北师大版 数学 九年级上册第2章 一元二次方程 专题卷（pdf、无答案）

题型二：根与系数关系的应用 题型三：实际应用“传播、循环、增长率问题”
一元二次方程专题卷
应用类型 1：求代数式的值 应用类型 1：传播问题
题型一：根的判别式的应用 例：已知关于 的一元二次方程 2﹣ 例：甲型 H1N1 流感传染能力很强．若有一人患这种流感，经过两轮传染后x x 8x+9＝0 有，求 + 的值．
应用类型 1：判断根的情况 共有 64 人患流感，则每轮传染中平均一人传染了 人，经过三轮传播，
例：判断关于 x的一元二次方程 x2﹣mx﹣2＝0 的根的情况，并说明理由． 将共有 人患流感．
【解答】∵Δ＝b2﹣4ac＝m2+8＞0， 【解答】由题意得 x1 x2＝9，x1+x2＝8，∴ + ＝ ＝ ． 【分析】n轮传播共有（1+x）n人被传染。依题意可列方程（x+1）2＝64．解
∴对任意实数 m方程都有两个不相等的实数根． 得 x＝7，x＝﹣9（舍去）三轮后共有患流感人数＝（7+1）3＝512（人）
练 1：已知关于 x的方程 x2﹣4mx+4m2﹣1＝0，判断方程的根的情况。 练：设 x1 和 x2 是方程 2x
2+4x﹣3＝0 的两个根，求下列各式的值： 练 1：疫情期间，若有 1 人染上“新冠”，不及时治疗，经过两轮传染后有 361
（1）x1+x2； 人染上“新冠”，平均一个人传染 个人．
（2）x1x2； 练 2：小明决定用微博转发的方式传播一篇倡议书．规则：将倡议书发表在
练 2：已知方程 x2﹣2x﹣m＝0 没有实数根，m 是实数，判断方程 x2+2mx+m （3）x 21 +x
2
2 ； 自己的微博上，再邀请 n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请 n个互不
（m+1）＝0 有无实数根． （4）（x1+1）（x2+1）； 相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有 111 个人参与了宣
（5） + ； 传活动，则 n的值为： 。
（6）（x1﹣x2）
2． 应用类型 2：循环问题
应用类型 2：求字母的值或取值范围 应用类型 2：求字母的值或取值范围 例：要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排 15
例：关于 x的一元二次方程 x2+3x+k﹣2＝0 有实数根．求 k的取值范围． 例：已知关于 x的方程 x2+3x+k﹣2＝0 的两个实数根分别为 x1，x2，若（x1+1） 场比赛，设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的关系式为 。
【解答】∵关于 x的一元二次方程 x2+3x+k﹣2＝0 有实数根，∴Δ＝32﹣4× （x2+1）＝﹣1，求 k的值． 【分析】区分单/双循环。每支球队都需要 与其他球队赛（x﹣1）场，但
×（k﹣ ）≥ 【解答】∵方程 x
2+3x+k﹣2＝0 的两个实数根分别为 x ，x ， 2 队之间只有 1 场比赛，所以可列方程为： x（x﹣1）＝15．
1 2 0，解得 k≤ 1 2
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝k﹣2， 练 1：在一次会议上，每两个参加会议的人都握了一次手，据统计一共握 55
练 1：关于 x的方程 x2+2x+a+2＝0 有两个不等实数根，求 a的取值范围； ∴（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1， 次手，则参加会议的人数为（ ）
即 k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，解得 k＝3， A．9 B．10 C．11 D．12
练 1：关于 x的方程 x2﹣4x﹣2m+5＝0 满足（x1+1）（x2+1）＝m+3，求 m的 练 2：参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛 110 场，
练 2：已知关于 x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9＝0 有实根，求 a的取值 值 设参加比赛的球队有 x支，根据题意，可列方程： 。
范围及最大整数值； 练 3：一个 QQ 群里共有 x 个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一
条信息，共发信息 1980 条，则可列方程： 。
练 2：已知关于 x的一元二次方程 x2+（2m﹣3）x+m2＝0 有两个不相等的实 应用类型 3：增长率问题
应用类型 3：求几何图形的周长 例：某企业 2018 年初获利润 300 万元，到 2020 年初计划利润达到 507 万
数根 a和 b，且满足 + ＝1，求 m的值．
例：已知：关于 x的方程 x2﹣4mx+4m2﹣1＝0．若△ABC为等腰三角形，BC 元．设这两年的年利润平均增长率为 x．应列方程是 。版权所有
＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长． 【分析】增长/降低率问题，代入公式 a(1±x)n=b即可求解。
根据题意得：300（1+x）2＝507．
练 1：某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元，
则平均每次降价的百分率为
2 练 2：北京冬奥会的某纪念品原价 188 元，连续两次降价 a%，后售价为 118练：已知： ABCD的两边 AB，AD的长是关于 x的方程 x ﹣mx+ ﹣ ＝0
练 3：已知 x2﹣（2m+1）x+m2﹣1＝0，方程两根 x 2 21，x2 满足 x1 +x2 ﹣9＝0， 元，下列所列方程中正确的是（ ）
的两个实数根． 求 m的值． A．188（1+a%）2＝118 B．188（1﹣a%）2＝118
（1）当 m为何值时，四边形 ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； C．188（1﹣2a%）＝118 D．188（1﹣a2%）＝118
