2022-2023学年贵州省毕节市金沙中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
) (
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2022-2023学年贵州省毕节市金沙中学高二（上）期中数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，已知直线、、的斜率分别为、、，则、、的大小关系为( )
A.
B.
C.
D.
如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D.
直线：被圆：所截得的弦长为( )
A. B. C. D.
如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
在圆：内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
是直线：与：平行的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
已知椭圆：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知圆：，则下列说法正确的是( )
A. 点在圆内 B. 圆关于对称
C. 半径为 D. 直线与圆相切
已知圆：，点是直线：上一动点，过点作圆的切线、，切点分别是、，下列说法正确的有( )
A. 圆上恰有一个点到直线的距离为
B. 切线长的最小值为
C. 四边形面积的最小值为
D. 直线恒过定点
如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为，，则( )
A. 椭圆的长轴长等于
B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的标准方程可以是
D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知空间向量，则______；向量与的夹角为______．
已知点，，若直线上存在点使得，则的取值范围是______．
如图，在棱长为的正方体中，若，分别是上底棱的中点，则点到平面的距离为______．
如图所示，“嫦娥一号“探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次交轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用和分别表示椭圆轨道焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：；；；其中正确式子的序号是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知直线：，：．
若，求实数的值；
若，求实数的值及此时两平行直线间的距离．
本小题分
已知圆：，圆：．
若圆、相切，求实数的值；
若圆与直线：相交于、两点，且，求的值．
本小题分
如图，已知椭圆，，分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点．
若，求椭圆的离心率；
若椭圆的焦距为，且，求椭圆的方程．
本小题分
如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．
试用，，，表示向量；
若，，，，，求的值．
本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，点是线段的中点．
求证：；
求二面角的余弦值．
本小题分
已知椭圆的焦距为，点在椭圆上．
求椭圆的方程；
若斜率为的直线与椭圆相交于、两点，为原点，求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据函数的图象得：，，
，
故选：．
利用直线的倾斜角和斜率的关系求解即可．
本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：方程表示焦点在轴上的椭圆，
，可得，
故选：．
根据焦点在轴上的椭圆方程满足的条件建立不等关系，进而求解结论．
本题考查椭圆的标准方程，考查解不等式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：圆：化为标准形式为，
所以圆心，半径为，
所以点到直线：的距离为，
因此所求弦长为．
故选：．
将圆的方程化为标准形式，可得圆心坐标及半径，再结合点到直线的距离公式与勾股定理，得解．
本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握几何法求弦长，点到直线的距离公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据向量加法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则及向量的数乘运算即可求出答案．
本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量数乘运算，向量加法的平行四边形法则，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：圆：，配方为，可得圆心，半径．
过点的最长弦为直径，即．
，
最短弦所在直线与直径垂直，，
则四边形的面积，
故选：．
圆：，配方为，可得圆心，半径过点的最长弦为直径最短弦所在直线与直径垂直，可得，即可得出四边形的面积．
本题考查了直线与圆相交的性质、两点之间的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：与平行的充要条件是，
解之可得，或，显然是的真子集，
是直线：与：平行的充分不必要条件
故选A
由题意可先求出与平行的充要条件，解出的取值范围，由集合的包含关系可得答案．
本题考查充要条件的判断，涉及直线的平行的判断，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：以点为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如下空间直角坐标系，则：
，，，，
，，
，
与所成的角的余弦值为．
故选：．
根据条件，可以点为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，然后可求出向量和的坐标，然后即可求出的值，从而得出答案．
本题考查了通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标求异面直线所成角的余弦值的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，
所以，可得，即，又，
所以．
故选：．
由题设以线段为直径的圆为，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆的离心率的范围．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由空间向量基本定理得：
