第3章 数据的分析 期末复习学案 （含答案）

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第三章　数据的分析
1　平均数
知识梳理：
1.算术平均数
一般地,对于n个数据x1,x2,…,xn,我们把　　　　　　　　　　叫做这n个数的算术平均数,简称平均数,记为　　　　.
2.加权平均数
一般地,如果n个数据x1,x2,…,xn的权分别为w1,w2,…,wn,那么
　　　　　　　　　　　　叫做这n个数的加权平均数.
考点梳理：
考点一 算术平均数
[典例1](苏州)为增强学生的环保意识,共建绿色文明校园,某学校组织“废纸宝宝旅行记”活动.经统计,七年级5个班级一周回收废纸情况如表:
班级 一班 二班 三班 四班 五班
废纸质量/kg 4.5 4.4 5.1 3.3 5.7
则每个班级回收废纸的平均质量为(　　)
A.5 kg B.4.8 kg C.4.6 kg D.4.5 kg
[变式1]某校举行歌咏比赛,7位评委给各班的选手打分,去掉一个最高分,去掉一个最低分,再算出其余5位评委的平均数,就是这个选手的最后得分.小红的得分(单位:分)情况如下:9.64,9.70,9.65,9.71,9.69,9.75,9.83.那么小红同学的最后得分是(　　)
A.9.69分 B.9.70分 C.9.71分 D.9.72分
[变式2](淮安)已知一组数据1,3,a,10的平均数为5,则a的值为　　　　.
点睛：
(1)算术平均数反映了一组数据的“平均水平”.
注意公式的变形应用:①x1+x2+…+xn=n;
②n=,用它们可以分别求出数据的和与数据的个数.
(2)一组数据的平均水平是唯一的,与数据的排列顺序无关.涉及实际意义的平均数要带单位.
考点二 加权平均数
[典例2]（福建)某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛,对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分,具体成绩(百分制)如表:
项目作品 甲 乙 丙 丁
创新性 90 95 90 90
实用性 90 90 95 85
如果按照创新性占60%、实用性占40%计算总成绩,并根据总成绩择优推荐,那么应推荐的作品是(　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
[变式3](苏州)某手表厂抽查了10只手表的日走时误差(单位:s),数据如下表所示:
日走时误差 0 1 2 3
数量 3 4 2 1
则这10只手表的平均日走时误差是(　　)
A.0 s B.0.6 s C.0.8 s D.1.1 s
[变式4]小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工,公司承诺:正常上班的工资为200元/天,不能正常上班(如下雨)的工资为80元/天.如果某月(30天)正常上班的天数占80%,求当月小刘的日平均工资.
点睛：
在计算平均数时,要计算哪一种,主要看各个数据的重要程度是否相同.若各数据的重要程度相同,则计算算术平均数;若各数据的重要程度不同,则计算加权平均数.“权”的常见形式有“次数、百分比、比例”三种,其中以百分比形式出现时,各个数据的权重之和为1.
2　中位数与众数
知识梳理：
1.中位数
一般地,n个数据按大小排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的　　　　　)叫做这组数据的中位数.
2.众数
一组数据中　　　　　　　的那个数据叫做这组数据众数.如果一组数据中,出现次数最多的数据有两个,那么这两个数据都是这组数据的　　　.
考点梳理：
考点一、 中位数
[典例1](朝阳)某校开展了以“爱我家乡”为主题的艺术活动,从九年级5个班收集到的艺术作品数量(单位:件)分别为48,50,47, 44,50,则这组数据的中位数是(　　)
A.44 B.47 C.48 D.50
[变式1]某班组织了一次读书活动,统计了10名同学在一周内的读书时间,他们一周内的读书时间累计如表,则这10名同学在一周内累计读书时间的中位数是(　　)
一周内累计读书时间/h 5 8 10 14
人数 1 4 3 2
A.8 h B.7 h C.9 h D.10 h
[变式2](2020益阳)一组数据由4个数组成,其中3个数分别为2,3,4,且这组数据的平均数为4,则这组数据的中位数为(　　)
A.7 B.3.5 C.4 D.3
点睛：
确定一组数据中位数的一般步骤:
(1)排顺序:把一组数据按大小顺序排列.
(2)数个数:数出这组数据是偶数个还是奇数个.
(3)找位置:如果数据的个数是奇数,那么处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,那么中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
考点二 众数
[典例2](龙口模拟)某班同学进行知识竞赛,将所得成绩整理成如图所示的统计图,则这次竞赛成绩的众数是　　　　分.
