4.2 对数
4.2.1 对数的概念
4.2.2 对数的运算性质
基础过关
对数的概念及性质
1.下列说法:①只有正数有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以5为底25的对数等于±2;④=-5成立.其中正确的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
2.下列对数式与指数式的互化中,错误的是( )
A.2-6=与log2=-6
B.lo5.73=m与=m
C.lo16=-4与=16
D.lg 0.01=-2与10-2=0.01
3.在N=log(5-b)(b-2)中,实数b的取值范围是 .
4.若a=log23,则2a+2-a的值为 .
5.如果log7[log3(log2x)]=0,那么= .
6.若log2(logx9)=1,则x= .
对数的运算性质及恒等变形
7.计算-log28的结果是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.若ab=m(a>0,b>0,m≠1),且logmb=x,则logma=( )
A.1-x B.1+x C. D.x-1
9.已知3a=2,用 a 表示log34-log36的结果是 .
10.已知lg a=2.431,lg b=1.431,则= .
11.求值:2lg 5+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.
换底公式的运用
12.若a>0,b>0且a≠1,b≠1,logab=logba,则( )
A.a=b B.a=
C.a=b或a= D.a,b为一切非1的正数
13.计算:-lg 3×log32-lg 5.
14.已知lg 5=m,lg 3=n,用m,n表示log308.
对数的实际应用
15.已知地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R=(lg E-11.4).如果A地地震级别为9.0级,B地地震级别为8.0级,那么A地地震释放的能量是B地地震释放的能量的 倍.
答案全解全析
4.2 对数
4.2.1 对数的概念
4.2.2 对数的运算性质
基础过关
1.B 对于①,由对数的概念知,负数和0没有对数,故①正确;对于②,指数式(-1)2=1没有相应的对数式,故②错误;对于③,以5为底25的对数等于2,故③错误;对于④,负数没有对数,所以log3(-5)无意义,故④错误.故选B.
2.B B选项中lo5.73=m应化为=5.73.
3.答案 2解析 由对数的意义,得
解得24.答案
解析 ∵a=log23,∴2a=3,∴2-a=,
∴原式=3+.
5.答案
解析 ∵log7[log3(log2x)]=0,
∴log3(log2x)=1,∴log2x=3,∴x=23,
∴.
6.答案 3
解析 ∵log2(logx9)=1,
∴logx9=2,
∴x2=9,
∴x=±3,
∵x>0,且x≠1,
∴x=3.
7.A 原式=(3-3-log223=3-3=0.
8.A ∵ab=m(a>0,b>0,m≠1),∴a=,
∴logma=logm=1-logmb=1-x.
9.答案 a-1
解析 ∵3a=2,
∴a=log32,
∴log34-log36=log3=log32-1=a-1.
10.答案
解析 由题意,得lg b-lg a=1.431-2.431=-1,
即lg =-1,故.
11.解析 原式=2×lg 5+×lg 23+lg 5×lg(10×2)+(lg 2)2
=2×lg 5+×3×lg 2+lg ×(1+lg 2)+(lg 2)2
=2×lg 5+2×lg 2+(1-lg 2)×(1+lg 2)+(lg 2)2
=2(lg 5+lg 2)+[1-(lg 2)2]+(lg 2)2
=2+1=3.
12.C logab=logba (lg a)2=(lg b)2 lg a=±lg b,得a=b或a=,故选C.
13.解析 原式=4+30-lg 3×-lg =4+1-lg 2-(lg 10-lg 2)=4.
14.解析 log308=
=.
∵lg 5=m,lg 3=n,
∴原式=.
15.答案 10
解析 由R=(lg E-11.4),
得R+11.4=lg E,故E=1.
设A地,B地地震释放的能量分别为E1,E2,则,
即A地地震释放的能量是B地地震释放的能量的10倍.
