2022-2023学年上海市浦东新区新场中学高三（上）期中数学试卷（含解析）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校
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姓名：
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班级：
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考号：
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2022-2023学年上海市浦东新区新场中学高三（上）期中数学试卷
一、填空题（本题共12小题，共48分）
已知全集，集合，则______．
若，则______．
若方程的两个根为、，则的值为______．
已知，，化简：______．
在等差数列中，已知公差，且，则______．
已知函数的图像恒过定点，则点坐标是______．
设的最小值是______ ．
求曲线在点处的切线方程．
将一枚质地均匀的硬币连抛三次，则“至少出现一次正面向上”的概率是______ ．
如图是一个棱长为的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是______．
直线与直线垂直；
直线与直线相交；
直线与直线平行；
直线与直线异面．
若，则______
某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论：
在时恒成立；
函数的值域为；
若，则一定有；
函数在上有三个零点．
其中正确结论的序号有______．
二、选择题（本题共4小题，共20分）
已知，，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
在下列函数中既是偶函数，又在区间内是减函数的是( )
A. B. C. D.
如图，函数的图象在点处的切线是，则( )
A. B. C. D.
在整数集中，把被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中以下判断不正确的是( )
A.
B.
C.
D. 若，则整数、属于同一“类”
三、解答题（本题共5小题，共82分）
已知全集，集合，，，求，．
如图，底面是矩形的直棱柱中，，．
求证：；
求直线与平面所成角的大小．
据预测，某旅游景区游客人数在至人之间，游客人数人与游客的消费总额元之间近似地满足关系式：．
若该景区游客消费总额不低于元时，求该景区游客人数的范围；
当景区游客的人数为多少人时，游客的人均消费最高？并求游客的人均最高消费额．
已知双曲线：，满足离心率为，且过点．
求双曲线的标准方程；
在的条件下，若直线过点，且与双曲线右支交于，两点，求直线的斜率的取值范围；
在的条件下，是否存在以为直径的圆经过坐标原点？若存在，请求出此时的直线；若不存在，请说明理由．
已知函数在处取得极值，其中，，为常数．
试确定，的值；
讨论函数的单调区间；
若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，又全集
．
故答案为：．
先化简，再运算即可求解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
2.【答案】
【解析】解：若，
则．
故答案为：．
结合指数与对数的相互转化即可求解．
本题主要考查了指数与对数的相互转化，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：方程的两个根为、，
，，
，
故答案为：．
由题意，利用韦达定理，求得的值．
本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，
．
故答案为：．
由指数的运算性质，化简可得所求结论．
本题考查指数的运算性质，考查运算能力，属于基础题
5.【答案】
【解析】解：是以为公差的等差数列，且，
，
．
故答案为：．
根据题意可知，从而利用进行求解即可．
本题考查等差数列的通项公式与前项和公式，考查学生逻辑推理与运算求解的能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：对于函数，令，求得，，
可得它的图像恒过定点，
故答案为：．
令幂指数等于零，求得、的值，可得函数的图像恒过定点的坐标．
本题主要考查函数的图象经过定点问题，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，
当且仅当即时取等号
的最小值为
故答案为：
因为，则，利用均值不等式求解．
本题考查了利用均值不等式求最值，灵活运用了“”的代换，是高考考查的重点内容．
8.【答案】解：的导数为，
即有在点处的切线斜率为，
则在点处的切线方程为，
即为．
【解析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线方程．
本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有种结果，
满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是正面，有种结果，
至少一次正面向上的概率是，
故答案为：．
本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是正面，有种结果，根据对立事件的概率公式得到结果．
本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是对于比较复杂的事件求概率时，可以先求对立事件的概率．
10.【答案】
【解析】
【分析】
将正方体的展开图还原为正方体后，即可得到所求正确结论．
本题考查了空间线面位置关系的判断，属于基础题．
