平面向量的坐标运算[下学期]

《平面向量的坐标运算》说课稿
单位：内蒙古包头市蒙古族中学
姓名：鞠凤丽
二零零六年十一月
平面向量的坐标运算
内蒙古自治区包头市蒙古族中学 鞠凤丽
今天，我说课的内容是：人教版全日制普通高级中学教科书第一册（下）、第五章第四节《平面向量的坐标运算》第一课时，我将从教材分析、学生分析、教学方法和手段、教学过程以及板书设计五个方面进行说课。
首先进行教材分析：
1、教材的地位和作用：
向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它是沟通代数、几何、三角的一种工具，具有丰富的实际背景。利用向量便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题，而平面向量的坐标运算则为用“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，同时也为进一步研究线段的定比分点坐标公式、平面向量的数量积以及解析几何、立体几何的相关问题奠定了基础。
2、教学目标：根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下三个方面来确定本节课的教学目标。
知识目标：理解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算。
能力目标：⑴通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；⑵通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；⑶借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力。
情感目标：设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点。
3、教学重点和难点：根据教材特点及教学目标的要求，我将教学重点确定为———平面向量的坐标运算。掌握了平面向量的坐标运算，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一，所以平面向量的坐标运算是本节课的重点。
教学难点：平面向量坐标的意义。向量与其坐标之间是一一对应关系，即向量的坐标与表示它的有向线段的始点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关，这一点对初学者来说有一定难度，所以确定为难点。
第二，谈一谈学生情况：
首先，学生已经掌握了平面几何的基本知识，而且刚刚学习了向量的概念和简单运算，这为本节课的学习奠定了必要的知识基础；
另外,学生对向量的物理背景有初步的了解，如力的合成；同时学生已具备一定的数学建模能力，能从物理背景或生活背景中抽象出数学模型，并能进一步猜想、探讨和证明，为新课的教学提供了良好的思想基础和能力基础。
第三，教学方法和手段：
针对本节课的教学目标和学生的实际情况，在教学中采用“引导发现，合作探究”的教学方法。
教学手段：应用多媒体课件、实物投影仪。
第四，重点说明本节课的教学过程：本节课共设计了五个环节：1、复习回顾；2、创设情境；3、合作探究与指导应用；4、归纳小结；5、布置作业。
1、在复习回顾这一环节中设置了三道判断题，教学过程中，以提问的方式完成对旧知识的复习巩固，其中前两个命题是复习向量概念的，向量是既有大小又有方向的量，两个要素缺一不可，而在命题1中，只有大小，命题2中只有方向，所以这两个命题都为假命题。这对于学生来说比较简单，我的设计意图是通过取命题1 的单位长度和命题2 的方向，引出x轴、y轴正方向上的单位向量i和j，为下一步新课的讲解作铺垫。命题3 是平面向量基本定理的再现，这个定理是学习新课的理论基础，借助定理在生活中的应用过渡到第二个环节——创设情境：
