4.1数列的概念 课件(共35张PPT)

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4.1 数列的概念
高二 —人教版—数学选择性必修第二册—第四章
学习 内容：
1. 数列的概念与表示方法.
2. 数列的递推公式.
3. 数列的前n项和与通项的关系.
学习 重点： 理解数列的概念与表示方法.
学习 难点： 数列的递推公式及数列的前n项和与通项的关系.
学习目标
1. 经历数列概念的抽象过程，了解数列的定义、数列的表示方法，
了解数列是一类特殊的函数.
2. 理解数列的通项公式.
3. 理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题.
4. 会由数列的前n项和公式求数列的通项公式.
学习过程
新知探究
问题探究
课时精练
新知探究
问题1：观察下列这组数的规律，你能完成填空吗？
1，1，2，3，5，8，____，____，….
1
2
3
5
8
阅读课本P10-P11 认识斐波那契数列，思考如下问题.
13
21
问题2：王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数：
75，87，96，103，110，116，120，128，138，
145，153，158，160，162，163，165，168.
它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
记王芳第i岁时的身高为hi，那么
h175，h287，h396，…，h17168.
不能交换位置，
具有确定顺序.
新知探究
新知探究
问题3：在两河流域发掘的一块泥版上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，
96，112，128，144，160，
176，192，208，224，240.
它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
记第i天月亮可见部分的数为si，那么
s1＝5，s2＝10，s3＝20，…，s15＝240.
不能交换位置，
具有确定顺序.
新知探究
问题4： 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：
你能仿照上面的叙述，说明这也是具有确定顺序的一列数吗？
….
一、知识梳理
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
问题1：1，3，5，7是一个数列，7，5，3，1也是一个数列，这两个数列是不是同一个数列？
问题2：1，1，1，1，1，…是不是一个数列？
数列中的数只要求按一定顺序排列，并没有规定数列中的数必须不同，同一个数可以在数列中重复出现.
理解数列的概念，要抓住两个关键词：一列数和顺序.
数列定义的理解
数列的一般形式是
简记为
首项
第2项
第n项
数列的表示形式
请问： 与 表示的意义是否相同？
…
…
我们可以根据数列中项数的有限和无限，将数列分成以下两类：
1.有穷数列：项数有限的数列.如1，3，5，7.
2.无穷数列：项数无限的数列.如1，1，1，1，1，….
数列的分类
数列中的各项 与各项序号k（k＝1，2，3，…，n，…）之间有怎样的对应关系？
序号
项
正整数集
实数集
（或它的有限子集 ）
二、概念辨析
例如：
….
如果数列 的第n项 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
显然，通项公式就是数列的函数解析式.
数列的通项公式的定义
数列的表示方法：解析式法、列表法、图象法.
试一试：用列表法和图象法表示王芳从1岁到17岁每年的身高构成的数列.
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.
表4.1-1
图4.1-1
思 考
从表4.1-1和图4.1-1中，你能发现数列随序号的变化呈现出什么特点吗？
自变量为离散的数的函数
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列.
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.
特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
如：1，1，1，1，1，….
数列的单调性：
问题探究
一、由数列的通项公式，写出数列的各项.
二、由数列的前若干项的值，写出数列的一个通项公式.
三、由图形的数量特征，猜想数列的通项公式.
四、由数列的递推公式，写出数列的各项.
五、由数列的前n项和公式，求数列的通项公式.
一、由数列的通项公式，写出数列的各项
例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象.
（1）
（2）
例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象.
（1）
（2）
n 1 2 3 4 5
1 3 6 10 15
n 1 2 3 4 5
1 0 -1 0 1
方法总结：
1.如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项.
2.数列用图象来表示，以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，所以数列的图象是由一些孤立的点构成的.
二、由数列的前若干项的值，写出数列的一个通项公式
例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
方法总结：
通过观察、分析、联想、比较，发现项与项的序号之间的关系.
1.先写出各项结构的相同部分.
2.找出各项不同的部分与序数的关系.
3.如果项与项的序号之间的关系不明显，那么可将该数列中的项同时加上或减去一个数，或分解、还原等，使规律呈现出来.
4.正、负数值间隔的数列可用 或 来表示其正负号.
三、由图形的数量特征，猜想数列的通项公式
例3 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式.
1
3
9
27
这个数列的一个通项公式是 .
例3 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项.
1
3
9
27
×3
×3
×3
（n≥2）
换个角度观察……
n＝1，
，
，
n≥2.
方法总结：
1.通过图形找出相邻两个图的关系：每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形.于是从第二个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.
2.当不能明显看出两个图的取值规律时，我们可以尝试通过运算来寻找规律：先数各图中着色三角形的个数，从而得到数列的前四项：1，3，9，27.求这个数列的通项公式，就要找项与序号之间的关系.发现第1项是，第2项是 ，第3项是 ，第4项是 ，这些数都是3的指数幂，指数为序号减1.因此，得出这个数列的一个通项公式就是 .
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
定义
递推公式
通项公式
项与序号之间的关系
相邻两项之间的关系
（n≥2）
知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.
：1，3，9，27，….
四、由数列的递推公式，写出数列的各项
n＝1，
，
，
n≥2.
令n＝2，得 ，
令n＝3，得 ，
例4 已知数列 的首项为 ，递推公式为 （n≥2），
写出这个数列的前5项.
解：
由题意可知 ，
令n＝4，得 ，
令n＝5，得 .
定义
我们把数列 从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列 的前n项和，记作 ，即
五、由数列的前n项和公式，求数列的通项公式
如果数列 的前n项和 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
概念辨析
追问：数列的前n项和公式与通项公式有何联系？
=
当n≥2时， ，
当n＝1时， .
，n≥2.
， n＝1，
，
，
1.由一个数列的前n项和公式求出该数列的通项公式的方法：
方法总结：
2.由一个数列的前n项和公式求出该数列的通项公式的关键： 分段讨论，作差化简，验证首项.
，n≥2.
， n＝1，
思 考
已知数列 的前n项和公式为 ，你能求出 的通项公式吗？
验证：当n＝1时， 依然成立.
当n＝1时， ，
当n≥2时，
综上所述， 的通项公式是 .
，
课堂小结
回顾本节课所学的知识，思考：
（1）什么是数列？数列的本质是什么？
（2）什么是数列的递推公式？
（3）什么是数列的前n项和公式？由数列的前n项和公式求数列的通项公式的一般方法是什么？
（3）数列的前n项和 由数列的前n项和公式求数列的通项公式的一般方法是分段讨论，两式相减.
（1）一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
数列的本质是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数.
（2）如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
，n≥2.
， n＝1，
归纳：
课后作业
完成教材P5练习第2题,第4题；P8练习第3题,第4题.