
（1）
（2）
（3）
知三求二
例题讲解，学以致用
√
√
√
√
√
√
思考：对于等比数列的相关量 ，已知几个量就可以确定其他量？
（1）若 求 ；
（2）若 求 ；
（3）若 求 .
例题讲解，学以致用
例2. 已知等比数列 的公比 ，前 项和为 .
证明 成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：利用等比数列 前 项和 的定义，得
例题讲解，学以致用
因为
证明：利用等比数列 前 项和的 定义，得
所以
例题讲解，学以致用
例2. 已知等比数列 的公比 ，前 项和为 .
证明 成等比数列，并求这个数列的公比.
想一想，直接使用等比数列前 项和的公式应如何证明该结论？
例题讲解，学以致用
例2. 已知等比数列 的公比 ，前 项和为 .
证明 成等比数列，并求这个数列的公比.
因为等比数列前 项和公式
分两种情况，所以在证明的时候，需要根据 的情况分类讨论.
证明：当 时，
所以 成等比数列，公比为1.
例题讲解，学以致用
例2. 已知等比数列 的公比 ，前 项和为 .
证明 成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：当 时，
因为 为常数，所以 成等比数列，公比为 .
所以
讲解例题，提高能力
例3.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这 个数列的公比是多少？
因为等比数列前 项和公式
分两种情况： 和 ，所以在证明的时候，也要根据 的情况分类讨论.
解法1：当 时，设等比数列的首项为 ，
由题意，得
所以，方程组无解.
讲解例题，提高能力
例3.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这 个数列的公比是多少？
【解析】运用等比数列前 项和公式，列方程组进行运算
解法1：当 时，
①
②
由 得
所以
由题意，得
即
的首项为
，公比为 ，则
讲解例题，提高能力
例3.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这 个数列的公比是多少？
【解析】运用等比数列前 项和的定义，进行化简运算
解法2：由题意，得
所以
所以
即
课堂小结，凝练升华
等比数列的前 项和公式
已知 首项 ，项数 ， 公比 首项 ，末项 ， 公比 首项 ，项数 ，
公比
等比数列的 前 项和公 式
等比数列的五个基本量 “知三求二”
4.3.2等比数列前 项和公式 答疑
高二 —人教版—数学选择性必修第二册—第四章
知 识 回 顾
等比数列的前 项和公式
已知量 首项 ，项数 ， 公比 首项 ，末项 ， 公比 首项 ，项数 ，
公比
等比数列的 前 项和公 式
等比数列的五个基本量 “知三求二”
讲 解 疑 难
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有___盏灯.
例1.
（1）将文字语言转化为数学语言，建立数学模型.
（2）根据数学模型，运用公式求解.
解得
【解析】
所以，塔的顶层共有3盏灯.
3
去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起 年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
讲 解 疑 难
例2.
搜集整理信息
讲 解 疑 难
生活垃圾总量
年份 生活垃圾总量
今年（第一年）
第二年
第三年
... ...
第 年
由上表，可得
设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列 ，则
根据等比数列的定义，数列 为等比数列，其中 ， .
讲 解 疑 难
环保方式处理的垃圾量
年份 环保方式处理的垃圾量
今年（第一年）
第二年
第三年
... ...
第 年
由上表，可得
设从今年起每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列 ，则
根据等差数列的定义，数列 为等差数列，其中 ， .
去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
讲 解 疑 难
例2.
搜集整理信息
建立数学模型
设 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 （单位：万吨），则
分组求和
数列求和公式
讲 解 疑 难
去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
讲 解 疑 难
例2.
搜集整理信息
建立数学模型
使用模型求解
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
讲 解 疑 难
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列 ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列 ， 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 （单位：万吨），则
因为
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
讲 解 疑 难
搜集整理信息
建立数学模型
使用模型求解
解决数列应用题的一般步骤：
4.3.2 等比数列的前 项和公式
高二 —人教版—数学选择性必修第二册—第四章
回顾旧知，引入新知
1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比
都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，
公比通常用字母 表示（显然 ）.
2.首项为 ，公比为 的等比数列 的通项公式为
创设情境，抽象问题
国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.
假定一千颗麦粒的质量约为40克，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言呢？
创设情境，抽象问题
第1格：
第2格：
第4格：
第3格：
第63格：
第64格：
1
……
首项为1
公比为2
共64项
这位聪明的发明者到底想要多少麦粒呢？
这实际上是首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和，记为
创设情境，抽象问题
如何求一个等比数列的前 项和呢？
根据等比数列相邻两项的关系： ，上式可写成
探索新知，推导公式
假设等比数列
的首项为
，公比为 ，则
的前 项和是
化简，得
又因为
所以
化简，得
①
思考： 能两边同时除以
得到 吗？
①
即
探索新知，推导公式
因此，当 时，我们就得到等比数列的前 项和公式
又因为 ，所以公式还可以写成
思考1：当 时，等比数列的前 项和 等于多少？
当 时，我们发现等比数列 是以 为首项的常数列，
因此
①
思考2：还有其他方法吗？
探索新知，推导公式
回顾等差数列前 项求和公式推导过程，
等差数列前 项和的公式
关键利用等差
数列的公差
假设等差数列
的首项为
，公差为 ，
利用倒序相加法，
根据等差数列的性质： ，得到
得，
思考：如何利用等比数列的公比 推导等比数列 的前 项和公式？
在等比数列中，因
所以对于等比数列的前 项求和，不能照搬倒序相加的方法.