2、通过以学生熟知的足球运动为问题情境来引入新课，可以建立数学与生活的联系，激发学生的学习兴趣，提高学习效率。足球受到的力如图所示，为研究足球的运动轨迹，物理学中常常将力按水平方向和竖直方向进行分解，也就是说，平面向量基本定理在应用时常常取互相垂直的两个向量作为基底，这就联系到刚刚引出的单位向量i和j，从而过渡到第三个环节——合作探究与指导应用：
3、这个环节共设置了两个问题、三个探究及相应的例题、练习题，通过设置问题、引导发现、合作探究、指导应用的模式，精心设计、层层铺垫，启发、调整、激励学生在教师的引导下全员参与、全程参与，经历知识的形成、发展和应用的过程，从而达到对知识的深刻理解。
问题一：平面直角坐标系内，每个点可以用一对实数来表示，向量可以吗？这个问题引导学生把向量与直角坐标平面内的点进行类比，来寻找向量与实数的联系，学生很自然的会想到刚刚复习过的平面向量基本定理，此时教师提问 ：“在平面直角坐标系内应用平面向量基本定理时，基底该如何选取呢？”学生经历了前两个环节探讨，能够提出以向量i 和 j作为基底，构造平行四边形，从而顺利地完成了基底特殊化的过程，教师继续提出问题：“向量AB与向量i有什么关系呢？”学生利用向量共线的定理作出回答：存在唯一的实数x使得向量AB等于x倍的向量i，同理向量AD等于y倍的向量j，进一步利用向量加法的平行四边形法则有向量a=AB+AD=xi+yj，于是存在数对（x,y）与向量a一一对应，因此问题一的结论是平面直角坐标系内，向量与点都可以用一对实数来表示，把这对实数（x,y）叫做向量a的直角坐标，并把这个分解形式记作a=（x,y），这就是平面向量的坐标表示。需要说明的两点是：第一，向量的坐标表示与其分解形式是等价的，可以互相转化。如果能写出向量的分解形式，那么向量的坐标也就确定了，而向量的分解需要通过构造平行四边形来完成，因此又有第二点说明：求向量坐标的关键是构造平行四边形，确定实数x、y。这两点给出了求向量坐标的思路，教师在此基础上引导学生得出特殊向量i、j及零向量的坐标，接着给出例一：要求求出图中四个向量的坐标，在教学中重点讲解向量b的坐标表示，学生提出以单位向量i和j为基底构造平行四边形，则向量b等于向量AB加上向量AD，又由图可知向量AB与AD的长度分别为2和3 ，所以学生得出向量b的坐标为（2，3），在这里，学生忽视了坐标的符号，教师在纠错的基础上强调：在求解向量的坐标时要注意观察向量的方向，由于向量AB与向量i反向，向量AD与向量j同向，所以向量b的坐标应该为（-2，3），可见——向量的坐标是有正负之分的，这也进一步体现了以向量b为例讲解本题的目的。其余三个向量的坐标表示要求学生来完成。在完成此题后引导学生继续观察向量b和向量d，发现这两个向量的坐标相同，那么这两个向量相等吗？教师利用多媒体动画演示将向量b平移以后得到了向量d，而向量平移前后大小和方向都不改变，所以向量b等于向量d，由此引出探究一：相等向量的坐标一定相等吗？为解决这个问题，教师引导学生将两个向量都进行分解,可以观察出分解后得到的两个四边形全等，所以有结论：相等向量的坐标也相等。由这个结论可知，在直角坐标平面内，向量任意平移而坐标不变，那么平移到什么位置更方便研究呢？学生运用特殊化思想提出将向量平移到始点在坐标原点的位置，此时向量的坐标又有何特点呢？引出探究二：仍然构造平行四边形，得出分解形式后发现：向量OA的坐标就是其终点A的坐标。也就是说，将表示向量的有向线段平移到始点在原点的位置后，这个向量的坐标就由其终点的位置唯一确定了。这进一步体现了向量坐标表示的唯一性。以上完成了对坐标表示的研究，接着过渡到坐标运算部分，给出问题二：
已知两个向量的坐标如何求它们和向量与差向量的坐标呢？首先引导学生根据图形得到和向量OC，并观察出其坐标为（6，4），分析这三组坐标的关系，不难发现6=1+5，4=3+1，由此猜想对任意的向量a、b，和向量的坐标可能为这两个向量相应坐标之和。这个猜想是否正确呢？引导学生进行证明：由向量的坐标表示与其分解形式的等价性，以及向量加法、乘法的运算率，可以得出和向量的坐标为（x1+x2 ，y1+y2)，使得猜想得到了证明，同理可以得出差向量的坐标，这就是平面向量的坐标运算法则，也是本节课的重点。在教学过程中通过由浅入深地设置问题，引导学生经历主动观察、大胆猜想、积极证明，顺利得出了法则，突出了重点。为了熟练应用，接着给出例2及练习1，由于题型比较简单，所以在课堂上只要求学生口答。
