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用配方法求解一元二次方程
第1课时
用配方法解较简单的一元二次方程
8.用直接开平方法解方程：
知识要点全练
夯实础
(1)(2x+1)2-6=0;
77,
知识点1用直接开平方法解能化成x2=p(p≥
0)形式的一元二次方程
1.一元二次方程x2一4=0的解是
A.x1=2,x2=-2
B.x=-2
C.x=2
D.x1=2,x2=0
(2)(2x+1)2=(x-1)2.
2.(2020岳阳期末)一元二次方程25x2-9=0的
解是
3.(金华)自由下落物体的高度h(m)与下落时
间t(s)的关系为h=4.9t.现有一铁球从离
知识点3用配方法解二次项系数为“1”的一元
地面19.6m高的建筑物的顶部作自由下落，
二次方程
到达地面需要的时间是多少秒？
9.若方程x2+kx十64=0的左边是完全平方式，
则k的值是
()
A.±8B.16
C.-16D.±16
10.(滨州)用配方法解一元二次方程x2一4x十
1=0时，下列变形正确的是
()
A,(x-2)2=1
B.(x-2)2=5
C.(x十2)2=3
D.(x-2)8=3
11.(2020唐山期末)把一元二次方程x2+6x+
4=0化成(.x十m)2=n的形式，则m十n的值
知识点2用直接开平方法解能化成(mx十n)2=
为
()
p(p≥0)形式的一元二次方程
A.3
B.5
C.6
D.8
4.方程(x+1)2=9的解是
12.要使方程x2-名x=一
左边配成完全平方
A.x=2
B.x=-4
式，在方程两边应都加上
C.x1=2,x2=-4
D.x1=-2,xg=-4
13.用配方法解方程：
5.一元二次方程(x-2022)2十2021=0的根的
(1)x2-3x=3x+7;
情况是
()
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.无实数根
(2)x2+2x+2=8x+4.
6.用适当的数填空，使等式成立：
(1)x2-4x十
=(x一
)2
(2)x2+5x+
=(x十
)2
7.若关于x的方程(x一2)2=m一7可用直接开
平方法求解，则m的取值范围是
021
第二章一元二次方程
规律方法全练
21.(菏泽)已知三角形的一边长为10，另两边长
捉升能力
是方程x2一14x十48=0的两个实数根.请判
14.(2021平顶山期末)用配方法解方程x2一4x十
断这个三角形的形状，并求出这个三角形的
2=0时，下列配方正确的是
()
面积.
A.(x-2)2=2
B.(x+2)2=2
C.(x-2)2=-2D.(x-2)2=6
15.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一
元一次方程，若其中一个一元一次方程是x十
6=4,则另一个一元一次方程是
()
A.x-6=-4
B.x-6=4
C.x十6=4
D.x十6=-4
16.已知方程x2一6x十q=0可以配方成(x一p)2=7
的形式，那么x2一6x十q=2可以配方成()
A.(x-p)2=5
B.(x-p)2=9
22.证明：关于x的方程(m2一8m十17)x2十2m.x十
C.(x-p+2)2=9D.(x-p+2)2=5
1=0,不论为何值，该方程都是一元二次
17.若(a2+b-3)2=25,则a2+b2的值为()
方程.
A.8
B.8或-2
C.-2
D.2或8
18.将一元二次方程一x2十6.x一5=0化成(x一
m)2=n的形成，则一(m一n)221=
19.在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b
2一b,则方程(4☆3)☆x=13的解为x=
20.用配方法解下列一元二次方程：
探究创新全练
托战白我
(1)(绥化)x2一2x=5:
23.如图，有一面墙长为6m,用一根13m长的
铁丝围成一个面积为20m的长方形（其中
长方形的一边为墙)，求长方形的长、宽各为
多少？
(2)(常德)x2一6.x一6=0：
(3)x(x+7)=4x-1.
数学·九年级·上册·BS022参考答案
第一章特殊平行四边形
Rt△AHE(HL).,.AC=AH..'AE平分∠CAB.∴.∠CAF=
(AC-AH.
1菱形的性质与判定
∠HAF.在△CAF和△HAF中，∠CAF=∠HAF,
第1课时菱形的性质
AF=AF.
