第24章解直角三角形课时练习及答案(共10课时)

第24章解直角三角形
24．1锐角的三角函数
第1课时 正切
知识点一 正切的意义
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，
①tanA= = ；
②tanB= = ；
③tan∠ACD= ；
④tan∠BCD= ．
2．在Rt△中，，若三角形的各边都扩大3倍，则的数值（ ）．
Ａ．没有变化 Ｂ．扩大了3倍 Ｃ．缩小到 Ｄ．不能确定
3．在Rt△中，，，，则边的长为（ ）．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N 两点关于对角线AC对称，若DM=1，则tan∠ADN= ．
5．如图，在中，，于，若，，请你求出的值.
知识点一 坡度与坡角
6．正切常用来描述坡面的坡度，如图，坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的 （或 ），记作，即 ．
7．已知一个斜坡的长为10米，高度为8米，则坡度为 ．
8．小敏沿着直坡度i=1：的山坡向上走了50m，这时他离地面______m．
9．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6米，下底长为10米，高为米，那么此拦水坝斜坡的坡度为　　　　．
技能点一 求实际问题中的正切值
10．为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是
A． B．4 C． D．
技能点二 坡度在生活中的应角
11．如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度为1：，坡面AB的水平距离为，上底宽AD为4m，求坝高AE和坝底BC的长．
第2课时 正弦与余弦
知识点一 正弦的意义
1．如图在中，，则= = ，= =
2．在，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则
∠A的正弦值 （ ）．
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变
3．在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A的值是 ( ) ．
A． B．2 C． D．
4．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边AC是直角边BC的2倍，则sin∠A的值是 ．
5．如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则 ．
知识点二 余弦的意义
6如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，即cosA=______=_____．
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则cosA = ．
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（ ）．
A． B． C ． D．
9．如图，在△中，，，是边上的高，，则　　　　　，　　　　　　．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=900，BC=6，sinA=，求cosA和tanB的值．
技能点一 利用网格求三角函数
11．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
技能点二 利用三角函数解决实际问题
12．如图，，，，，求 和点到直线的距离．
、
24．2锐角的三角函数
第1课时 、、的三角函数值
知识点一 、、的三角函数值
1． , , .
2．计算sin45°的结果等于（ ）.
A． B．1 C． D．
3．计算4sin60°-3tan30°的值为（ ）.
A． B．2 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) C．3 D．0
4．点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是（　　）.
A．() B．(－) C．(－，) D．(－，-)
5．如图是引拉线固定电线杆的示意图．已知：CD⊥AB，CDm，∠CAD=∠DBC=60°，则拉线AC的长是______m.
知识点二 由三角函数值求锐角的度数
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A= ．
7．在Rt△ABC中，∠C=900，sinA=，则cosB的值为（ ）.
A．1 B． C． D．
8．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=，cosB= eq \f(,2) ，则△ABC的形状是（ ）.
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
9．锐角A满足2sin(A-15) 0＝?则∠A＝ ．
10．已知，且关于的方程HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"的两根平方和为10，求的大小．
技能点 特殊三角函数值的计算
11．计算：sin30 ·cos30 －tan30 ＝ （结果保留根号）
12．计算：（1）
（2）
第2课时 三角函数之间的关系
知识点一 互余的两个锐角的正弦、余弦值的关系
1．已知为锐角，则 ； ．
2．在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，下列式子一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如果，那么= ．
5．为直角三角形的一个锐角，若，求和的值．
知识点二 互余的两个锐角的正切值的关系
6．在中，，= ，若，则 ．
7．若，则锐角等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则= ．
9．计算：= ．
10．设和均为锐角，，且，求的值．
技能点 由特殊角的三角函数关系推导一般三角函数关系
11．如图，在中，BC、AC、AB三边的长分别为、、，则，，，我们不难发现：，…，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．
12．阅读下面的材料，再回答问题
三角函数中，常用公式，求的值，即，请你用公式：，求的值．
第3课时 一般锐角三角函数值
知识点一 利用计算器求锐角三角函数
1．用计算器求按键顺序为：先按 ，再按 ，然后按 即可；求的按键顺序为：先按 ，再按 ，其次按 ，再按 ，其次按 ，最后按 ．
2．用科学记数器求cos130的值，以下按键顺序正确的是（ ）．
A． cos 13 B． cos 2ndF 13
C． 13 cos D． 13 cos 2ndF
3．计算：sin20°- cos20°的值是（ ）（保留四个有效数字）．
A．-0.5976 B．0.5976 C．-0.5977 D．0.5977