[变式3](凉山)已知一组数据1,0,3,-1,x,2,3的平均数是1,则这组数据的众数是(　　)
A.-1 B.3
C.-1和3 D.1和3
[变式4]在一次植树活动中,某小组15名同学的植树情况如下表:
每人植树棵数/棵 2 3 4 5 6
人数 3 5 a b 1
已知植树棵数的众数仅为3棵,则a的值可能是(　　)
A.1,2,3,4 B.2,3,4
C.1,2,3 D.3,4,5
考点三、 选择合适的统计量描述数据的集中趋势
[典例3]某校有35名同学参加文化知识竞赛,预赛分数各不相同,取前18名同学参加决赛.其中一名同学知道自己的分数后,要判断自己能否进入决赛,只需要知道这35名同学分数的(　　)
A.众数 B.中位数
C.平均数 D.满分人数
[变式5]某公司15名营销人员某月销售某种商品的数量(单位:件)如下:
月销售数量 600 500 400 350 300 250
人数 1 3 1 3 5 2
(1)请补全下列表格:
月销售数量的平均数/件 月销售数量的中位 数/件 月销售数量的众数/件
370 　　　 　　　
(2)根据上表,你认为用平均数、中位数、众数中的哪一个描述该公司全体营销人员月销售量的“集中趋势”较为合适 说明理由.
点睛：
平均数、中位数、众数都刻画了数据的集中趋势,但它们各有特点.平均数的计算要用到所有的数据,它能够充分利用数据提供的信息,因此在现实生活中较为常用,但它受极端值(一组数据中与其余数据差异很大的数据)的影响较大.当一组数据中某些数据多次重复出现时,众数往往是人们关心的一个量,众数不易受极端值的影响.中位数只需要很少的计算,它也不易受极端值的影响.
3　从统计图分析数据的集中趋势
知识梳理：
1.一般来讲,我们常用的统计图有四种,分别是
　　　　　　　　　;　　　　　　　　　　　;
　　　　　　　　　;　　　　　　　　　　　.
2.描述数据集中趋势的量有　　　　、　　　　、　　　　.
考点梳理：
考点一、 利用条形统计图分析数据的集中趋势
[典例1](广东)某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛.用简单随机抽样的方法,从该年级全体600名学生中抽取20名,其竞赛成绩如图所示:
(1)求这20名学生成绩的众数,中位数和平均数;
(2)若规定成绩大于或等于90分为优秀等级,试估计该年级获优秀等级的学生人数.
考点二、 利用扇形统计图分析数据的集中趋势
[典例2]某中学在一次爱心捐款活动中,全体同学积极捐款.现抽查了九(1)班全班同学的捐款情况,并绘制出如下的统计表和扇形统
计图.
九(1)班学生捐款情况统计表
捐款/元 20 50 100 150 200
人数/人 4 12 9 3 2
(1)m=　　　　,n=　　　　;
(2)求学生捐款的众数、中位数和平均数;
(3)若该校学生有3 500人,估计该校学生共捐款多少元.
[变式1]某品牌汽车公司的销售部对40位销售员某月的汽车销售量进行了统计,绘制成如图所示的扇形统计图,则这40位销售人员本月汽车销售量的中位数为　　　　辆.
考低那三 利用折线统计图分析数据的集中趋势
[典例3]某校初中一年级组建篮球队,对甲、乙两名备选同学进行定位投篮测试,每次投10个球共投10次.甲、乙两名同学测试情况如图所示.根据图中所提供的信息解答下列问题.
甲、乙两名同学测试结果的折线统计图
(1)读图填表:
甲每次投中的个数
乙每次投中的个数
(2)写出甲、乙两人投中个数的众数和中位数;
(3)求两人投中个数的平均数.
[变式2](2022龙口模拟)小亮家1～10月的用电量统计图如图所示,
这组数据的众数和中位数分别是(　　)
A.30度和20度 B.30度和25度
C.30度和 22.5度 D.30度和 17.5度
点睛：
条形统计图、折线统计图可直观地看出每个数据对应的次数,因此可直观地看出众数,也易计算中位数及平均数.扇形统计图可以直观地反映各部分占总体的百分比,百分比最大的扇形所对应的数据就是 众数.
4　数据的离散程度
第1课时　方差与标准差
知识梳理：
1.极差
极差是一组数据中　　　　　与　　　　　的差.
2.方差
方差是各个数据与平均数之差的　　　的　　　,其公式是　 .
3.标准差
标准差是　　　　的算术平方根.
考点梳理：
考点一 极差
[典例1]在校园歌手大赛中,学校七位评委对某位歌手的打分如下:9.8,9.6,9.4,9.3,9.1,9.5,9.6.则这组数据的极差是　　　　.
[变式1]如图所示是一组数据的折线统计图,这组数据的极差是　 　　.
点睛：
极差为一组数据的最大值与最小值的差,它是刻画数据离散程度最简单的量,只对极端数值较为敏感.
