数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.1.2数列的递推公式 （共22张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.1.2数列的递推公式 （共22张ppt） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-10 16:28:50 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
4.1.2 数列的递推公式
创设情境
1202年，意大利数学家斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1170—约1250)出版了他的《算盘全书》(Liber Abaci).他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题:
如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子
在第1个月时，只有1对小兔子，过了1个月，那对兔子成熟了，在第3个月时便生下1对小兔子，这时有两对兔子，再过1个月，成熟的兔子再生1对小兔子，而另1对小兔子长大，有3对小兔子，如此推算下去，我们可以得到一个表格:
神奇的斐波那契数列
时间/月 初生兔子/对 成熟兔子/对 兔子总数/对
1 1 0 1
2 0 1 1
3 1 1 2
4
5
6
7
8
1
21
13
8
13
5
8
5
3
8
5
2
3
2
3
…
…
…
…
从第1个月开始,以后每个月的兔子总对数是
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ….
你发现这个数列的规律了吗？
探究新知
如果用Fn表示第n个月的兔子的总对数，数列的规律是递推关系: Fn=Fn-1+Fn-2(n>2)
这个数列称为斐波那契数列.
递推公式 :
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
作用: 知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.
例4 图中的三角形图案称为谢尔宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式.
(1)
(2)
(3)
(4)
典例分析
解：在图中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27,即所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.
因此，这个数列的一个通项公式是 .
换个角度观察图可以发现，从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍. 这样，例4中的数列的前4项满足： a1=1, a2=3a1, a3=3a2, a4=3a3.
由此猜测这个数列满足的公式为：
当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算来寻找规律, 如依次取出数列的某一项, 减去或除以它的前一项,再对差或商加以观察.
(1)
(2)
(3)
(4)
典例分析
例5 已知数列的第1项是1，以后的各项由公式 给出,写出这个数列的前5项.
解：由题意可知
总结：递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项.
通项公式和递推公式之间的差别与联系：
回顾：到目前为止，数列一共有多少种表示方法？
探究新知
联系：都可以确定数列；
区别：通项公式表示的是项
递推公式表示的是项与项之间的关系
1. 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数.
21
13
35
课本P8
2. 根据下列条件, 写出数列{an}的前5项:
课本P8
课本P8
n
在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一.
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,即
Sn =a1+a2+...+an
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
探究新知
Sn 与an的关系式
思考： 已知数列{an}的前几项和公式为Sn =n2+n,你能求出{an}的通项公式吗？
解：因为a1=S1=2，
an=Sn-Sn-1
= n2+n -[(n-1) +(n-1)]
=2n(n≥2),
并且当n=1时，a1=2×1=2依然成立.
所以{an}的通项公式是an=2n.
典例分析
由Sn 求an需要检验
课本P8
1.已知数列{an}满足:，=1- ，设数列{an}的前项和为Sn，则( )
A.1007 B. 1008 C. 1009.5D. 1010
巩固练习：
4.已知数列{an}的前项积为Tn , 满足:Tn=，求数列{an}的通项公式。
当n=1时也适合上式
5.已知数列{an}满足 a1 = 1，an = an－1＋1 (n ≥ 2)， 写出这个数列的通项公式.
解：（1）由递推式可得，
a2－a1 = 1，
a3－a2 = 1，
…
an－an－1 = 1
把以上 n-1 个式子相加,得 an －a1 = n －1
∴数列的通项为 an = n.
总结：一般递推关系为an+1= f (n)+an，即an+1 - an = f (n)时，可用累加法求通项公式.
又 a1 = 1
6.已知数列{an}满足 写出这个数列的通项公式.
解：由递推式可得
∴数列的通项为 .
把以上n-1个式子相乘得
又 a1 = 1
总结：一般递推关系为an+1= f (n)·an, 即 时，可用累乘法求通项公式.