4．用计算器计算：cos36.32°＝________．(结果保留四个有效数字) ．
5．用计算器计算，结果保留四位有效数字：
sin51030/+cos49050/－tan46010/．
知识点二 已知三角函数求角度的方法
6．已知锐角A满足，利用计算器求的按键顺序为：先按 ，再按
，然后按 ，最后按 ．结果要想以度、分、秒为单位显示，则再按 +
键即可．
7．已知sina=0.6031，则锐角a的度数是（ ）
A．3705/20// B．3708/30// C．3705/32// D．3706/40//
8．已知tanA=0.3600，利用计算器求出锐角A的值约为 ．（精确到度）
9．在中，，的值是方程的根，则的度数为
．
10．已知A为锐角，求满足下列条件的A角（精确到0.1）：
（1）sinA=0.9816；（2）cosA=0.8607．
技能点：利用三角函数的增减性比较大小
11．cos550和sin360的的大小关系是（ ）
A．cos550＞sin360 B．cos550＜sin360 C．cos550=sin360 D．不能确定
12．如果，那么锐角的范围大约是（ ）
A．00＜＜300 B．300＜＜450 C．450＜＜600 D．600＜＜900
13．比较下列三角函数值的大小：sin400 cos400．
14．（1）如图1、图2，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化规律．
（2）根据你探索到的规律，试比较、、、、这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．
（3）比较大小（在空格处填写“＜”，或“＞”，或“＝”号）．
若，则　　　　；若，则　　　　　；
若，则　　　　　　．
24．3解直角三角形及其应用
第1课时 直角三角形的边角关系
知识点一 已知两条边解直角三角形
1．在中，，AC=3，BC=，则AB= ， ，
．
2．在中，，若AB=2，BC=，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
3．已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC，若梯形的高是，则∠CAB等于（ ）
A．30° B．60° C．45° D．以上都不对
4．如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，，有下列结论：（1）DE=3cm；（2）EB=1cm；．其中正确的个数为（ ）．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5．在中，，若，，那么 ．
知识点二 已知一条边和一个锐角解直角三角形
6．在中，，，BC=4，则AB= ，斜边上的高为 ．
7．如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝，那么AB等于（ ）
A． m·sin米 B．m·tan米 C． m·cos米 D．米
8．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC=，则梯子长AB = 米．
9．如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．在△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，AC=5，则BC=__________．
技能点 直角三角形的应用
11．已知等腰三角形一腰上的高为1，且这条高与底的夹角的正弦值为，求该三角形的面积．
12．已知在等腰梯形ABCD中，对角线AC与底边AB的夹角为300，且AC⊥BC，若腰BC=2，请你求出梯形ABCD的面积．
第2课时 仰角、俯角问题
知识点一 与仰角、俯角有关的问题
1．如图，在进行高度测量时，视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时叫做 ；当视线在水平线下方时叫做 ．
2．身高相同的三个小朋友甲，乙，丙放风筝，他们放出的线长分别为300m，250m，200m，线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（ ）．
A．甲的最高 B．乙的最高 C．乙的最低 D．丙的最高
3．如图，河对岸有古塔AB.小明在C处测得塔顶A的仰角为α，向塔前进m到达D，在D处测得A的仰角为β，则塔高是 m.
4．小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20m，这时测得∠CBD=600，若牵引底端B离地面1.5m，求此时风筝离地面高度. (计算结果精确到0.1m，)
知识点二 与坡度有关的问题
5．如图，坡面的铅直高度（）和水平长度（）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，即 ，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作，有= ，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡．
6．一段公路的坡度为1︰3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是 ．
7．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）．
A．5m B．6m C．7m D．8m
8．某校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为，，台阶的高为2米，那么请你帮忙算一算需要 米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到，取，）
技能点 利用仰角、俯角的概念解决实际问题
9．如图，为了对我市城区省级文物保护对象－—高AC约42米的天然塔进行保护性维修，工人要在塔顶A和塔底所在地面上的B处之间拉一根铁丝，在BC上的点D处测得塔顶的仰角α为43°（测倾器DE高1.6米，A，E，B三点在同一条直线上）．求∠BAC的度数和铁丝AB的长．（接头部分的长度忽略不计，结果精确到0.1米．sin43°≈0.68,tan43°≈0.93）
10．为庆祝建国六十三周年，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向前进10m后， 又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，已知测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1m， 参考数据:．）
第3课时 方位角问题
知识点一 与方位角有关的问题
1．如图，B点在A点的南偏西 或 ；A点在B点的北偏东 或
．
2．如图，小明从A地沿北偏东方向走m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时小明离A地 m ．
3．两座灯塔A和B与海洋观测站的距离相等,灯塔A在观测站的北偏东40°,灯塔B在观测站的南偏东60°,那么灯塔A在灯塔B的（ ）.