探究三：若已知点A、点B的坐标，如何求向量AB的坐标呢？学生提出两种解决方案，一是构造平行四边形，利用向量的坐标表示来求解，二是将向量AB平移到始点在坐标原点的位置，利用终点的坐标来求解，两种方法均可得出向量的坐标为（3，－1），观察这几组坐标间的关系，发现3=4－1，－1=2－3，引导学生进一步猜想：向量AB的坐标可能为终点B与始点A的坐标之差，接着对猜想进行推理证明，向量AB等于始点在原点的向量OB与OA的差，而这两个向量的坐标可以分别用其终点的坐标来表示，继续应用平面向量的坐标运算法则可以推证猜想正确，于是有结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。可是学生提出：向量平移前后始点、终点的坐标发生了变化，而向量本身的坐标却不变，这怎么解释呢？解决这个问题的关键是探讨始点、终点坐标的变化是否会引起向量坐标的变化，向量AB经过平移以后得到向量CD，这两个向量的坐标分别等于其相应的终点的坐标减去始点坐标，尽管对应的始点、终点坐标不同，但由坐标表示过程中构造的平行四边形全等可知，其差值是不变的，所以针对学生的疑问有如下解释：一个向量的坐标只和表示它的有向线段的始点、终点的相对位置有关，而与具体位置无关。这是本节课的难点，在教学中，通过设置探究三及师生互动教学，来提出矛盾、回顾旧知、推理证明，使学生自主探究，经历知识的升华，从而达到对难点的层层突破。在此基础上给出练习2，要求学生做在练习本上，教师通过实物投影仪进行反馈，发现问题，及时解决。然后对练习2加以引申，给出向量和相应的始点、终点三组坐标中的两组，求第三组坐标，并总结规律，以培养学生的变式思维及归纳总结的能力。
为综合应用，给出例三，要求学生多方位思考。总结学生的解题思路，基本上都是利用向量相等则坐标相等得出结论，如：向量BC等于向量AD，向量AB等于向量DC等，也有学生提出利用向量AB + BC + CD等于向量AD来求解，体会不同做法的难易差别，培养学生善于思考的习惯，并树立一题多解的意识。
4、第四个环节，归纳小结：教师引导学生思考，通过本节课的学习，你收获了什么？我们已经学习了利用图形来进行向量的运算，为什么还要引进坐标运算呢？以帮助学生认识到坐标运算中思路明确、过程简洁的优势，同时有利于提高学生对新知识的认识层面。
5、第五个环节，布置作业：为尊重学生的个体差异，满足多样化学习的需要，分两部分来布置作业，一部分是课本的习题，要求学生必做；另一部分是思考题，允许学生根据个人情况来完成。思考题一：观察例一中的向量a和c，思考相反向量的坐标关系；思考题二：对例三进行变式训练，将原题中的平行四边形ABCD的顺序去掉，思考点D可能的情况。变式以后问题的结论除了例三的情况外，还有另外两种情况。
五、我说课的最后一部分是板书设计：教学过程中应用多媒体能直观生动的反映问题情境，形象的刻画事物的变化过程，但同时也存在弊端，如教学内容相互覆盖，不易持续保留，而板书恰恰可以弥补这些不足。本节课的板书分两部分设计，一部分为重要的概念、法则，可以在学生学习的过程中随时提供信息；另一部分为例题的书写，让学生对解题步骤有明确的认识，有利于课后顺利的完成作业。
以上是我说课的全部内容，不足之处，敬请各位专家批评指正。
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内蒙古包头市蒙古族中学
5.4平面向量的坐标运算
鞠凤丽
内蒙古包头市蒙古族中学
5.4平面向量的坐标运算
鞠凤丽
说课教师：鞠凤丽
5.4平面向量的坐标运算
（第一课时）
教材：人教版普通中学教科书（必修）《数学》第一册下
内蒙古包头市蒙古族中学
一、教材分析
说 课 程 序
二、学生分析
三、教学方法和手段
四、教学过程
五、板书设计
一、教材分析
2、教学目标
1、教材的地位和作用