探索新知，推导公式
假设等比数列
的首项为
，公比为 ，则
的前 项和是
根据等比数列相邻两项的关系：
我们发现，如果用公比
乘②的两边，可得
根据等比数列的通项公式 ，上式可写成
②
③
在等比数列求和过程中，如何利用数列的公比 进行化简求和呢？
探索新知，推导公式
②③两式的右边有很多相同的项，由②-③可得
②
③
在等比数列求和过程中，如何利用数列的公比 进行化简求和呢？
即
探索新知，推导公式
当 时，我们就得到等比数列的前 项和公式
又因为 ，所以公式还可以写成
思考：除了以上两种推导方法外，还有其他推导方法吗？
当 时，等比数列 是以 为首项的常数列，
因此
已知 首项 ，项数 ， 公比 首项 ，末项 ， 公比 首项 ，项数 ，
公比
等比数列的 前 项和公 式
等比数列的前 项和公式
回归情境，运用公式
有了上述公式，就可以解决本节开头提出的问题了.
可得
如果一千颗麦粒的质量约为40克，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，约是2016-2017年度世界小麦产量的981倍.因此，国王根本不可能实现他的诺言.
国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”
由
例题讲解，学以致用
思考：如何利用等比数列前 项和公式求解？
例1. 已知 是等比数列.
（1）若 求 ；
解：因为
所以
例题讲解，学以致用
例1. 已知 是等比数列.
（2）若 求 ；
例题讲解，学以致用
例1. 已知 是等比数列.
（2）若 求 ；
所以
即
例题讲解，学以致用
解法：由 可得
又由 得
例1. 已知 是等比数列.
（2）若 求 ；
例题讲解，学以致用
例1. 已知 是等比数列.
（2）若 求 ；
解法1：由
又由 所以
所以
得
所以
例题讲解，学以致用
解法2：由
所以
得
又由 所以
所以
例1. 已知 是等比数列.
（3）若 求 .
例题讲解，学以致用
解：把 代入 得
整理，得
解得
例1. 已知 是等比数列.
（3）若 求 .
例题讲解，学以致用
例题讲解，学以致用
思考：
对于等比数列的相关量
，已知
几个量就可以确定其他量？
（1）
（2）
（3）
知三求二
例题讲解，学以致用
√
√
√
√
√
√
思考：对于等比数列的相关量 ，已知几个量就可以确定其他量？
（1）若 求 ；
（2）若 求 ；
（3）若 求 .
例题讲解，学以致用
例2. 已知等比数列 的公比 ，前 项和为 .
证明 成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：利用等比数列 前 项和 的定义，得
例题讲解，学以致用
因为
证明：利用等比数列 前 项和的 定义，得
所以
例题讲解，学以致用
例2. 已知等比数列 的公比 ，前 项和为 .
证明 成等比数列，并求这个数列的公比.
想一想，直接使用等比数列前 项和的公式应如何证明该结论？
例题讲解，学以致用
例2. 已知等比数列 的公比 ，前 项和为 .
证明 成等比数列，并求这个数列的公比.
因为等比数列前 项和公式
分两种情况，所以在证明的时候，需要根据 的情况分类讨论.
证明：当 时，
所以 成等比数列，公比为1.
例题讲解，学以致用
例2. 已知等比数列 的公比 ，前 项和为 .
证明 成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：当 时，
因为 为常数，所以 成等比数列，公比为 .
所以
讲解例题，提高能力
例3.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这 个数列的公比是多少？
因为等比数列前 项和公式
分两种情况： 和 ，所以在证明的时候，也要根据 的情况分类讨论.
解法1：当 时，设等比数列的首项为 ，
由题意，得
所以，方程组无解.
讲解例题，提高能力
例3.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这 个数列的公比是多少？
【解析】运用等比数列前 项和公式，列方程组进行运算
解法1：当 时，
①
②
由 得
所以
由题意，得
即
的首项为
，公比为 ，则
讲解例题，提高能力
例3.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这 个数列的公比是多少？
【解析】运用等比数列前 项和的定义，进行化简运算
解法2：由题意，得
所以
所以
即
课堂小结，凝练升华
等比数列的前 项和公式
已知 首项 ，项数 ， 公比 首项 ，末项 ， 公比 首项 ，项数 ，
公比
等比数列的 前 项和公 式
等比数列的五个基本量 “知三求二”
4.3.2等比数列前 项和公式 答疑
高二 —人教版—数学选择性必修第二册—第四章
知 识 回 顾
等比数列的前 项和公式
已知量 首项 ，项数 ， 公比 首项 ，末项 ， 公比 首项 ，项数 ，
公比
等比数列的 前 项和公 式
等比数列的五个基本量 “知三求二”
讲 解 疑 难
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有___盏灯.
例1.
（1）将文字语言转化为数学语言，建立数学模型.
（2）根据数学模型，运用公式求解.
解得
【解析】
所以，塔的顶层共有3盏灯.
3
去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起 年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
讲 解 疑 难
例2.
搜集整理信息
讲 解 疑 难
生活垃圾总量
年份 生活垃圾总量
今年（第一年）
第二年
第三年
... ...
第 年
由上表，可得
设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列 ，则
根据等比数列的定义，数列 为等比数列，其中 ， .
讲 解 疑 难
环保方式处理的垃圾量
年份 环保方式处理的垃圾量
今年（第一年）
第二年
第三年
... ...
第 年
由上表，可得
设从今年起每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列 ，则
根据等差数列的定义，数列 为等差数列，其中 ， .
去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
讲 解 疑 难
例2.
搜集整理信息
建立数学模型
设 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 （单位：万吨），则
分组求和
数列求和公式
讲 解 疑 难
去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
讲 解 疑 难
例2.
搜集整理信息
建立数学模型
使用模型求解
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
讲 解 疑 难
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列 ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列 ， 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 （单位：万吨），则
因为
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
讲 解 疑 难
搜集整理信息
建立数学模型
使用模型求解
解决数列应用题的一般步骤：