A.北偏东10° B.南偏东10°　Ｃ.北偏西10°　　Ｄ.南偏西20°
4．小明同学在东西方向的沿江大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东400米的B处，测得江中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为___________米．
5．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东500m的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC＝ m．
（用根号表示）
技能点一 利用方位角解决与航海、航空有关的实际问题
6．如图，客轮在海上以30km/h的速度由向航行，在处测得灯塔 的方位角为北偏东，测得处的方位角为南偏东，航行1小时后到达处，在处测得的方位角为北偏东，则到的距离是（ ）.
A．km B．km C．km D．km
7．如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离．（结果保留根号）
技能点二 解决底部不能到达的测量问题
8．燕尾槽的横断面是等腰梯形．如图是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角是，外口宽是16，燕尾槽的深度是6，求它的里口宽(精确到0.1)．
9．某电视发射塔BC，为稳固塔身，周围拉有钢丝地锚线（如图线段AB），若AB=60m，并且AB与地面成45°角，欲升高发射塔的高度到CB/，同时原地锚线仍使用，若塔升高后使地锚线与地面成60°角，求电视发射塔升高了多少米？（即BB/的高度）（精确到0.01m）.
第4课时 方案设计问题
知识点 坡度、坡角
1．如图所示，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡的坡度为，坡面 的水平宽度为，基面宽为，则 ， ， ．
2．河堤的横断面如图所示，堤高，迎水斜坡的长为，那么斜坡的坡度是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高24m，斜坡的坡角 为，斜坡的坡角的正切值为，则坡底的长为（　　　）
Ａ．42m B．m Ｃ．m　　 Ｄ．m
4．有一水库大坝的横截面是梯形（如图①），为水库的水面，点在上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡的长为12米，迎水坡上的长为2米，求水深．（精确到0.1米，）
技能点 确定方案的合理性
5．如图所示，．两城市相距，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段），经测量，森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上，已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：）
6．我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．，斜坡米，坡角，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚不动，从坡顶沿削进到处，问至少是多少米（结果保留根号）？
7．如果某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到到，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心以40海里/小时的速度由A向北偏西方向移动，距台风中心200海里的区域均受到影响．
（1）B处是否会受到台风的影响？说明理由；
（2）若受台风影响，受影响的时间有多长？
（3）为避免受到台风影响，该船在多少小时内卸完货？
24章复习
1．在Rt△ABC中，∠C=900，cosA= ，则tanA等于（ ）．
A． B． C． D．24
2．小敏同学遇到了这样一道题：tan(α+10°)=1，你猜想锐角α的度数应是（ ）．
A.50° B.40° C.30° D.20°
3．在△ABC中，若tanA=1，sinB=，你认为最确切的判断是（ ）．
A.△ABC是等腰三角形 B.△ABC是等腰直角三角形
C.△ABC是直角三角形 D.△ABC是一般锐角三角形
4．小强和小明去测量一座古塔的高度（如图），他们在离古塔60米的A处，用测角仪器得塔顶的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1.5米，则古塔BE的高为（ ）．
A．（20-1.5）米 B．（20+1.5）米 C．31.5 D．28.5
5．由山顶A望地面C、D两点的俯角分别为450、300，若CD=100m，则山高AB等于（ ）．
A．100m B．50m C．50m D．50（+1）m
6．计算：= ．
7．直线与x轴正方向的夹角为，则= ．
8．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是 ．
9．如图，坡角为的斜坡上两树间的水平距离AC为，则两树间的坡面距离AB为
10．一等腰梯形，下底长4m，高2cm，底角的余弦为，则上底长 m，腰长 m．
11．如图，在△中，∠=90°，sin=，=15，求△的周长和tan的值．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90 ，∠B＝30 ，AD是∠BAC的平分线，BD＝4，求AD的长．
13．如图，小明用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为4m，DE为1.68m，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1m）