向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它是沟通代数、几何、三角的一种工具，具有丰富的实际背景。利用向量便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题，而平面向量的坐标运算则为用 “ 数 ” 的运算处理 “ 形 ” 的问题搭建了桥梁，同时也为进一步研究线段的定比分点坐标公式、平面向量的数量积以及解析几何、立体几何的相关问题奠定了基础。
⑴、知识目标
⑵、能力目标
⑶、情感目标
教材分析
学生分析
方法手段
教学过程
板书设计
数
形
教学目标——知识目标
教材分析
方法设计
教学过程
教学手段
教学评价
教材分析
学生分析
方法设计
教学过程
教学评价
教材分析
学生分析
方法手段
教学过程
板书设计
理解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算。
⑴通过平面向量坐标表示和坐标运算法则
的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；
⑵通过对坐标平面内点和向量的类比，培
养学生类比推理的能力；
⑶借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力。
教学目标——能力目标
教材分析
方法设计
教学过程
教学手段
教学评价
教材分析
学生分析
方法设计
教学过程
教学评价
教材分析
学生分析
方法手段
教学过程
板书设计
教学目标——情感目标
教材分析
方法设计
教学过程
教学手段
教学评价
教材分析
学生分析
方法设计
教学过程
教学评价
教材分析
学生分析
方法手段
教学过程
板书设计
设置问题情境让学生认识到课堂知
识与实际生活的联系，感受数学来源于
生活并服务于生活，体会客观世界中事
物与事物之间普遍联系的辩证唯物主义
观点。
一、教材分析
2、教学目标
1、教材的地位和作用
3、教学重点和难点
⑴、知识目标
⑵、能力目标
⑶、情感目标
重点：平面向量的坐标运算
因为掌握平面向量的坐标运算，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一，所以平面向量的坐标运算是本节课的重点。
　难点：平面向量坐标的意义
向量与其坐标之间是一一对应关系，即向量的坐标与表示它的有向线段的始点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关，这一点对初学者来说有一定难度，所以确定为难点。
教材分析
学生分析
方法手段
教学过程
板书设计
二、学生情况分析
教材分析
方法设计
教学过程
教学手段
教学评价
教材分析
学生分析
方法设计
教学过程
教学评价
首先，学生已经掌握了平面几何的基
本知识，而且刚刚学习了向量的概念和简
单运算，这为本节课的学习奠定了必要的
知识基础；
另外，学生对向量的物理背景有初步
的了解，如力的合成；同时学生已具备一
定的数学建模能力，能从物理背景或生活
背景中抽象出数学模型，并能进一步的猜
想、探讨和证明，为新课的教学提供了良
好的思想基础和能力基础。
教材分析
学生分析
方法手段
教学过程
板书设计
三、教学方法和手段
教材分析
方法设计
教学过程
教学手段
教学评价
教学方法：
针对本节课的教学目标和学生的实际
情况，在教学中采用 “引导发现、合作探
究” 的教学方法。
教学手段：
应用多媒体课件、实物投影仪。
教材分析
学生分析
方法设计
教学过程
教学评价
教材分析
学生分析
方法手段
教学过程
板书设计
四、教学过程
　
教材分析
方法设计
教学过程
教学手段
教学评价
教材分析
学生分析
方法设计
教学过程
教学评价
教材分析
学生分析
方法手段
教学过程
板书设计
复习回顾
复习回顾
创设情境
归纳小结
布置作业
合作探究与指导应用
平面向量的坐标运算
1、复习回顾
判断下列命题的真假：
⑵直角坐标平面内x轴和y轴都是向量( )
⑴单位向量都相等； ( )
⑶如果 、 是同一平面内的两个不
共线的向量，那么对于这一平面内的
任一向量 ,有且只有一对实数x、y，
使 = x + y .（ ）
e1
