2022-2023学年河南省驻马店市开发区高级中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
2022-2023学年河南省驻马店市开发区高级中学高二（上）期中数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知，为实数，直线：与直线：垂直，则( )
A. 或 B. C. D. 无解
若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
若向量，，且与的夹角余弦值为，则实数等于( )
A. B. C. 或 D. 或
已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，，点是双曲线左支上的一点，若，，则双曲线的标准方程是( )
A. B. C. D.
如图，在平行六面体中，，，，点在上，且：：，则等于( )
A. B.
C. D.
已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是( )
A. B.
C. 或 D. 或
设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是．( )
A. B. C. D.
已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若
，轴，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
若点是有共同焦点的椭圆和双曲线的一个交点，、分别是它们的左、右焦点，设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若，则( )
A. B. C. D.
如图，正方体的棱长为，中心为，，，则四面体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
抛物线的准线与双曲线：交于、两点，，为曲线的左右焦点，在左边，为等边三角形，与双曲线的一条渐近线交于点，，则的面积为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知直线：与直线：平行，则______．
抛物线上有点，它的横坐标是，它到焦点的距离是，则抛物线的方程为______．
如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为__________．
已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点，点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知平面内两点，．
求过点且与直线平行的直线的方程；
一束光线从点射向中的直线，若反射光线过点，求反射光线所在的直线方程．
本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，为侧棱的中点．
证明：平面平面；
求直线与平面所成的角的大小．
本小题分
设椭圆的短轴长为，离心率为．
直线与椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
设点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．
本小题分
已知几何体如图所示，其中四边形，，均为正方形，且边长为，点在边上．
求证：；
是否存在点，使得直线与平面所成的角为若存在，试求点的位置．
本小题分
如图，是三棱锥的高，，，为的中点．
证明：平面；
若，，，求二面角的正弦值．
本小题分
已知椭圆：的右焦点为，离心率．
求椭圆的标准方程；
已知动直线过点，且与椭圆交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两条直线垂直的性质，属于基础题．
由题意利用考查两条直线垂直的性质，求得的值．
【解答】
解：，为实数，直线：与直线：垂直，
，求得或，
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：向量的数量积和平面的法向量，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
由题意，能使，只要满足即可，逐项求解即可．
【解答】
解：直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使，
只要满足即可，
对于：
对于：
对于：
对于：．
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
根据空间向量的坐标运算和数量积运算，列方程求出的值．
本题考查了空间向量的坐标运算和数量积运算问题，属于基础题．
【解答】
解：向量，，且与的夹角余弦值为，
所以，，
即，
解得或，
所以实数等于或．
故答案选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．
由题意可得，，结合双曲线的定义，可得，的值，进而求出双曲线的方程．
【解答】
解：双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点．
点是双曲线左支上的一点，
若，，，，，，，
由勾股定理可得，，所以，
则双曲线的标准方程是：．
故选：．

5.【答案】
【解析】解：由已知得，
故，
所以
故选：．
利用空间向量的线性运算法则，将所求向量放在中，然后求解即可．
本题考查空间向量的线性运算法则及其应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：对于，，，，
，，中的向量共面，不能作为空间的基底，
对于，假设，，共面，
则存在，使得，
，无解，
，，不共面，可以作为空间的一组基底．
故选：．
根据已知条件，结合空间向量的共面定理，即可求解．
本题考查了向量基底定义的理解与应用，以及空间向量共面定理的运用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线的标准方程．属基础题．解题时注意分焦点在轴上、焦点在轴上两种情形讨论．
分焦点在轴和轴两种情况分别求出焦点坐标，然后根据抛物线的标准形式可得答案．
【解答】
解：当焦点在轴上时，根据，可得焦点坐标为，
抛物线的标准方程为，
当焦点在轴上时，根据，可得焦点坐标为，
抛物线的标准方程为，
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了椭圆的简单性质．椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目．应熟练掌握圆锥曲线中，，和的关系．
设点在轴上方，坐标为，根据题意可知，，进而根据求得和的关系，从而求得离心率．
【解答】
解：设点在轴上方，坐标为，
为等腰直角三角形，
，即，即，
故椭圆的离心率．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：因为轴，所以把代入椭圆方程，可得点，
设，
因为，则，，
又，且，，三点共线，所以，
所以，解得，，即，
将其代入椭圆方程，得，
所以，解得，
所以椭圆的方程为．
故选：．
易得点，根据，求得点的坐标，再将其代入椭圆方程，求得的值，即可．
本题考查椭圆的方程与几何性质，还涉及平面向量的坐标运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由题意设焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，不妨令在双曲线的右支上
由双曲线的定义
由椭圆的定义
又，故，故
得
将代入得，即
故选：．
由题设中的条件，设焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得，，的等式，整理即可得到结论，
本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义焦点三角形中用勾弦定理建立三个方程联立求椭圆离心率与双曲线心率满足的关系式，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，凑出两曲线离心率所满足的方程来．
11.【答案】
【解析】
【分析】
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求出、、的长度，得到的面积，再由空间向量求出到平面的距离，代入棱锥体积公式得答案．
本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，训练了利用空间向量求点到面的距离，是中档题．
【解答】
解：如图，
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
．
．
．
设平面的一个法向量为，
由，取，得．
又，
到平面的距离．
四面体的体积．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由，可得为的中点，又为的中点，
，
为等边三角形，，，．
抛物线的准线：，
的边长为，，
在中，由余弦定理可得：．
即，
解得：，，．
．
则的面积为．
故选：．
可得为的中点，为等边三角形，由，可得，，即可求得的边长为，，
在中，由余弦定理可得：，得：，，，则的面积为即可．
本题考查了双曲线、抛物线的性质，考查了双曲线的离心率，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：直线：与直线：平行，
，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据抛物线方程可知准线方程为，
横坐标为的点到抛物线焦点的距离为，根据抛物线的定义可知其到准线的距离为，
，，
则抛物线的方程为
故答案为：．
先利用抛物线的方程求得准线方程，根据点到抛物线焦点的距离为利用抛物线的定义推断出点到准线的距离也为，利用求得即得．
本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及抛物线上点到焦点的距离，常用抛物线的定义来解决．
15.【答案】
【解析】
【分析】
熟练掌握通过线面平行的性质即可得到异面直线的距离是解题的关键，为中档题．
取的中点，连接，，利用线面平行的判定即可得到平面，进而得到异面直线与的距离，从而得最短距离为
【解答】
解：
如图所示，取的中点，连接，，
，
又平面，平面，
平面．
点到直线的距离是两条异面直线与的距离，即直线上任一点到平面的距离．
过点作，
平面平面．
平面．
过点作交于点，则C.
