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第二十三章
旋转
→23.1图形的旋转
第1课时
旋转的概念和性质
6.(陇南)如图，点E是正方形ABCD的边DC
知识要点全练
夯
上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到
知识点1旋转的概念
△ABF的位置，若四边形AECF的面积为
1.下列物体的运动不是旋转的是
25,DE=2,则AE的长为
A.坐在摩天轮里的小朋友
A.5
B.√23
C.7
D.√29
B.正在走动的时针
C.骑自行车的人
D.转动的风车叶片
2.如图，△ABC是等边三角形，点P是△ABC
内一点，△APC沿顺时针方向旋转后与
(第6题图)
(第7题图)
△AP'B重合，则旋转中心是点
,最小旋
7.如图，在正方形ABCD中，AB=3,点M在CD
转角等于
,点B与点
对应
边上，且DM=1,△AEM和△ADM关于AM
所在的直线对称，将△ADM绕点A按顺时针
方向旋转90°，得到△ABF,连接EF,则线段
EF的长为
)
A.3
B.25C.√13
D.√/15
P
(第2题图)
(第3题图)
8.(海南)如图，在Rt△ABC中，
知识点2旋转的性质
∠C=90°，∠ABC=30°，AC=
3.(湘潭)如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°
1cm,将Rt△ABC绕点A逆时
到△OCD的位置，若∠AOB=40°，则∠AOD
针旋转得到Rt△ABC',使点
的度数等于
()
C落在AB边上，连接BB,则：
A.45°B.40°
C.35
D.30°
BB'的长度是cm.
4.如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC绕
9.如图，在△ABC中，AB=BC,点O是△ABC
点A旋转到△AB'C'的位置，使CC∥AB,则
内一点，将△ABO旋转后能与△BCD重合.
旋转角的度数为
()
(1)旋转中心是点
A.35°
B.40°
C.50°
D.659
(2)若∠ACB=70°，则旋转角为
(3)若∠ACB=60°，请判断△BOD的形状并
说明理由.
(第4题图)
(第5题图)】
5.(天津)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得
到△DEC,使点A的对应点D恰好落在边AB
上，点B的对应点为E,连接BE,下列结论一
定正确的是
()
A.AC=AD
B.AB⊥EB
C.BC=DE
D.∠A=∠EBC
053
第二十三章旋转
规律方法全练
捉升能力
10.如图，在等边△ABC中，D是AC上一点，连
接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得
到△BAE,连接DE,若BC=5,BD=4,则下
列结论错误的是
()
A.AE∥BC
B.∠ADE=∠BDC
C.△BDE是等边三角形
探究创新全练
挑战白我
D.△ADE的周长为9
15.在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩
形，点O(0,0),点A(5,0),点B(0,3),以点A
为中心，顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形
ADEF,点O,B,C的对应点分别为D,E,F.
(1)如图①，当点D落在BC边上时，求D点
(第10題图)
(第11题图)
的坐标：
11.(2020苏州)如图，在△ABC中，∠BAC=
(2)如图②@，当点D落在线段BE边上时，AD
108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得
与BC交于点H.
到△AB'C'.若点B恰好落在BC边上，且
①求证：△ADB≌△AOB:
AB=CB',则∠C的度数为
()
②求点H的坐标，
A.18°B.20°
C.24°D.28
(3)记K为矩形AOBC的对角线的交点，S
12.(江西)如图，在矩形ABCD中，AD=3,将矩
为△KDE的面积，求S的取值范围（直接
形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形
写出结果即可).
AEFG,点B的对应点E落在CD边上，且
I.
DE=EF,则AB的长为
①
②
1
(第12题图)
(第13题图)
13.(2020眉山)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=
90°，AB=2.将△ABC绕点A按顺时针方向
旋转至△AB,C,的位置，点B,恰好落在边
BC的中点处，则CC的长为
14.(苏州)如图，在△ABC中，点E在BC边上，
AE=AB,将线段AC绕A点旋转到AF的
位置，使得∠CAF=∠BAE,连接EF,EF与
AC交于点G.
