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本章重难点突破
一、本章高频考点集训
考点1一元二次方程的有关概念
考点3一元二次方程根的判别式
1.(安徽月考)下列关于x的方程中，一定是一元
8.(泰州)下列一元二次方程中，有两个不相等实
二次方程的为
()
数根的方程是
()
A.ax2+bx+c=0
B.x2-2=(x+3)2
A.x2-3x+1=0
B.x2+1=0
C.x2+3-5=0
C.x2-2x+1=0
D.x2+2x十3=0
D.x2-1=0
9.(2020烟台)关于x的一元二次方程(m一
2.(资阳)a是方程2x2=x十4的一个根，则代数
1)x2十2x一1=0有两个不相等的实数根，则
式4a2-2a的值是
m的取值范围是
3.(达州月考)若方程(m十1).xm-11十5x十1=0
考点4一元二次方程根与系数的关系
是关于x的一元二次方程，则m=
10.(遵义)一元二次方程x2一3x十1=0的两个根
考点2一元二次方程的解法
为x,x2,则x子十3x2十1x2一2的值是()
4.(怀化)一元二次方程x2十2x十1=0的解是
A.10B.9
C.8
D.7
()
11.(淄博)若x1十x2=3,x十x=5,则以x1,x2
A.x1=1,xg=-1B.x1=x2=1
为根的一元二次方程是
()
C.x1=x2=-1
D.x1=-1,x2=2
A.x2-3x十2=0
B.x2十3x-2=0
5.(滨州)用配方法解一元二次方程x2一4x十1=0
C.x2+3x+2=0D.x2-3x-2=0
时，下列变形正确的是
()
12.(2020南充)已知01，x2是一元二次方程x2
A.(x-2)2=1
B.(.x-2)2=5
2x十k十2=0的两个实数根.
C.(.x十2)2=3
D.(x-2)2=3
(1)求k的取值范围：
6.(哈尔滨月考)一元二次方程x2一8.x十48=0
(2)是否存在实数k,使得等式】十】=k一2
可以表示成(x一a)2=b的形式，其中a,b为整
数，则a十b=
成立？如果存在，请求出k的值：如果不
7.解方程：
存在，请说明理由
(1)x2-6.x+1=2.x-15;
(2)3x(x-1)=2-2x.
021
第二十一章一元二次方程
考点5一元二次方程的应用
15.(遵义)在水果销售旺季，某水果店购进一种
13.某公司准备在一块长为30m,
301
优质水果，进价为20元/kg,售价不低于
宽为24m的长方形花圃内
20元/kg,且不超过32元/kg,根据销售情
24m
修建四条宽度相等，且与
况，发现该水果一天的销售量y(单位：kg)与
各边垂直的小路（如图所示），四条小路围成
该天的售价x(单位：元/kg)满足如下表所示
的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小
的一次函数关系，
路宽度的4倍.若四条小路所占面积为
销售量y/kg
…34.83229.628…
80m2,则小路的宽度为
m.
售价x/(元/kg)…22.62425.226…
14.(贵港改编)为了满足师生的阅读需求，某校
(1)某天这种水果的售价为23.5元/kg,求当
图书馆的藏书从2019年底到2021年底两年
天该水果的销售量：
内由5万册增加到7.2万册.
(2)如果某天销售这种水果获利150元，那么
(1)求这两年藏书的年均增长率；
该天水果的售价为多少？
(2)经统计知：中外古典名著的册数在2019
年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两
年新增加的图书中，中外古典名著所占的
百分率恰好等于这两年藏书的年均增长
率，那么到2021年底中外古典名著的册
数占藏书总量的百分之几？
二、本章易错易混集训
易错点1对概念理解不透彻而出错
易错点2在利用根与系数的关系时，因忽略“△
1.若关于x的方程x2+2x-3=0与，2
0”而错
+3
3.(潍坊)关于x的一元二次方程x2十2mx十m2十
1
有一个解相同，则a的值是
m=0的两个实数根的平方和为12，则m的值
x-a
为
()
A.1
B.1或-3
A.-2
B.3
C.-1
D.-1或3
C.3或-2
D.-3或2
2.(丹东)已知等腰三角形的一边长是2，另两边
易错点3因没对方程分类而错
长是关于x的一元二次方程x2一6.x十k=0的
4.已知关于x的方程ax2+2x一3=0有实数根，
两个根，则k的值是
()
则a的取值范围是
A.8
B.9
C.8或9D.12
数学·九年级·上册·RJ022参考答案
第二十一章一元二次方程
8.C9.(1)解：x1=
2,=-4。(2)解：西=之，=
21.1一元二次方程
-2.