14．（2010·大连）如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，海轮沿正南方向匀速航行一段时间后，到达位于灯塔C的东南方向上的B处．
（1）求灯塔C到航线AB的距离；
（2）若海轮的速度为20海里/时，求海轮从A处到B处所用的时间（结果精确到0.1小时）
（参考数据：，）
15．一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？
　　
第24章解直角三角形
24．1锐角的三角函数
第1课时 正切
1． 2．A 3．B 4． 5．
6．坡度 坡比 7． 8．25 9．：1 10．A 11．坝高AE和坝底BC的长分别为3m、
第2课时 正弦与余弦
1． 2D 3．C 4． 5． 6．余弦 7 8．B 9． 10． 11．B 12． 点B到直线MC的距离为
24．2锐角的三角函数
第1课时 、、的三角函数值
1． 2．B 3．A 4．B 5．6 6． 7．C
8．A 9． 10． 11． 12．（1） （2）
第2课时 三角函数之间的关系
1． 2．C 3．D 4． 5． 6．1 3 7．C 8． 9．1 10．
11． 理由略
12．
第3课时 一般锐角三角函数值
1． 16 = 12 DMS 30 DMS 15 = 2．A
3．C 4．0.8057 5．0.3860 6．2ndf 0.9187 = 2ndf DMS
7．C 8． 9． 10．（1） （2） 11B 12．B
13． 14．（1）正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小；
（2）；HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" （3）若时，，若时，，若时，．
24．3解直角三角形及其应用
第1课时 直角三角形的边角关系
1．6 2．B 3．B 4．A 5． 6．8 7．B
8．4 9．C 10．或 11． 12．
第2课时 仰角、俯角问题
1．仰角 俯角 2．B 3． 4．18.8m. 5．
6． 7．A 8．5.5 9．因为BC∥EF，所以∠AEF＝∠B＝43°，又∠ACB＝90°，所以∠BAC＝90°－43°＝47°，在Rt△ABC中，sinB＝＝，所以AB＝42÷sin43°≈42÷0.68≈61.8(米).因而∠BAC＝47°，铁丝的长度是61.8米.
10．在Rt△BCD中， ，∴．在Rt△ACD中， ，∴．∴．∴．
∴（m）． ∴条幅顶端D点距离地面的高度为（m）．
第3课时 方位角问题
1． 西偏南 东偏北 2．100 3．C 4．
5． 6．D 7．轮船与灯塔C的距离为海里 8．作，垂足分别为，，在中，，∴ =．∴（cm）．答：燕尾槽的里口宽约为24.4cm． 9．解：在Rt△ACB中，因为∠BAC=450，AB=60m，所以BC=AB·sin∠BAC=60×sin450=30（m）．在Rt△A/B/C中，A/B/=60m，∠B/A/C=600，所以B/C=A/B/·sin600=60×（m）．所以电视塔升高的高度：BB/=B/C-BC
第4课时 方案设计问题
1．3 （） 2．C 3．A 4．提示：过A、D点作于于过作于 易得，即水深约为6.7米 5．提示：过P点作PH⊥AB于H点，易得PH=，所以会穿越保护区 6．提示：过B、E点分别作BG⊥AD于G点，EH⊥AD于H点，易证AG=20m，AH=m，所以BE至少为 7．（1）过B点作BH⊥AC交AC于点H，得BH=160＜200，所以受到台风的影响；（2）6小时；（3）小时
24章复习
1．A 2．D 3．B 4．B 5．D 6．2 7． 8． 9．
101 2.5 11．的周长为36； 12． 13．4.0m 14．（1）灯塔C到AB的距离为40海里；（2）海轮从A处到B处所用的时间约为5.5小时．
15．过点C作CE⊥BD，垂足为E，∴CE∥GB∥FA.
　∴∠BCE=∠GBC=60°.∠ACE=∠FAC=45°.
　∴∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°.
　又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°，
　∴∠BCA=∠BAC.∴BC=AB=10.
　在Rt△BCE中，CE=BC·cos∠BCE=BC·cos60°=10×=5(海里).
∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险.
A
B
C
D
第1题图
A
第4题图
B
D
M
N
C
·
·
A
C
B
D
第5题图
第6题图
第10题图
第11题图
第5题图
A
C
B
a
c
b
第1题图
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
第9题图
第6题图
第10题图
第11题图
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｍ
第12题图
第5题图
A
C
图2
图1
A
B
C
第8题图
A
B
C
m
第7题图
第4题图
8cm
10cm
P
圆水杯
易拉罐
第9题图
第11题图
第12题图
第5题图
第5题图
第1题图
Ａ
Ｃ
Ｂ
第8题图
第7题图
第9题图
第10题图
第2题图
P
A
B
C
30°
60°
北
第5题图
第1题图
北
东
第6题图
第7题图
第8题图
A/
A
C
B
B/
第9题图
一个坡面的铅直高度为，水平宽度为，则坡度 ．设坡角为，则= ，
越大，坡角 ，坡面就 ．
知识精梳理
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｆ
Ｅ
Ｂ
第1题图
第3题图
第2题图
第4题图
第5题图
第6题图
第7题图
　
Ａ
Ｂ
Ｃ
第9题图
第8题图
第4题图
第11题图
第12题图
第12题图
第13题图
第15题图