e2
a
a
e2
e1
假
假
单位
x轴和y轴
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
x
y
o
平面向量的坐标运算
1、复习回顾
判断下列命题的真假：
⑵直角坐标平面内x轴和y轴都是向量( )
⑴单位向量都相等； ( )
⑶如果 、 是同一平面内的两个不
共线的向量，那么对于这一平面内的
任一向量 ,有且只有一对实数x、y，
使 = x + y .（ ）
e1
e2
a
a
e2
e1
假
假
真
单位
x轴和y轴
平面向量的坐标运算
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
x
y
o
探究一
问题一
例一
练习一
例二
练习二
例三
问题二
探究二
探究三
释疑
问题一
问题二
探究一
探究二
探究三
释疑
形成
发展
应用
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
x
y
o
A
C
D
B
·
(2,1)
问题一：平面直角坐标系内，每个点可用一对实数来表示，向量可以吗？
= A B + A D
概念： 叫做向量的坐标表示。
A B =__
x
(x∈R)
A D =__
y
(y∈R)
结论：平面直角坐标系内，向量和点都
可以用一对实数来表示。
=x +y
（x,y)
=
实数
直角坐标
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
x
y
o
= A B + A D
概念： 叫做向量的坐标表示。
(1,0)
(0, 1)
(0, 0)
=x +y
（x,y)
=
说明：
1、向量的坐标表示与其分解形式是等价的。
2、求向量坐标的关键是构造平行四边形确定实数x、y。
－5
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
－1
－1
－2
－2
－3
－4
－3
a
b
c
d
o
= A B + A D
= ( 2 , 3 )
x
a
b
c
d
例1、如图，用基底 、 分别表示向量
、 、 、 ，并求出它们的坐标。
y
－4
B
A
D
= ( －2 , 3 )
－5
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
－1
－1
－2
－2
－3
－4
－3
a
b
c
d
o
x
a
b
c
d
例1、如图，用基底 、 分别表示向量
、 、 、 ，并求出它们的坐标。
y
－4
(2,3)
(－2,－3)
(－2,3)
(－2,3)
结论：相等向量的坐标也相等。
探究一：相等向量的坐标一定相等吗？
C
A
B
C1
A1
B1
(－2,3)
(－2,3)
b
=
d
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
x
y
A
C
B
o
探究二 ：将表示向量的有向线段平移到始点在原点后,其坐标有何特点呢？
结论：向量OA的坐标就是终点A的坐标。
= O B + OC
OA
= x +y
1
2
3
4
－1
－5
－2
－3
－4
x
y
5
0
1
2
3
4
－1
－2
－3
－4
o
问题二：
若已知 =（1 ，3） ， =（5 ，1），
a
b
如何求 + ， － 的坐标呢？
a
b
a
b
a
b
C
（6，4）
结论四、平面向量的坐标运算法则
－ =（x1－x2 ，y1－y2）
b
a
（x1，y1）
（x2，y2）
＋
b
a
=（x1 +y1 ）
+（x2 +y2 ）
=（x1 + x2 ） + ( y1+ y2 )
平面向量的坐标运算
猜想：
＋ =（x1＋x2 ，y1＋y2）
b
a
证明：
=（x1 , x2 ） + ( y1 , y2 )
=（x1 +y1 ）
+（x2 +y2 ）
重点
平面向量的坐标运算
例2：已知 =（2，1）， =（－3，4）
b
求 + ， － 的坐标。
a
a
a
b
b
　⑴ =（－2,４）, 　=（5 , 2）