【解答】
解：作出正方体得到直观图如图所示：
由直观图可知与为相互垂直的异面直线，故正确；
与为异面直线，故错误；
与为异面直线，故错误；
直线与直线异面，故正确．
故答案为：．
11.【答案】
【解析】解：令，可得；
令，可得，
即 ；
令，可得，
即 ，
将和相加可得，，
所以，
所以．
故答案为：．
利用特殊值法，令，，，将所得结果进行运算可得解．
本题考查二项式定理系数的关系，属于一般基础题．
12.【答案】
【解析】解：正确
当时，
由知当时，
时，
正确；
则当时，反比例函数的单调性可知，在上是增函数
再由知在上也是增函数，正确
由知的图象与只有这一个交点．不正确．
故答案为：
由奇偶性的定义来判断，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解；由结合对称区间上的单调性相同说明正确；由数形结合来说明不正确．
本题考查函数的定义域，单调性，奇偶性，值域，考查全面，方法灵活，这四个问题在研究时往往是同时考虑的．
13.【答案】
【解析】解：若“”，则，同号，则“”成立，
即“”是“”的必要条件；
但“”成立时，，不异号，“”，“”不一定成立，
即“”不是“”成立的充分条件；
即“”是“”的必要不充分条件；
故选：．
由已知中，，根据绝对值的性质，分别讨论“”“”，与“”“”，的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到答案．
本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的性质，判断“”“”，与“”“”的真假，是解答本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：根据幂函数的性质可知，为奇函数，不符合题意；
为偶函数，当时，单调递减，符合题意；
在上单调递增，不符合题意；
为偶函数，当时，单调递增，不符合题意．
故选：．
由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数性质的基本应用，结合图形的基本性质即可求得答案．
结合函数图象可得到直线的方程，进而根据切线的斜率为曲线在切点处的导数值得到，根据切点在切线上得到，即可求得结果．
【解答】
解：由图象可得：函数的图象在点处的切线是，与轴交于，与轴交于，
则可知：，，，
，
故选：．

16.【答案】
【解析】解：选项，，所以，选项正确；
选项，，选项错误；
选项，根据“类”的定义可知表示被除所得余数为，，，，的数的总体，也即，选项正确；
选项，，则，除以余数相同，即整数，属于同一“类”，选项正确，
故选：．
根据“类”的定义对选项进行分析，从而确定正确选项．
本题考查元素与集合的关系，属于基础题．
17.【答案】解：由，得，
由，得，
由，得，
所以，．
【解析】由，得，由，得，由，得，由此能求出，．
本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
18.【答案】解：证明：因为，，，所以平面．
因为，，，所以平面，
所以为在平面内投影，所以直线与平面所成角为，
，，
所以直线与平面所成角的大小为．
【解析】只要证明垂直于平面内两相交直线即可；
转化为解直角三角形问题．
本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．
19.【答案】解：由题意，，
即，
解得，
又，所以景区游客人数的范围是至人．
设游客的人均消费额为，
则 ，
当且仅当时等号成立．
所以当景区游客的人数为时，游客的人均消费最高，最高消费额为元．
【解析】根据游客人数人与游客的消费总额元之间近似地满足的关系及该景区游客消费总额不低于元，建立不等式，由此可确定景区游客人数的范围．
求出游客的人均消费额，再利用基本不等式即可求出最高消费额．
本题以二次函数为载体，考查解不等式，考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，只要认真审题，解答并不难．
20.【答案】解：由已知双曲线离心率为，则，得，所以双曲线方程为，
又双曲线过点，
则，解得，
所以双曲线方程为；
设直线的方程为，
联立直线与双曲线，得，
则，解得：，
又双曲线的渐近线方程为，即渐近线斜率为，
所以当时，直线与双曲线只有一个交点，不成立；
当时，直线与双曲线左支有两个交点，不成立；
当时，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，不成立，
当时，直线与双曲线右支有两个公共点，成立；
综上所述，；
不存在，理由如下，
由得，且直线与双曲线方程联立得，
设直线与双曲线的两个交点，，
则，
且，
，
所以与不垂直，
所以不存在以为直径的圆经过坐标原点．
【解析】根据离心率可得与的关系，结合双曲线过点，代入可得双曲线方程；
根据双曲线确定渐近线方程，进而确定与右支交于两点时的斜率范围；
若以为直径的圆经过坐标原点，则需满足，联立直线与双曲线方程，结合根与系数关系可判断．
本题考查了直线与双曲线的综合运用，属于中档题．
21.【答案】解：由题意知，因此，从而
又对求导得
由题意，因此，解得
由知，令，解得
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为
由知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，
要使恒成立，只需
即，从而，解得或
所以的取值范围为
【解析】考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，函数恒成立时条件的应用能力．
因为时函数取得极值得求出，然后令导函数求出即可；
解出导函数为时的值讨论的取值范围时导函数的正负决定的单调区间；
不等式恒成立即的极小值，求出的解集即可．
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