（2）若 AB的长为 2，那么 ABCD的周长是多少？ 练 3：某商场元旦休假期间进行让利销售，全部商品一律按九折销售，这样
所获利润恰是收入的 20%，如果第一天的销售额是 4 万元，第三天的利润是
1.25 万元，则第二，第三天的销售收入平均增长率为 %．
题型四：实际应用“利润问题” 题型五：实际应用“面积问题” 题型六：实际应用“几何动点问题”
例：某种文化衫，平均每天销售 40 件，每件盈利 20 元，由于换季降价销售， 例 1：一张长 20cm、宽 13cm 的矩形纸板，将纸板四个角 例：如图，在矩形 ABCD 中，AB＝12cm，BC＝6cm，点
若每件降价 0.5 元，则每天可多售 5 件，为了尽快减少库存且每天要盈利 1080 各剪去一个边长为 xcm的正方形，然后将四周突出部分折 P从点 A出发沿 AB以 2cm/s的速度向点 B运动；同时，
元，每件应降价 元． 起，可制成一个无盖纸盒．若要制成一个底面积是 144cm2 点 Q 从点 B 出发沿 BC 以 1cm/s 的速度向点 C 运动，点
【分析】利用调价后“单件利润×销量=总利润”可列方程求解 的无盖长方体纸盒，求 x的值． P运动到点 B时，点 Q也停止运动；当△PQC的面积等
【解答】解：设每件降价 x元，降价后单件利润（20﹣x）元，销量（40+10x） 【解答】解：依题意得：（20﹣2x）（13﹣2x）＝144，解得： 于 16cm2 时，运动时间为 s．
件；则（20﹣x）（40+10x）＝1080．解得：x1＝2，x2＝14．为了尽快减少库 x1＝2，x2＝14.5（舍）．答：x 的值为 2． 【解答】解：设运动时间为 xs（0≤x≤6）依题意得 （12﹣2x）（6﹣x）＝
存，则降价 14 元 练 1：如图是一张长 12cm，宽 10cm的矩形铁皮，将其剪去
练 1：某商场销售一批衬衫，平均每天销售 20 件，每件盈利 40 元，为了减 两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分） 16，解得：x1＝2，x2＝10（舍去）故答案为：2．
少库存，商场决定采取降价措施，如果每件降价 1 元，则每天可多售 2 件（．1） 可制成底面积是 24cm2 的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方 练 1：如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝32cm，
商场若想每天盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？（2）问在这次活动中， 形的边长为 cm． BC＝12cm，动点 P从点 A出发，以 6cm/s的速度向点 B运
平均每天能否获得 1300 元的利润，若能，求出每件衬衫应降多少元；若不能， 动，直到点 B为止；动点 Q同时从点 C出发，以 4cm/s的
请说明理由． 例 2：如图，在长为 62 米、宽为 42 米的矩形草地上修 速度向点 D运动，何时点 P和点 Q之间的距离是 20cm？
同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为
2400 平方米，设道路的宽为 x 米，则可列方程
为 。
【分析】利用“草坪的面积”作为等量关系可列方程
（62﹣x）（42﹣x）＝2400． 练 2：41．如图，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，动点 D
练 2：如图，一块长方形绿地的长为 100m，宽为 50m， 从点 A出发以 4cm/s速度向点 C移动，同时动点 E从 C出发以
练 2：端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况：进价是每千克 22 在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为 4704m2，则 3cm/s的速度向点 B移动，设它们的运动时间为 ts．
元；当销售价为每千克 38 元时，每天可售出 160 千克；若每千克降低 3 元， 根据题意可列出方程 。
（1）t为何值时，△CDE的面积是四边形 ABED的面积的 ？
每天的销售量将增加 120 千克．若超市每天要获得销售利润 3640 元，又要尽
可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 例 3：如图，王大爷要利用一面墙（墙长 25m）和 80m （2）点 D、E 运动时，DE 的长可以是 8cm 吗？如果可以，请
的围栏围成三个大小相同的矩形羊圈．（1）若羊圈的总 求出 t的值，如果不可以，请说明理由．
面积为 300m2，求此时每个矩形羊圈的长和宽分别是多
少？（2）羊圈的总面积能达到 500m2 吗？为什么？
练 3：如图，在边长为 12cm的等边三角形 ABC中，点
变式：某种产品按质量分为 10 个档次．生产最低档次的产品，一天可生产 60 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以每秒钟 1cm 的速度移
件，每件获利润 8 元．每提高一个档次将减少 3 件，利润减少 2 元．如果使 练 3：如图，利用一面墙（墙长 20 米），用总长度 动，点 Q从点 B开始沿 BC边向点 C以每秒钟 2cm的
一天获利润 858 元，应生产哪个档次的产品（最低档次为第一档次，档次依 43 米的篱笆围成一个矩形鸡舍 ABCD，且中间共留 速度移动．若 P、Q分别从 A、B同时出发，其中任意
次随质量增加而提高）？ 两个 1 米的小门，设篱笆 BC长为 x米． 一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：
（1）AB＝ 米．（用含 x的代数式表示） （1）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？
（2）若矩形鸡舍 ABCD面积为 150 平方米，求篱笆 BC的长． （2）经过几秒△BPQ的面积等于 cm2？
（3）矩形鸡舍 ABCD 面积是否有可能达到 210 平方米？若有可能，求出相
应 x的值；若不可能，则说明理由．