人教版数学九年级下册27.2.1 相似三角形的判定（2） 课件(共26张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版数学九年级下册27.2.1 相似三角形的判定（2） 课件(共26张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 901.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-10 12:27:47 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定（2）
主讲人：数学可以很简单
掌握利用三边来判定两个三角形相似的
方法，并能进行相关计算. (重点、难点)
2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行
相关计算. (重点、难点)
三边对应相等的两个三角形全等，这是判定三角形全等的SSS方法.
类似地，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
知识点1 三边成比例的两个三角形相似
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍. 度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论.
通过测量结果，可以发现，这两个三角形相似.我们可以用上面的定理进行证明.
如图，在△ABC和△A'B'C'中，
求证△ABC∽△A'B'C'
B
C
A
B′
C′
A
证明：在线段A'B'， （或它的延长线）上截A′D'=AB，
过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E，
根据前面的定理，可得
△ A'DE ∽△ A'B'C'.
∴
B
C
A
B′
C′
A
D
E
又 ， A'D=AB
∴ ,
∴DE=BC， A'E =AC
∴△A'DE≌△ABC
∴△ABC∽△A'B'C'
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理
△ABC∽△ A'B'C'
三边成比例的两个三角形相似.
判定定理1：
判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中，
DE > EF > FD.
∴ △ABC ∽ △DEF.
∵ ， ， ，
∴ .
解题方法总结：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
全等三角形还可以用SAS来判定，那么相似三角形呢？能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
∠A=∠A'
△ABC∽△A'B'C'
知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
证明：在A'B'上截取A'D= AB，作DE∥B'C'交A'C'于点E.
D
E
∴△A'DE∽△A'B'C'
又∵
A'D=AB
∴ A'E=AC
△ABC≌△A'DE
∴
△ABC∽△A'B'C'
∴
∠A=∠A'
△ABC∽△A'B'C'
由此我们得到另一个判定三角形相似的定理：
判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
对于△ABC和△A‘B’C‘, 如果 ，∠B=∠B'，这两个三角形一定相似吗？试着画画看？
A/A'
B
C
C'
B'
A/A'
B
C
C'
B'
如图所示，
∠B=∠B'
有两种情况，所以以上条件下，△ABC和△A'B'C'不一定相似.
根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
（1）AB=4cm, BC=6cm, AC=8cm,
A'B'=12cm, B'C'=18cm, A'C'=24cm;
解：（1）∵
∴
∴ △ABC∽△A'B'C'
（2）∵
∵
又∠A=∠A'
∴ △ABC∽△A'B'C'
（2）∠A=120°, AB=7cm, AC=14cm,
∠A'=120°, A'B'=3cm, A'C'=6cm.
练习1 根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
（1）∠A=40°, AB=8cm, AC=15cm,
∠A'=40°, A'B'=16cm, A'C'=30cm.
（2）AB=10cm, BC=8cm, AC=16cm,
A'B'=16cm, B'C'=12.8cm, A'C'=25.6cm;
相似，因为两边成比例，夹角相等.
相似，因为三边成比例.
练习1 图中的两个三角形是否相似？为什么？
相似
∠ACB =∠ECD
相似
练习3 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm.
求证：△DEF∽△ABC.
A
C
B
F
E
D
证明：
∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，
DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.
∴
练习5 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．
∴ △ABC∽△EFD.
证明：∵△ABC中，点D，E，
F分别是AB，BC，CA的中点，
∴
∴
练习6 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：
∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形，
∴ AD =AE，AB = AC，
∴
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
A
B
C
D
E
练习7 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米，DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你的理由.
A
C
B
D
28
14
21
42
31.5
解：公路 AB 与 CD 平行.