取，连接，则四边形是矩形．
可得平面，
在中，，得．
点到直线的距离的最小值为．
故答案为
16.【答案】
【解析】解：由题意，点到准线的距离等于点到焦点的距离，
从而到轴的距离等于点到焦点的距离减．
过焦点作直线的垂线，此时最小，
，则，
则的最小值为．
故答案为：．
点到准线的距离等于点到焦点的距离，从而到轴的距离等于点到焦点的距离减，过焦点作直线的垂线，此时最小，根据抛物线方程求得，进而利用点到直线的距离公式求得的最小值．
本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线距离公式的运用，正确转化是关键．
17.【答案】解：由直线的点斜式方程可得直线：，即直线的方程为；
设关于直线的对称点，所以，，
解得，所以，
，
由点斜式方程可得，整理可得，
所以反射光线所在的直线方程为．
【解析】求得直线的斜率，运用直线的点斜式方程可得所求方程；
设关于直线的对称点，运用两直线垂直的条件和中点坐标公式，求得，，再由直线的点斜式方程可得所求直线方程．
本题考查直线方程的求法，以及两直线平行和垂直的条件、点关于直线的对称问题，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为平面，为正方形，以所在的直线为轴，以所在的直线为
轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系．
由已知可得，，，，．
因为为的中点，且，
所以，，，
所以，
所以，
所以平面，
因为平面，所以平面平面；
设直线与平面所成的角的大小，
由可知为平面的一个法向量，因为，
所以，
所以，即直线与平面所成的角的大小为．
【解析】以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，用向量法先证明垂直，证明平面，再证明结论；
由可知为平面的一个法向量，根据线面夹角的向量公式求出结论即可．
考查向量法证明线面垂直，面面垂直，向量法求线面所成角的大小，中档题．
19.【答案】解：由题意，所以，，
即椭圆方程为，
，
，即．
设，
法一：当斜率不存在时不符合题意，当斜率存在时，设直线方程为，，
，
所以直线的方程为，
法二：，
，
，所以直线的方程为：，
即．
【解析】利用椭圆的短轴长以及离心率，求解，，然后得到椭圆方程．联立直线与椭圆方程，通过韦达定理转化求解即可．
设，法一：当斜率不存在时不符合题意，当斜率存在时，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，利用中点坐标，求出直线的斜率，然后推出直线方程．法二：通过平方差法求解直线的斜率，得到直线方程．
本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
20.【答案】解：如图，连结、，交于点，作，交于点，连结，
证明：四边形，，均为正方形，
，，
是平行四边形，
；
又，
，
平面，
平面，
又平面，
；
易知是平面与平面所成的角，
在中，
，，
则，
存在点，使得直线与平面所成的角为，
为直线与平面所成的角，
若，
则
，
故，
则．
【解析】如图，连结、，交于点，作，交于点，连结，
可证明；再证明平面，从而可证明平面，从而证明；
易知是平面与平面所成的角，从而求出，说明存在，再由三角恒等变换求的长度即可．
本题考查了学生的空间想象力与作图能力，同时考查了三角恒等变换及三角函数的定义，属于中档题．
21.【答案】解：证明：连接，，依题意，平面，
又平面，平面，则，，
，
又，，则≌，
，
延长交于点，又，则在中，为中点，连接，
在中，，分别为，的中点，则，
平面，平面，
平面；
过点作，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由于，，由知，
又，则，
，
设，则，
设平面的一个法向量为，又，
则，则可取，
设平面的一个法向量为，又，
则，则可取，
设锐二面角的平面角为，则，
，即二面角正弦值为．
【解析】连接，，可证得，延长交于点，可证得，由此得证；
建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面及平面的法向量，利用向量的夹角公式得解．
本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：，，，
，椭圆方程为．
假设轴上存在点，使得，
当直线的斜率为时，，，
则，解得 ．
当直线的斜率不存在时，，，
则，
解得 ，．
由可得．
下面证明时，恒成立．
直线斜率存在时，设直线方程为
由消整理得：，
，，，
所以
，
综上，轴上存在点，使得恒成立．
【解析】根据条件求出，即可；
假设存在，可先求出，然后证明，使得恒成立即可．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的综合，属于中档题．
第2页，共19页
第1页，共19页