考点二 方差与标准差
[典例2]甲、乙两个电子厂在广告中声称他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是5年,某质检部门对这两家销售的产品的使用寿命(单位:年)进行跟踪调查,统计结果如下:
甲厂:3,4,5,6,7;
乙厂:4,4,5,6,6.
分别求出甲厂、乙厂的该种电子产品在正常情况下使用寿命的平均数和方差.
[变式2](青岛)已知甲、乙两队员射击的成绩如图所示,设甲、乙两队员射击成绩的方差分别为,,则　　　 .(填“>”“=”或“<”)
[变式3]若一组数据x1,x2,…,xn的平均数是2,方差是1,则3x1+2, 3x2+2,…,3xn+2的平均数是　　　　,方差是　　　　.
点睛：
(1)计算方差的“四步曲”:
①先平均:计算一组数据的平均数;
②后求差:计算每个数据与平均数的差;
③平方和:求上面所得差的平方和;
④再平均:用求得的平方和除以原数据的个数.
(2)由方差计算公式不难得到,一组数据的每一个数据都加上(或减去)同一个常数,所得的一组新数据的方差不变;一组数据的每一个数据都变为原来的k倍,则所得的一组新数据的方差将变为原数据方差的k2倍.
第2课时　方差的实际应用
知识梳理：
1.一般地,几组人员的成绩中,可以通过平均数看出成绩的好坏,利用
　　　　看出发挥是否稳定.
2.一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据就越　　　　,方差和标准差较极差更为精细地刻画了数据的波动情况.有时多数数据相对集中,整体波动水平较小,但个别数据的偏离仍可能极大地影响极差、方差或标准差的值,从而导致这些数值较大,因此在实际应用中根据具体问题情境进行具体分析,选用适当的统计量刻画数据的波动情况.
考点梳理：
考点一 方差的实际应用
[典例1]为了考察甲、乙两种成熟期小麦的株高状况,现从中各随机抽取6株,并测得它们的株高(单位:cm)如下表所示:
甲 63 66 63 61 64 61
乙 63 65 60 63 64 63
请分别计算表内两组数据的方差,并借此比较哪种小麦的长势比较
整齐
[变式1]甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试,每人射箭10次,测试成绩的平均数都是9环,方差分别是=0.35,=0.45,=0.55, =0.65,则测试成绩最稳定的是(　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
考点二、 统计图表与方差的实际应用
[典例2](潍坊)从甲、乙两班各随机抽取10名学生(共20名)参加数学素养测试,将测试成绩分为如下的5组(满分为100分):A组,50≤x<60;B组,60≤x<70;C组,70≤x<80;D组,80≤x<90;E组,90≤x≤100.分别制成频数分布直方图和扇形统计图如图所示.
(1)根据图中数据,补充完整频数分布直方图并计算参加测试的学生的平均成绩.(取各组成绩的下限与上限的中间值近似的表示该组学生的平均成绩)
(2)甲、乙两班参加测试的学生成绩统计如下:
甲班:62,64,66,76,76,77,82,83,83,91;
乙班:51,52,69,70,71,71,88,89,99,100.
通过计算得两班学生的样本平均成绩为=76,=76;样本方差为=80,=275.4.请用学过的统计知识评价甲、乙两班的数学素养总体水平并说明理由.
[变式2](济宁)下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩(单位:cm)的平均数和方差,要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛,最合适的运动员是(　　)
运动员 甲 乙 丙 丁
平均数 376 350 376 350
方差s2 12.5 13.5 2.4 5.4
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
点睛：
用方差比较数据稳定性的一般步骤:
(1)找数据:根据实际问题,找出问题中的相关数据;
(2)求方差:利用方差公式,求得每一组数据的方差;
(3)得结论:方差越小,数据越稳定,波动越小.
答案：
1　平均数
知识梳理：
1.(x1+x2+…+xn)　
2.
考点梳理：
[典例1] C　
[变式1] B　
[变式2] 6
[典例2] B
[变式3] D
[变式4] 解:[200×30×80%+80×30×(1-80%)]÷30=(4 800+480)÷30=176(元).
答:当月小刘的日平均工资为176元.
2　中位数与众数
知识梳理：
1.平均数
2.出现次数最多　众数
考点梳理：
[典例1] C　
[变式1] C　
[变式2] B
[典例2] 70
[变式3] C　
[变式4] B
[典例3] B
[变式5] 解:(1)这组数据的中位数是第8个数据,
∴这组数据的中位数是350.
这组数据中,300件出现次数最多,
∴这组数据的众数是300.
故答案为350,300.
(2)用中位数或众数来描述较为合适.
理由:平均数受极端值的影响,所以不合适,而中位数和众数多数人可以达到,较为合适.