∴
∴ △ABD∽△BDC，
∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
练习8 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB=6，BC=4，AC=5，CD=7 ，求 AD 的长．
A
B
C
D
解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，
∴
又∵∠B=∠ACD，
∴ △ABC ∽ △DCA，
相似三角形的判定定理：
三边成比例的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定（2）
主讲人：数学可以很简单
掌握利用三边来判定两个三角形相似的
方法，并能进行相关计算. (重点、难点)
2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行
相关计算. (重点、难点)
三边对应相等的两个三角形全等，这是判定三角形全等的SSS方法.
类似地，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
知识点1 三边成比例的两个三角形相似
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍. 度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论.
通过测量结果，可以发现，这两个三角形相似.我们可以用上面的定理进行证明.
如图，在△ABC和△A'B'C'中，
求证△ABC∽△A'B'C'
B
C
A
B′
C′
A
证明：在线段A'B'， （或它的延长线）上截A′D'=AB，
过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E，
根据前面的定理，可得
△ A'DE ∽△ A'B'C'.
∴
B
C
A
B′
C′
A
D
E
又 ， A'D=AB
∴ ,
∴DE=BC， A'E =AC
∴△A'DE≌△ABC
∴△ABC∽△A'B'C'
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理
△ABC∽△ A'B'C'
三边成比例的两个三角形相似.
判定定理1：
判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中，
DE > EF > FD.
∴ △ABC ∽ △DEF.
∵ ， ， ，
∴ .
解题方法总结：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
全等三角形还可以用SAS来判定，那么相似三角形呢？能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
∠A=∠A'
△ABC∽△A'B'C'
知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
证明：在A'B'上截取A'D= AB，作DE∥B'C'交A'C'于点E.
D
E
∴△A'DE∽△A'B'C'
又∵
A'D=AB
∴ A'E=AC
△ABC≌△A'DE
∴
△ABC∽△A'B'C'
∴
∠A=∠A'
△ABC∽△A'B'C'
由此我们得到另一个判定三角形相似的定理：
判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
对于△ABC和△A‘B’C‘, 如果 ，∠B=∠B'，这两个三角形一定相似吗？试着画画看？
A/A'
B
C
C'
B'
A/A'
B
C
C'
B'
如图所示，
∠B=∠B'
有两种情况，所以以上条件下，△ABC和△A'B'C'不一定相似.
根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
（1）AB=4cm, BC=6cm, AC=8cm,
A'B'=12cm, B'C'=18cm, A'C'=24cm;
解：（1）∵
∴
∴ △ABC∽△A'B'C'
（2）∵
∵
又∠A=∠A'
∴ △ABC∽△A'B'C'
（2）∠A=120°, AB=7cm, AC=14cm,
∠A'=120°, A'B'=3cm, A'C'=6cm.
练习1 根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
（1）∠A=40°, AB=8cm, AC=15cm,
∠A'=40°, A'B'=16cm, A'C'=30cm.
（2）AB=10cm, BC=8cm, AC=16cm,
A'B'=16cm, B'C'=12.8cm, A'C'=25.6cm;
相似，因为两边成比例，夹角相等.
相似，因为三边成比例.
练习1 图中的两个三角形是否相似？为什么？
相似
∠ACB =∠ECD
相似
练习3 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm.
求证：△DEF∽△ABC.
A
C
B
F
E
D
证明：
∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，
DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.
∴
练习5 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．
∴ △ABC∽△EFD.
证明：∵△ABC中，点D，E，
F分别是AB，BC，CA的中点，
∴
∴
练习6 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：
∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形，
∴ AD =AE，AB = AC，
∴
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
A
B
C
D
E
练习7 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米，DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你的理由.
A
C
B
D
28
14
21
42
31.5
解：公路 AB 与 CD 平行.
∴
∴ △ABD∽△BDC，
∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
练习8 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB=6，BC=4，AC=5，CD=7 ，求 AD 的长．
A
B
C
D
解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，
∴
又∵∠B=∠ACD，
∴ △ABC ∽ △DCA，
相似三角形的判定定理：
三边成比例的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.