10.C11.A12.B13.-114.士115.1或-3
1.D2.C3.-34.A5.06.(1)解：一般形式：2x2
16.117.三18.(1)解：x=8,x=-14.(2)解：1=x=
3x十5=0，其中二次项系数为2，一次项系数为一3，常数项
为5.(2)解：一般形式：3x2一6x=0,其中二次项系数为3，
√3.(3)解：0=0,2=1.(4)解：01=1十√3，=1一√3.
一次项系数为一6，常数项为0.(3)解：一般形式：x2一2
19.解：x2-8x+17=(x2-8.x+16)-16+17=(x-4)2+
0,其中二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为一2.
1.(x-4)2≥0，.(x-4)2+1≥1，即x2-8x+17的值大
于0.当x一4=0，即x=4时，这个代数式的值最小，最小值
7.A8.D9.-110.111.B12.C13.2x(x-1)=
为1.20.解：(1)：a2+b十2-6a-86-10c+50=0,
.(a-3)2十(b-4)2十(c-5)2=0,.a=3,b=4,c=5.
3614.C15.A16.B17.D18.B19.m≠320.
1
(2)直角三角形.
21.-222.解：(1)当k2-1=0且k+1≠0，即k=1时，此
21.2.2公式法
方程为一元一次方程，此时方程为2x一2=0，解得x=1,
1.D2.A3.A4.45.k<16.m5且m≠4
(2)当2一1≠0，即≠士1时，此方程为一元二次方程.此
7.解：：关于x的方程x2一2x十2m一1=0有实数根，6
时二次项系数为2一1，一次项系数为十1，常数项为一2.
一4ac=4-4(2m-1)≥0，解得m≤1.m为正整数，.m=
23.解：化简，原式=42-1-(m2-2m十1)十8m÷(-8m)=
1,.x2-2x+1=0.则(x-1)2=0,解得x1=x=1.8.C
4-1-m+2m-1-m2=2m2+2m-2=2(m2+m）-2.
,m是方程x2十x一2=0的根，∴.m2十m=2..原式=2×
9.C10.1)解：=1，=分.(2)解：=二1区
6
2一2=2.24，解：都不正确，均考虑不全面.正确的解法如
下：要使x2+一3.x-十1=0是关于x的一元二次方程，则
=-1+13
6
(3)解：=一号=是.4)解
(2a士6,2或{2a+b2或{2ab2或{2a+bl或
a-b=2
1a-b=1
a-b=0
1a-b=2
-3+/29
2
=二3-2
2
.11.D12.A13.A14.B
a=4
2
12a十b=0,解得
3
=
3
15.B16.四17.(1)解：x1=-1十√2，x=-1-√2.
a-b=2,
6=-2或{80或
1b=
(2)解：1=，x=2.18.解：(1)根据题意，得4=(-3)
3
2
8
3
4≥0，解得≤4.(2)由(1)，得k的最大整数为2，方程
6=
x2一3x+k=0变形为x2一3x+2=0,解得x1=1,x2=2.
:一元二次方程(m-1)x2+x十m-3=0与方程x一3x十
21.2解一元二次方程
k=0有一个相同的根，.当x=1时，m一1十1十m一3=0，
3
21.2.1配方法
解得m=
；当x=2时，4(m-1)十2十m-3=0,解得m
第1课时用直接开平方法解一元二次方程
1.C2.B3.B4.x1=2.x2=-√25.士3
1,而m-1≠0，m的值为子.19.1)证明：4=[-(
8
.(1)解：1=5，=-5。(2)解：=，x2=-令.
