平面向量的数量积[下学期]

课件16张PPT。鄞州中学 孙安娜
平面向量的数量积导入新课其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量.5.6 平面向量的数量积及运算律
1、两个非零向量的夹角探究：
（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由 夹角决定 （3） a · b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算． （2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合．例1、已知△ABC中， =５， =８，
Ｃ＝６０°，求 · .例题讲解| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影．θ为锐角时，
| b | cosθ＞0θ为钝角时，
| b | cosθ＜0θ为直角时，
| b | cosθ=03、投影的概念向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积。 | b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影．4、向量的数量积的几何意义数量积的重要性质： （1）e · a=a · e=| a | cos? （2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向
时， a · b =-| a | · | b | ．
特别地（4）（5）a · b ≤| a | · | b |设 都非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则练习：判断下列命题的正误1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0．3．若a ≠0，a · b =0，则b=04．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0．5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c6．对任意向量 a 有例2、已知|a|=4,|b|=5,
(1)当a与b夹角为 时， =——
（2）当a//b时, =——(3)若 则 的夹角为多少？小结：1、两个非零向量的夹角
2、平面向量的数量积的定义
3、投影的概念
4、向量的数量积的几何意义
5、数量积的重要性质
通过本节课学习，要求大家掌握平面向量的数量积定义、几何意义、重要性质，并能运用它们解决相关问题。思考题：
已知 ，且 方向相同，求证
思考题：
已知△ABC中， =５， =８，
Ｃ＝６０°，求 · .二、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
1．交换律：a ? b = b ? a
证：设a，b夹角为?，则a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos?
∴a ? b = b ? a
2．数乘结合律：(a)?b =(a?b) = a?(b)
证：若> 0，(a)?b =|a||b|cos?， (a?b) =|a||b|cos?，a?(b) =|a||b|cos?，
若< 0，(a)?b =|a||b|cos(???) = ?|a||b|(?cos?) =|a||b|cos?，
(a?b) =|a||b|cos?，
a?(b) =|a||b|cos(???) = ?|a||b|(?cos?) =|a||b|cos?。3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c
在平面内取一点O，作= a, = b，= c，
∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，
即 |a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2
∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2
∴c?(a + b) = c?a + c?b 即：(a + b)?c = a?c + b?c
说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２再见！再见！再见！