弧度制（2课时）
上海市扬子中学 孙宇
一、教学目标
(一)知识目标：1、1弧度的角的定义；2、弧度制的定义；3、角度与弧度的换算。
4、了解角的集合与实数集合之间的一一对应关系；5、弧度制下的弧长公式与扇形面积公式的应用。
(二)能力目标：1、理解1弧度的角、弧度制的定义；2、掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算；3、熟记特殊角的弧度数。4、掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式；
(三)德育目标：使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的。进一步加强对辩证统一思想的理解。
二、教学重点
1、使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算；
2、弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。
三、教学难点
1、弧度的概念及其与角度的关系；
2、弧度制下的弧长和扇形面积的简单应用
四、教学过程
1、复习导入：在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢?
从这种角度制直接引入在数学和其他学科中常用的度量角的单位制——弧度制
图1 图2
2、讲授新课：
定义：把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。如图弧AB的长等于r,
∠AOB=1弧度。这种用“弧度”来度量角的制度称为弧度制，符号是rad，读作弧度
（请同学们考虑一下，周角的弧度数是多少?平角呢?直角呢?）
师生同时完成：因为周角所对的弧长l＝2πr，所以周角的弧度数是＝2π.同理平角的弧度数是＝π，直角的弧度是。
由此可知，任一0°到360°的角的弧度数必然适合不等式0≤x＜
2π。角的概念推广后，弧度的概念也随之推广.如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧长l＝4πr时，这个圆心角的弧度数是多少呢？此时，我们应该先求出这个角的绝对值，然后在其前面放上“－”号，即所求圆心角的弧度数是-－＝－4π
结论：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零。任一角α的弧度数的绝对值｜α｜＝，其中l是以角α为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径。
弧度制实质上是用弧长与其半径的比值来反映弧所对圆心角的大小，这个比值与半径的大小没有关系（图2解释）。
用角度制和弧度制度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)，用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同.下面我们来讨论角度与弧度的换算。
360°＝2π rad 180°＝π rad
1°＝rad 1 rad＝（）°
熟记一些特殊角的弧度制与角度制之间的关系：
3、例题分析：
［例1］按下列要求转换下列各角。
（1）100°换算成弧度的精确值和近似值（精确到0.001）
（2）2.3弧度换算成角度（用度表示，保留两位小数）
（3）转换下列各角度：225°=_______弧度,72°=_______弧度,-67.5°=________弧度
°. 3=_________° °
注意事项：
(1)今后用弧度制表示角时，或者说“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或符号“rad”可以省略不写，而只写这个角的弧度数。如α＝2，即α是2 rad的角，sin3表示3 rad角的正弦，π＝180°即π rad＝180°)。但用角度制表示角时，或者用“度”为单位度量角时，“度”即“°”不能省去。
(2)用弧度制表示角时，或者说用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数。
(3)今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现k·360°＋或者2kπ－60°一类的角度与弧度混合的写法。
例2:写出终边在y轴上的角的集合(用弧度制表示)
变式练习(1)写出终边在x轴上的角的集合;(2)写出终边落在直线y=x上的角的集合.
（3）第二象限角的集合。
例3:设α是第三象限的角,试讨论与分别是哪个象限的角.
例4:设扇形的圆心角为,半径为r,弧长为L,面积为S.求证：
（1）（2）（3）
练习：
5弧度是第________________象限角。
三角形ABC三内角之比为1:3:5,则其三个内角分别是_________________(弧度制)。
已知圆上A,B,C,D,E 5个点,将圆分成长度比为1:3:3:5:6的五段弧,则五边形ABCDE的内角的弧度数分别为______________.
时针从6:50到10:40这段时间,时针和分针各旋转了多少度?
集合, 求
若角与关于y轴对称，则与的关系是什么？
1．把下列各角化成2k(+( (0((<2( k(Z)的形式：
(1) (2)-315° (3)-
已知一个扇形的圆心角为，半径为4厘米，则扇形的面积和弧长分别为多少？
已知一个扇形AOB的面积是1,它的周长为4cm,求它的中心角和弦长AB分别是多少？
在圆中1弧度的圆心角所对的弦长是2，则这个圆心角所对的弧长时多少？
在扇形AOB中，，弧AB长为L,求此扇形内切圆的面积。
已知扇形的周长为20cm,当扇形的中心角为多少时？它的面积最大？
五、课堂小结：
本节课我们学习了弧度制的定义，角度与弧度的换算公式与方法。应该注意：角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；三个注意的问题，同学们要切记；特殊角的弧度数，同学们要熟记。另外要熟练弧长公式和扇形面积公式的灵活应用。
课件15张PPT。弧度制（一）一、知识回顾1、角度制的定义
规定周角的1/360为1度的角这种用度做单位来度量角的制度叫角度制。2、弧长公式3、扇形的面积公式：二、弧度制 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。“弧度”常用“rad”表示。1弧度设弧AB的长为l，若l=r，
则∠AOB=1 弧度2弧度r 若圆心角∠AOB表示一个负角，且
它所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度
数的绝对值是-3弧度一般地，我们规定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝对值：
定义：其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径。这种用“弧度” 做单位来度量角的制度叫做弧度制。2、弧度与角度的换算A2π弧度2π弧度由180°= π 弧度 还可得180°= 1°× 180三、例题（1）、把67°30′化成弧度。解： 解： 1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。02、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式。如无特别要求，不用将π化成小数。注意：练习：教材P11练习1、2、3、4锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，
直角： {θ|θ=90°}
钝角： {θ|90°＜θ＜180°}
平角： {θ|θ=180°}
周角： {θ|θ=360°}
0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}；
小于90°角：{θ|θ＜90°}
0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°}
0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}例2：请用弧度制表示下列角度的范围。例3:用弧度制表示
（1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合（2）第Ⅱ象限角的集合四、课堂小结： 1.弧度制定义 2.角度与弧度的互化
3.特殊角的弧度数0