3　从统计图分析数据的集中趋势
知识梳理：
1.条形统计图　折线统计图　扇形统计图
频数直方图
2.平均数　中位数　众数
考点梳理：
[典例1] 解:(1)由统计图中90分对应的人数最多,知这20名学生成绩的众数是90分;
将数据从小到大排列后,第10个和第11个数据都是90,因此这 20名学生成绩的中位数是90分;
平均数为=90.5(分).
(2)600×=450(名).
答:估计该年级获优秀等级的学生有450名.
[典例2] 解:(1)40　30
(2)∵在这组数据中,50出现了12次,出现的次数最多,
∴学生捐款的众数是50元.
∵按照从小到大排列,处于中间位置的两个数据都是50,
∴学生捐款的中位数为50元.
学生捐款的平均数为(20×4+50×12+100×9+150×3+200×2)÷30
=2 430÷30=81(元).
(3)3 500×81=283 500(元).
答:估计该校学生共捐款283 500元.
[变式1] 16
[典例3] 解:(1)填表如下:
甲每次投中的个数 9 6 6 8 7 6 6 8 8 6
乙每次投中的个数 4 5 7 6 8 7 8 8 8 9
(2)∵甲每次投中的个数中,6出现了5次,出现的次数最多,
∴甲投中个数的众数是6.
∵甲每次投中的个数中,共有10个数,最中间的数是第5个数和第6个数的平均数,
∴甲投中个数的中位数是(6+7)÷2=6.5.
∵乙每次投中的个数中,8出现了4次,出现的次数最多,
∴乙投中个数的众数是8,
∵乙每次投中的个数中,共有10个数,最中间的数是第5个数和第6个数的平均数,
∴乙投中个数的中位数是(7+8)÷2=7.5.
(3)甲投中个数的平均数为(9+6+6+8+7+6+6+8+8+6)÷10=7;
乙投中个数的平均数为(4+5+7+6+8+7+8+8+8+9)÷10=7.
[变式2] C
4　数据的离散程度
第1课时　方差与标准差
知识梳理：
1.最大数据　最小数据
2.平方　平均数
s2=
3.方差
考点梳理：
[典例1] 0.7　
[变式1] 31
[典例2] 解:甲厂电子产品在正常情况下使用寿命的平均数为×(3+4+5+6+7)=5(年),
方差为×[(3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2]=2.
乙厂电子产品在正常情况下使用寿命的平均数为×(4+4+5+6+6)
=5(年),
方差为×[(4-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(6-5)2]=.
[变式2] >　解析:甲队员的射击成绩为6,7,7,7,8,8,9,9,9,10;
乙队员的射击成绩为6,7,7,8,8,8,8,9,9,10.
∵=×(6+7×3+8×2+9×3+10)=8(环),
=×(6+7×2+8×4+9×2+10)=8(环),
∴=×[(6-8)2+3×(7-8)2+2×(8-8)2+3×(9-8)2+(10-8)2]=×(4+3+3+4)=1.4,
=×[(6-8)2+2×(7-8)2+4×(8-8)2+2×(9-8)2+(10-8)2]=×(4+2+2+4)=1.2.
∵1.4>1.2,∴>.
故答案为>.
[变式3] 8　9
[变式4] 解:设这组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为,则另一组数据2x1+1,2x2+1,2x3+1,2x4+1,2x5+1的平均数为2+1.
∵s2=×[(x1-)2+…+(x5-)2]=3,
∴s′2=×[(2x1+1-2-1)2+(2x2+1-2-1)2+…+(2x5+1-2-1)2]
=[4(x1-)2+4(x2-)2+…+4(x5-)2]
=4×3
=12,
故另一组新数据2x1+1,2x2+1,2x3+1,2x4+1,2x5+1的标准差为=2.
第2课时　方差的实际应用
知识梳理：
1.方差　2.稳定
考点梳理：
[典例1] 解:=(63+66+63+61+64+61)÷6=63(cm).
=(63+65+60+63+64+63)÷6=63(cm).
=×[(63-63)2×2+(66-63)2+2×(61-63)2+(64-63)2]=3.
=×[(63-63)2×3+(65-63)2+(60-63)2+(64-63)2]=.
∵>,∴乙种小麦的长势整齐.
[变式1] A
[典例2] 解:(1)D组学生有20×25%=5(名);
C组学生有20-(2+4+5+3)=6(名).
补充完整频数分布直方图如图所示:
估算参加测试的学生的平均成绩为
=76.5(分).
(2)甲班的数学素养总体水平好.理由如下:
∵样本平均成绩=76,=76,样本方差为=80,=275.4,
∴=,<,∴甲班的成绩稳定,
∴甲班的数学素养总体水平好.
[变式2] C
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