(1)求证：EF=BC:
(2)若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC
的度数
数学·九年级·上册·RJ054参考答案
第二十一章一元二次方程
8.C9.(1)解：x1=
2,=-4。(2)解：西=之，=
21.1一元二次方程
-2.
10.C11.A12.B13.-114.士115.1或-3
1.D2.C3.-34.A5.06.(1)解：一般形式：2x2
16.117.三18.(1)解：x=8,x=-14.(2)解：1=x=
3x十5=0，其中二次项系数为2，一次项系数为一3，常数项
为5.(2)解：一般形式：3x2一6x=0,其中二次项系数为3，
√3.(3)解：0=0,2=1.(4)解：01=1十√3，=1一√3.
一次项系数为一6，常数项为0.(3)解：一般形式：x2一2
19.解：x2-8x+17=(x2-8.x+16)-16+17=(x-4)2+
0,其中二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为一2.
1.(x-4)2≥0，.(x-4)2+1≥1，即x2-8x+17的值大
于0.当x一4=0，即x=4时，这个代数式的值最小，最小值
7.A8.D9.-110.111.B12.C13.2x(x-1)=
为1.20.解：(1)：a2+b十2-6a-86-10c+50=0,
.(a-3)2十(b-4)2十(c-5)2=0,.a=3,b=4,c=5.
3614.C15.A16.B17.D18.B19.m≠320.
1
(2)直角三角形.
21.-222.解：(1)当k2-1=0且k+1≠0，即k=1时，此
21.2.2公式法
方程为一元一次方程，此时方程为2x一2=0，解得x=1,
1.D2.A3.A4.45.k<16.m5且m≠4
(2)当2一1≠0，即≠士1时，此方程为一元二次方程.此
7.解：：关于x的方程x2一2x十2m一1=0有实数根，6
时二次项系数为2一1，一次项系数为十1，常数项为一2.
一4ac=4-4(2m-1)≥0，解得m≤1.m为正整数，.m=
23.解：化简，原式=42-1-(m2-2m十1)十8m÷(-8m)=
1,.x2-2x+1=0.则(x-1)2=0,解得x1=x=1.8.C
4-1-m+2m-1-m2=2m2+2m-2=2(m2+m）-2.
,m是方程x2十x一2=0的根，∴.m2十m=2..原式=2×
9.C10.1)解：=1，=分.(2)解：=二1区
6
2一2=2.24，解：都不正确，均考虑不全面.正确的解法如
下：要使x2+一3.x-十1=0是关于x的一元二次方程，则
=-1+13
6
(3)解：=一号=是.4)解
(2a士6,2或{2a+b2或{2ab2或{2a+bl或
a-b=2
1a-b=1
a-b=0
1a-b=2
-3+/29
2
=二3-2
2
.11.D12.A13.A14.B
a=4
2
12a十b=0,解得
3
=
3
15.B16.四17.(1)解：x1=-1十√2，x=-1-√2.
a-b=2,
6=-2或{80或
1b=
(2)解：1=，x=2.18.解：(1)根据题意，得4=(-3)
3
2
8
3
4≥0，解得≤4.(2)由(1)，得k的最大整数为2，方程
6=
x2一3x+k=0变形为x2一3x+2=0,解得x1=1,x2=2.
:一元二次方程(m-1)x2+x十m-3=0与方程x一3x十
21.2解一元二次方程
k=0有一个相同的根，.当x=1时，m一1十1十m一3=0，
3
21.2.1配方法
解得m=
；当x=2时，4(m-1)十2十m-3=0,解得m
第1课时用直接开平方法解一元二次方程
1.C2.B3.B4.x1=2.x2=-√25.士3
1,而m-1≠0，m的值为子.19.1)证明：4=[-(
8
.(1)解：1=5，=-5。(2)解：=，x2=-令.
