27.2.2 相似三角形的性质 课件(共25张PPT)
文档属性
| 名称 | 27.2.2 相似三角形的性质 课件(共25张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 794.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-12 16:26:46 | ||
图片预览
文档简介
(共25张PPT)
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
27.2.2 相似三角形的性质
主讲人：数学可以很简单
1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题. (重点、难点)
2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题. (重点)
相似三角形的判定方法有哪几种？
①定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似.
②平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似.
③三边成比例的两个三角形相似.
相似三角形的判定方法有哪几种？
④两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
⑤两角分别相等的两个三角形相似.
⑥一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似.
知识点1 相似三角形的对应线段之比
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等.如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？
根据三角形相似的定义可知：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ，
解：如图，分别作出 △ABC 和
△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∴△ABD ∽△A' B' D' .
∴
类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于k.
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
相似三角形的周长有什么关系？
如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
因此
AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
从而
解：∵ △ABC ∽△DEF，
D
E
F
H
已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC和 △DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG= 4.8 cm. 求 EH 的长.
∴ (相似三角形对应
角平分线的比等于相似比)，
∴ ，解得 EH = 3.2.
A
G
B
C
∴ 故 EH 的长为 3.2 cm.
知识点2 相似三角形面积的比
相似三角形面积的比与相似比有什么关系？
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
由此得出：
1. 把一个三角形变成和它相似的三角形，
(1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为原来的______倍；
(2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大为原来的______倍.
25
10
例1 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.
A
B
C
D
E
F
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3，
面积为
解：在 △ABC 和 △DEF 中，
∵ AB=2DE，AC=2DF，
又 ∵∠D=∠A，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2.
∴
A
B
C
D
E
F
如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100 cm2，且 ，求四边形BCDE 的面积.
B
C
A
D
E
∴ △ADE ∽△ABC.
∵ 它们的相似比为 3 : 5，
∴ 面积比为 9 : 25.
解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，
∴ △ADE 的面积为 36 cm2 .
∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm2).
B
C
A
D
E
练习1 判断题
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍.（ ）
（2）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍.（ ）
√
×
练习2 如图，△ABC与△A′B′C′相似，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，
求证:
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴ ，
∴
练习3 如图，这是圆桌正上方的灯泡 (点A) 发出的光线照 射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位小数)？
A
D
E
F
C
B
H
解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米，
桌面的直径为 1.2 米，
∴ AF = AH－FH = 2 (米)，
DF = 1.2÷2 = 0.6 (米).
∵DF∥CH，
∴△ADF ∽△ACH，
A
D
E
F
C
B
H
∴ 即
解得 CH = 0.9米.
∴ 阴影部分的面积为：
(平方米).
练习4 如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120 mm，高AD=80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QP落在BC边上，另两个顶点E，F分别在AC，AB边上，求这个正方形零件的边长.
解：设高AD与EF交于N点，正方形零件边长为x mm.
∵EF∥BC
∴△AFE∽△ABC.
∴
解得 x=48.
∴正方形零件的边长为48 mm.
相似三角形的性质：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
27.2.2 相似三角形的性质
主讲人：数学可以很简单
1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题. (重点、难点)
2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题. (重点)
相似三角形的判定方法有哪几种？
①定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似.
②平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似.
③三边成比例的两个三角形相似.
相似三角形的判定方法有哪几种？
④两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
⑤两角分别相等的两个三角形相似.
⑥一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似.
知识点1 相似三角形的对应线段之比
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等.如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？
根据三角形相似的定义可知：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ，
解：如图，分别作出 △ABC 和
△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∴△ABD ∽△A' B' D' .
∴
类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于k.
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
相似三角形的周长有什么关系？
如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
因此
AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
从而
解：∵ △ABC ∽△DEF，
D
E
F
H
已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC和 △DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG= 4.8 cm. 求 EH 的长.
∴ (相似三角形对应
角平分线的比等于相似比)，
∴ ，解得 EH = 3.2.
A
G
B
C
∴ 故 EH 的长为 3.2 cm.
知识点2 相似三角形面积的比
相似三角形面积的比与相似比有什么关系？
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
由此得出：
1. 把一个三角形变成和它相似的三角形，
(1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为原来的______倍；
(2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大为原来的______倍.
25
10
例1 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.
A
B
C
D
E
F
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3，
面积为
解：在 △ABC 和 △DEF 中，
∵ AB=2DE，AC=2DF，
又 ∵∠D=∠A，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2.
∴
A
B
C
D
E
F
如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100 cm2，且 ，求四边形BCDE 的面积.
B
C
A
D
E
∴ △ADE ∽△ABC.
∵ 它们的相似比为 3 : 5，
∴ 面积比为 9 : 25.
解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，
∴ △ADE 的面积为 36 cm2 .
∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm2).
B
C
A
D
E
练习1 判断题
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍.（ ）
（2）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍.（ ）
√
×
练习2 如图，△ABC与△A′B′C′相似，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，
求证:
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴ ，
∴
练习3 如图，这是圆桌正上方的灯泡 (点A) 发出的光线照 射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位小数)？
A
D
E
F
C
B
H
解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米，
桌面的直径为 1.2 米，
∴ AF = AH－FH = 2 (米)，
DF = 1.2÷2 = 0.6 (米).
∵DF∥CH，
∴△ADF ∽△ACH，
A
D
E
F
C
B
H
∴ 即
解得 CH = 0.9米.
∴ 阴影部分的面积为：
(平方米).
练习4 如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120 mm，高AD=80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QP落在BC边上，另两个顶点E，F分别在AC，AB边上，求这个正方形零件的边长.
解：设高AD与EF交于N点，正方形零件边长为x mm.
∵EF∥BC
∴△AFE∽△ABC.
∴
解得 x=48.
∴正方形零件的边长为48 mm.
相似三角形的性质：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方.