1.递推公式：（1）初始值；2）递推关系式
已知数列的递推公式，求前几项并猜出通项公式
课堂小结
4.1.2 数列的递推公式
创设情境
1202年，意大利数学家斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1170—约1250)出版了他的《算盘全书》(Liber Abaci).他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题:
如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子
在第1个月时，只有1对小兔子，过了1个月，那对兔子成熟了，在第3个月时便生下1对小兔子，这时有两对兔子，再过1个月，成熟的兔子再生1对小兔子，而另1对小兔子长大，有3对小兔子，如此推算下去，我们可以得到一个表格:
神奇的斐波那契数列
时间/月 初生兔子/对 成熟兔子/对 兔子总数/对
1 1 0 1
2 0 1 1
3 1 1 2
4
5
6
7
8
1
21
13
8
13
5
8
5
3
8
5
2
3
2
3
…
…
…
…
从第1个月开始,以后每个月的兔子总对数是
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ….
你发现这个数列的规律了吗？
探究新知
如果用Fn表示第n个月的兔子的总对数，数列的规律是递推关系: Fn=Fn-1+Fn-2(n>2)
这个数列称为斐波那契数列.
递推公式 :
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
作用: 知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.
例4 图中的三角形图案称为谢尔宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式.
(1)
(2)
(3)
(4)
典例分析
解：在图中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27,即所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.
因此，这个数列的一个通项公式是 .
换个角度观察图可以发现，从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍. 这样，例4中的数列的前4项满足： a1=1, a2=3a1, a3=3a2, a4=3a3.
由此猜测这个数列满足的公式为：
当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算来寻找规律, 如依次取出数列的某一项, 减去或除以它的前一项,再对差或商加以观察.
(1)
(2)
(3)
(4)
典例分析
例5 已知数列的第1项是1，以后的各项由公式 给出,写出这个数列的前5项.
解：由题意可知
总结：递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项.
通项公式和递推公式之间的差别与联系：
回顾：到目前为止，数列一共有多少种表示方法？
探究新知
联系：都可以确定数列；
区别：通项公式表示的是项
递推公式表示的是项与项之间的关系
1. 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数.
21
13
35
课本P8
2. 根据下列条件, 写出数列{an}的前5项:
课本P8
课本P8
n
在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一.
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,即
Sn =a1+a2+...+an
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
探究新知
Sn 与an的关系式
思考： 已知数列{an}的前几项和公式为Sn =n2+n,你能求出{an}的通项公式吗？
解：因为a1=S1=2，
an=Sn-Sn-1
= n2+n -[(n-1) +(n-1)]
=2n(n≥2),
并且当n=1时，a1=2×1=2依然成立.
所以{an}的通项公式是an=2n.
典例分析
由Sn 求an需要检验
课本P8
1.已知数列{an}满足:，=1- ，设数列{an}的前项和为Sn，则( )
A.1007 B. 1008 C. 1009.5D. 1010
巩固练习：
4.已知数列{an}的前项积为Tn , 满足:Tn=，求数列{an}的通项公式。
当n=1时也适合上式
5.已知数列{an}满足 a1 = 1，an = an－1＋1 (n ≥ 2)， 写出这个数列的通项公式.
解：（1）由递推式可得，
a2－a1 = 1，
a3－a2 = 1，
…
an－an－1 = 1
把以上 n-1 个式子相加,得 an －a1 = n －1
∴数列的通项为 an = n.
总结：一般递推关系为an+1= f (n)+an，即an+1 - an = f (n)时，可用累加法求通项公式.
又 a1 = 1
6.已知数列{an}满足 写出这个数列的通项公式.
解：由递推式可得
∴数列的通项为 .
把以上n-1个式子相乘得
又 a1 = 1
总结：一般递推关系为an+1= f (n)·an, 即 时，可用累乘法求通项公式.
1.递推公式：（1）初始值；2）递推关系式
已知数列的递推公式，求前几项并猜出通项公式
课堂小结