+2)]2一4×2k=k一4+4=(k一2)2，无论k为何实数，（及
一2)2≥0，即△≥0，.无论取任何实数值，方程总有实数
(3)解：原一元二次方程无实数根.(4)解：x=2√3，x:=
根.
(2)解：由(1)知，x=+2±，k-2,1=,=2.
2
-25.7.D8.A9.D10.211.(1)解：1=7,2
,△ABC是等腰三角形，①当k=1时，三边长为1,1,2，不
.(2)解：方程无实数根.12.D13.C14.D
3
能构成三角形：②当k=2时，三边长为2,2,1，周长为5.综上所
述，△ABC的周长为5.
15.±216.417.1318.1)解：x=2+5.
21.2.3因式分解法
1.C2.A3.D4.x=05.26.(1)解：y=0,2=2.
(2)解：x1=3十5，x:=3一√5，(3)解：x1=一7，x2=一1
(2)解：x1=x2=1.(3)解：x1=8,x2=2.解：x1=一1，
19.解：方程(x一1》2=2十2的一个根是x=3,.(3一1)2
x=2.7.D8.B9.(1)直接开平方(2)配方(3)因
1
k2十2，解得k=士√2.∴原方程为(x一1)2=4，解得=3，
式分解10.(1)解：直接开平方法.西=2x=一2·
5
x2=一1.方程的另一个根是x=一1.20.解：(x一3)2=
1,根据平方根的意义，得x一3=士1，即x1=4,x=2.因为
(2)解：公式法.1=3+5.
2
.(3)解：配方法.
一元二次方程(x一3)2=1的两个解恰好分别是等腰△ABC
的底边长和腰长，所以①当底边长和腰长分别是4和2时，
西=3+√4，x2=3-√4.(4)解：因式分解法.x1=2
4=2十2.此时不能构成三角形；②当底边长和腰长分别是
2和4时，△ABC的周长为2+4+4=10.21.解：设点D
x2=2.11.C12.B13.A14.B15.116.4
出发xs后△DBE的面积为50cm.根据题意，得2(12-
17.(1)解：1=一3+厘
8
x=二3-4T
8
(2)解：x1=
2.x)2=50,解得x1=1,x2=11.经检验xg=11不符合题
2,x2=一4.(3)解：x1=0,x2=4,18.解：把x=3代人方
意，舍去.答：点D出发1s后，△DBE的面积为50cm.
程中，得9一3(m十1)十2m=0,∴.m=6,于是原方程为x2
第2课时用配方法解一元二次方程
7x十12=0，，，(x一3)(x一4)=0.，，x1=3,x:=4.①当
1.D2.c3.33(2(g)广令
△ABC的腰长为3，底边长为4时，△ABC的周长为3+3十
4.D5.D
4=10.②当△ABC的腰长为4，底边长为3时，△ABC的
6,(1)解：x2+2x=99,配方，得x2十2x十1=99十1，即(x十
周长为4十4十3=11.综上所述，△ABC的周长为10或11.
1)2=100,x+1=士10.x1=9,x2=-11.(2)解：x2+
19.(1)24(2)①解：(x-4)(x十1)=0，.x1=4,x2=-1.
10x=一9，配方，得x2+10x十25=一9十25，即(x十5)2=
②A(3)①0，±6，±15②7
16,∴.x十5=士4.x1=一1，x2=一9.(3)解：x2一x
专题训练（一）一元二次方程的解法
子配方得x-x+()广=子+（）广，即(-合)
7
1.D2.(1)解：x+1=士3，即x十1=3，或x+1=-3.
∴x1=2,x=一4.(2)解：x一2=士(2.x十3)，即x-2=
=士E.=+E=合-E..C
2,.x-2
2x十3，或x一2=-2x一3.x1=一5，x2=
1
3
3.(1)解：(x一3)(x一3十2x)=0,x一3=0，或3x一3=0.
·139·