　⑵ =（4 , 3） , =（－3，8）
　⑶ =（2 ，3） , 　=（－2，－3）
⑷ =（3 , 0） , =（0 ，4）
b
b
b
b
　
a
a
a
a
(课本第114页)练习1：
已知 、 的坐标，求 + 、－ 的坐标。
a
b
a
b
a
b
向量坐标运算法则的应用
探究三： 若已知 点A、B的坐标分别为 （1，3）， （4，2），如何求 的坐标呢？
AB
1
2
3
4
－1
返回
－5
－2
－3
－4
x
y
5
0
1
2
3
4
－1
－2
－3
－4
o
平面向量的坐标运算
(3,－1）
的坐标可能为
（x2－x1 , y2－y1)
AB
B（4，2）
A（1，3）
·
·
（x1，y1）
（x2，y2）
（x1，y1）
（x2，y2）
AB
OA
OB
(x2 x1 ,y2 y1)
(x2 ,y2)
(x1,y1)
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标 。
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
x
y
o
A(x1,y1)
B(x2 ,y2)
C(x3 ,y3)
D(x4 ,y4)
AB
(x2 x1 ,y2 y1)
疑问：向量平移前后始点、终点坐标发生了变化，而向量本身坐标不变，这怎么解释呢？
CD
(x4 x3 ,y4 y3)
释疑：一个向量的坐标只和表示它的有向线段的始点、终点的相对位置有关。
难点
平面向量的坐标运算
　
练习2:(课本第114页练习3)
已知A、B两点的坐标，求 ,
的坐标。
⑴ A (3,5) , B (6,9) ; ⑵ A(－3,4) , B(6,3)
⑶ A (0,3) , B (0,5) ; ⑷ A (3,0), B(8,0)
AB
BA
平面向量的坐标运算
AB
终点B
始点A
终点坐标减去始点坐标
( －2 , 7 )
终点坐标减去向量坐标
始点坐标加上向量坐标
( 3 , －4 )
（ 1，3 ）
（ 1，2 ）
（ 2，3 ）
（ 1，1 ）
平面向量的坐标运算
例3 :已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
平面向量的坐标运算
1
2
3
4
5
x
y
5
0
1
2
3
4
－1
－1
－2
－2
－3
－4
－5
C
A
B
D
－6
6
D
平面向量的坐标运算
⑴通过本节课的学习，你收获了什么？
⑵我们已经学习了利用图形来进行向量的运算，为什么还要引进坐标运算呢？
4、归纳小结
平面向量的坐标运算
⑴、课本114第1、2、3题。（必做）
⑵、思考题（选做） ：
A：例一的引申；
B: 例三的变式。
5、布置作业
－5
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
－1
－1
－2
－2
－3
－4
－3
a
b
c
d
o
x
a
b
c
d
例1、如图，用基底 、 分别表示向量
、 、 、 ，并求出它们的坐标。
y
－4
B
A
D
平面向量的坐标运算
例3 :已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
思考：若已知平面上三个点A、B、C 的坐标分别为(－2，1）,（－1，3）,（3，4）,求第四个点的坐标,使这四个点构成一个平行四边形的四个顶点.
ABCD
平面向量的坐标运算
1
2
3
4
5
x
y
5
0
1
2
3
4
－1
－1
－2
－2
－3
－4
－5
C
A
B
D
－6
6
D1
D2
D
五、板书设计
教材分析
方法设计
教学过程
教学手段
教学评价
教材分析
学生分析
方法设计
教学过程
设计说明
教材分析
学生分析
方法手段
教学过程
板书设计
§5.4平面向量的坐标运算（一）
一、平面向量的坐标表示：
1、定义；
2、特殊向量的坐标表示；
3、相等向量的坐标也相等；
4、向量OA的坐标表示。
二、平面向量的坐标运算：
1、坐标运算法则：
2、向量AB的坐标与A、B的 坐标的关系。
三、例题：
例1：
例2：
例3：