2 / 74.2 对数
4.2.1 对数的概念
4.2.2 对数的运算性质
能力提升
对数的概念及性质
1.已知函数f(x)=,则f(lg 3)+f的值等于( )
A.1 B.2 C.3 D.9
2.设2a=5b=m,且=2,则m=( )
A. B.-
C.或- D.10
3.(多选)下列解方程正确的有( )
A.由log64x=-得x=
B.由logx8=6得x=
C.由lg 100=x得x=100
D.由-ln e2=x得x=-2
对数的运算性质及恒等变形
4.已知lg a,lg b是方程6x2-4x-3=0的两根,则等于( )
A. B. C. D.
5.已知x,y,z都是大于1的正数,m>0,logxm=24,logym=40,logxyzm=12,则logzm的值为( )
A. B.60 C. D.
6计算:·-log37·log79+log126+log122= .
7.已知实数a,b满足logab-3logba=2,且aa=bb,则a+b= .
8.计算:
(1)2(lglg 2×lg 5+;
(2)log2().
换底公式的运用
9.若实数a,b,c,d满足2a=3,3b=5,5c=7,7d=16,则abcd= .
10.若log23·log34·log45·…·log2 0192 020·log2 020m=5,则实数m的值为 .
11.方程1+xlg x=20的解为 .
对数的综合应用
12.某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2019年全年投入科研经费1 300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)( )
A.2022年 B.2023年
C.2024年 D.2025年
13.已知正数a,b,c满足a2+b2=c2.求证:log2=1.
答案全解全析
4.2 对数
4.2.1 对数的概念
4.2.2 对数的运算性质
能力提升
1.A f(lg 3)+f
=
==1,故选A.
2.A 由等式2a=m,5b=m(m>0)两边取对数,
可得a=log2m,b=log5m,=logm5,
所以=logm2+logm5=logm10=2,可得m=,故选A.
3.ABD A.x=6,正确;
B.由logx8=6得x6=8,又x>0,所以x=,正确;
C.由lg 100=x得10x=100=102,所以x=2,错误;
D.由-ln e2=x得e2=e-x,∴x=-2,正确.
4.D 由lg a,lg b是方程6x2-4x-3=0的两个根,结合根与系数的关系得lg a+lg b=,lg a·lg b=-,而=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=,故选D.
5.B 依题意得logmx=,
logm(xyz)= logmx+logmy+logmz=,
则logmz=.
因此logzm=60,故选B.
6.答案 0
解析 原式=-log37×log732+log1212
=-2log37×log73+1=1-2+1=0.
7.答案
解析 由logab-=2,得到logab=3或logab=-1,则b=a3或b=.当b=a3时,aa=bb=,则a=3a3,而a>0,则a=;当b=时,aa=bb=,则a=-,而a>0,所以a无解,所以a+b=.
8.解析 (1)原式=2×lg 2×lg 5+
=(lg 2)2+lg 2×lg 5-(lg-1)
=(lg 2)2+lg 2×lg 5-lg 2+1
=lg 2×(lg 2+lg 5-1)+1
=lg 2×(lg 10-1)+1=0+1=1.
(2)原式=)2
=)
=log214.
9.答案 4
解析 ∵2a=3,3b=5,5c=7,7d=16,
∴a=log23,b=log35,c=log57,d=log716,
∴abcd=log23·log35·log57·log716=···=4.
10.答案 32
解析 原式=log23···…··=log2m=5=log225,
∴m=32.
11.解析 原方程可化为(10lg x)lg x+xlg x=20,∴2xlg x=20,∴xlg x=10,
两边同时取以10为底的对数,得到lg(xlg x)=lg 10,∴(lg x)2=1,∴lg x=±1,
∴x=10或x=.
12.B 设经过x(x∈N*)年,该校全年投入的科研经费开始超过2 000万元,依题意得1 300×(1+0.12)x>2 000,即1.12x>,
因此x>≈=3.8,
又x∈N*,故x≥4,即从2023年起,该校全年投入的科研经费开始超过2 000万元,故选B.
13.证明 ∵a2+b2=c2,
∴log2
=log2
=log2=log22=1.
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