对于选项，因为，所以，，三个向量共面，不符合题意；
对于选项，因为，所以，，三个向量共面，不符合题意；
对于选项，假设，，共面，则，从而可知，，共面，这与已知矛盾，故，，不共面，符合题意；
对于选项，，所以三个向量共面，不符合题意；
故选：．
由空间向量基本定理判断．
本题考查空间向量基本定理以及共面向量定理的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：整理得：，
，时，点在圆外，错；
圆心在直线上，圆关于对称，对；
圆半径为，故C错；
圆心到直线的距离为，与半径相等，直线与圆相切，对．
故选：．
选项，代入点坐标，大于，表示点在圆外；选项，圆心在直线上，故关于直线对称；选项，配方后得到圆的半径；选项，利用点到直线距离进行求解．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
利用圆心到直线的距离可判断，利用圆的性质可得切线长利用点到直线的距离可判断，由题可得四边形面积为，可判断，由题可知点，，在以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线的方程，即可判断．
本题主要考查直线与圆的位置关系，圆中的四边形面积问题，直线恒过定点问题等知识，属于中等题．
【解答】
解：由圆：，可知圆心，半径，
圆心到直线：的距离为，
圆上恰有一个点到直线的距离为，故A错误；
由圆的性质可得切线长，
当最小时，有最小值，又，
，故B正确；
四边形面积为，
四边形面积的最小值为，故C错误；
设，由题可知点，，在以为直径的圆上，又，
所以，即，
又圆：，即，
直线的方程为：，即，
由，得，即直线恒过定点，故D正确．
故选：．

12.【答案】
【解析】解：设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，
则由截面与圆柱底面成锐二面角得：，解得，不正确；
显然，则，离心率，B正确；
当以椭圆长轴所在直线为轴，短轴所在直线为轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程正确；
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为正确．
故选：．
根据给定图形，求出椭圆长短半轴长，，再逐项计算、判断作答．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：空间向量，
，
则，
，
，
向量与的夹角为．
故答案为：；．
利用向量坐标运算法则和向量的模能求出，利用向量夹角余弦公式能求出向量与的夹角．
本题考查向量的运算，考查向量坐标运算法则、向量的模、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由于点，，
则以为直径的圆的方程为：，
若直线上存在点使得，
则直线与圆有公共点，
故，即，
则的取值范围是：，
故答案为：．
由题可知以为直径的圆与直线有公共点，根据点到直线距离与半径关系即可求解．
本题考查直线与圆位置关系，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量，
则有，令得：，，
故，
其中，
则点到平面的距离为．
故答案为：．
建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解．
本题考查了空间向量求点到面的距离公式，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由图象可知，，所以，故正确；
因为，，所以，故不正确；
由，可得，
所以，
整理得，
即，
因为，所以，所以正确，不正确．
故答案为：．
由，，结合不等式的性质可判定正确；由，，可判定不正确；由，得到，结合椭圆的性质，求得，进而可判定正确，不正确．
本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
17.【答案】解：直线：，：，，
，解得．
，
，解得或，
当时，直线：，：，
故两直线的距离为，
当时，直线：，：，
故两直线的距离为．
【解析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
根据已知条件，结合直线平行的性质，以及两平行直线间的距离公式，即可求解．
本题主要考查直线平行、垂直的性质，属于基础题．
18.【答案】解：圆：，配方为，可得圆心，半径．
由圆：可得圆心，半径．
，
若圆与圆相内切，则，即，解得；
若圆与圆相外切，则，即，解得．
圆心到直线：的距离，
，
，解得或．
【解析】根据两个圆相内切与外切时圆心距与半径的和差的关系即可得出．
利用弦长公式即可得出．
本题考查了两个圆相内切与外切时圆心距与半径的和差的关系、弦长公式．、点到直线距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：若，则为等腰直角三角形．则，即．
，
椭圆的离心率；
由题知，，则，，设，
由，即，
，解得，，
代入椭圆，即解得，，
椭圆方程为．
【解析】由为等腰直角三角形，则，利用椭圆的离心率公式求得椭圆的离心率；
由，根据向量数量积的坐标运算，求得点坐标，代入椭圆方程，即可求得和的值，求得椭圆方程．
本题考查椭圆的标准方程及简单性质，考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且，
则
；
由，，，，，
则，，，
则
．
【解析】将，，作为空间向量的一组基底，然后结合空间向量的线性运算求解即可；
由空间向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解即可．
本题考查了空间向量的线性运算，重点考查了空间向量的数量积的运算，属基础题．
21.【答案】证明：在直三棱柱中，底面，底面，则，
又，，，则，所以，
又，所以面，
面，所以C.
解：点是线段的中点．取的中，则，且，
由可知面，则面，
过作，垂足为，连结，
所以为的平面角，
由，则，则为等腰三角形，且，
所以，直角三角形中，，
在直角三角形中，．
【解析】由条件先证明底面，从而可证明C.
取的中，则可得面，过作，垂足为，连结，所以为的平面角，然后在直角三角形中求解即可．
本题主要考查异面直线垂直的证明，二面角的计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
22.【答案】解：由焦距为，可得，即焦点为，，，
点在椭圆上，得，将代入，整理得，
解得，舍去，，
椭圆的方程为；
设直线的方程为，代入椭圆方程，消去得，
，解得，
设，，则，，
，
原点到直线的距离，
，
当且仅当，即时取等号，
面积的最大值为．
【解析】由题意可得，，得，求解得到，的值，可求椭圆方程；
设直线的方程为，联立直线方程和椭圆方程，化为关于的一元二次方程，然后由弦长公式求得的长度，再由点到直线的距离公式求得到直线的距离，代入三角形面积公式，利用基本不等式求得面积的最大值．
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的方程和三角形面积的计算，考查运算求解能力，属中档题．
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