+2)]2一4×2k=k一4+4=(k一2)2，无论k为何实数，（及
一2)2≥0，即△≥0，.无论取任何实数值，方程总有实数
(3)解：原一元二次方程无实数根.(4)解：x=2√3，x:=
根.
(2)解：由(1)知，x=+2±，k-2,1=,=2.
2
-25.7.D8.A9.D10.211.(1)解：1=7,2
,△ABC是等腰三角形，①当k=1时，三边长为1,1,2，不
.(2)解：方程无实数根.12.D13.C14.D
3
能构成三角形：②当k=2时，三边长为2,2,1，周长为5.综上所
述，△ABC的周长为5.
15.±216.417.1318.1)解：x=2+5.
21.2.3因式分解法
1.C2.A3.D4.x=05.26.(1)解：y=0,2=2.
(2)解：x1=3十5，x:=3一√5，(3)解：x1=一7，x2=一1
(2)解：x1=x2=1.(3)解：x1=8,x2=2.解：x1=一1，
19.解：方程(x一1》2=2十2的一个根是x=3,.(3一1)2
x=2.7.D8.B9.(1)直接开平方(2)配方(3)因
1
k2十2，解得k=士√2.∴原方程为(x一1)2=4，解得=3，
式分解10.(1)解：直接开平方法.西=2x=一2·
5
x2=一1.方程的另一个根是x=一1.20.解：(x一3)2=
1,根据平方根的意义，得x一3=士1，即x1=4,x=2.因为
(2)解：公式法.1=3+5.
2
.(3)解：配方法.
一元二次方程(x一3)2=1的两个解恰好分别是等腰△ABC
的底边长和腰长，所以①当底边长和腰长分别是4和2时，
西=3+√4，x2=3-√4.(4)解：因式分解法.x1=2
4=2十2.此时不能构成三角形；②当底边长和腰长分别是
2和4时，△ABC的周长为2+4+4=10.21.解：设点D
x2=2.11.C12.B13.A14.B15.116.4
出发xs后△DBE的面积为50cm.根据题意，得2(12-
17.(1)解：1=一3+厘
8
x=二3-4T
8
(2)解：x1=
2.x)2=50,解得x1=1,x2=11.经检验xg=11不符合题
2,x2=一4.(3)解：x1=0,x2=4,18.解：把x=3代人方
意，舍去.答：点D出发1s后，△DBE的面积为50cm.
程中，得9一3(m十1)十2m=0,∴.m=6,于是原方程为x2
第2课时用配方法解一元二次方程
7x十12=0，，，(x一3)(x一4)=0.，，x1=3,x:=4.①当
1.D2.c3.33(2(g)广令
△ABC的腰长为3，底边长为4时，△ABC的周长为3+3十
4.D5.D
4=10.②当△ABC的腰长为4，底边长为3时，△ABC的
6,(1)解：x2+2x=99,配方，得x2十2x十1=99十1，即(x十
周长为4十4十3=11.综上所述，△ABC的周长为10或11.
1)2=100,x+1=士10.x1=9,x2=-11.(2)解：x2+
19.(1)24(2)①解：(x-4)(x十1)=0，.x1=4,x2=-1.
10x=一9，配方，得x2+10x十25=一9十25，即(x十5)2=
②A(3)①0，±6，±15②7
16,∴.x十5=士4.x1=一1，x2=一9.(3)解：x2一x
专题训练（一）一元二次方程的解法
子配方得x-x+()广=子+（）广，即(-合)
7
1.D2.(1)解：x+1=士3，即x十1=3，或x+1=-3.
∴x1=2,x=一4.(2)解：x一2=士(2.x十3)，即x-2=
=士E.=+E=合-E..C
2,.x-2
2x十3，或x一2=-2x一3.x1=一5，x2=
1
3
3.(1)解：(x一3)(x一3十2x)=0,x一3=0，或3x一3=0.
·139·