1.C2.有一组邻边相等的平行四边形是菱形3.B
.△CAF≌△HAF(SAS)..∠ACD=∠AHF.CD⊥
4.C5.B6.D7.48.72°9.410.(2+√2，√2)
AB,∠ACB=90°，.∠CDA=∠ACB=90°，.∠B十
11.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.AB=CD,AB∥
∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°..∠ACD=∠B
CD.又BE=AB,,BE=CD,BE∥CD.,四边形BECD
∠AHF.∴.FH∥CE.:CD⊥AB,EH⊥AB,∴.CF∥EH,
是平行四边形.，BD=EC.(2)解：·四边形BECD是
.四边形CFHE是平行四边形.，CE=EH,∴.四边形
平行四边形，.BD∥CE..∠ABO=∠E=50°.又四边
CFHE是菱形.17.(1)证明：：△ABC是等
形ABCD是菱形，.AC⊥BD.∴.∠BAO=90°-∠ABO=
腰三角形，AD是边BC上的高，∴.点D为BC
40°，12.D13.1014.2√215.√3+1
的中点.：点E是AB的中点，∴.DE∥AC.同
16.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，∠B=∠D,AB
理，DF∥AB,.四边形AEDF是平行四边形
CD,BC=DA.又E,F分别是边BC,AD的中点，∴.BE=
,点E,F分别是AB,AC的中点，AB=AC,
DF-BC--
∴.AE=AF.∴.四边形AEDF是菱形.(2)解：连接EF
DA.△ABE≌△CDF.(2)23,
交AD于点O,,菱形AEDF的周长为12，，AE=3,设
17.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，.AC平分∠BAD
AO=x,EO=.,菱形AEDF的两条对角线的和等于7，
AB=AD.BE=DF,.AB一BE=AD一DF,即AE=
7
,x十y=
,在△AE0中，由勾股定理得AO十EO=
AF.又，'AC平分∠BAD,.AC⊥EF(三线合一).
(2)解：，四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,BO=DO=
AE,即x2十y2=32=9,变形得(x十y)2一2xy=9,即
2BD=2V3,AO=OC.又AC⊥EF,BD∥EF.
(号）广-2y=9,解得y-,四边形ABDF的面积
∠BDC=∠G=30..在Rt△COD中，CD=2OC,
2xyX4=13
S=
1
OC+OD=CD.设OC=x,则CD=2x,∴.x2+(23)=
(2x)2.解得=2，x2=-2(舍)，即OC=2..A0=OC=
2矩形的性质与判定
2.18.(1)证明：连接AC.,BD是菱形ABCD
第1课时矩形的性质
的对角线，.BD垂直平分AC.,AE=EC
1.B2.C3.D4,A5.16.解：四边形ABCD是矩
(2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：，在
形，.OA=OB=OC=OD.:∠AOD=120°，∠AOB=
菱形ABCD中，AB=BC,又，∠ABC=60°
60°.∴.△AOB是等边三角形..AO=AB=4..AC=
∴△ABC是等边三角形，∠BAC=60°.，AE=
2AO=8.7.证明：，四边形ABCD是矩形，.∠A
EC,∠CEF=60°，..∠EAC=30°，∠EAB=
∠D=90°.，EF⊥CE,.∠FEC=90°..∠AEF+∠DEC=
30°.∴.AF是△ABC的角平分线.，AF交BC于点F,
90°.又，在△AEF中，∠AEF+∠AFE=90°，∴.∠AFE=
AF是等边△ABC的BC边上的中线.∴点F是线段BC
∠A=∠D,
的中点.
∠DEC.在△AEF和△DCE中，∠AFE=∠DEC,
第2课时菱形的判定
AE=CD.
1.B 2.B 3.C 4.C 5.AB=AC
∴.△AEF≌△DCE(AAS).∴.AF=DE.8.B9.C
6.证明：连接BD交AC于点O.四边形ABCD是菱形，
10.B11.A12.15°13.23
∴.OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.,AE=CF,.OE=OF
14.(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD,
四边形BEDF是平行四边形.，EF⊥BD,.四边形
∠BAC=∠FCO.又，∠AOE=
BEDF是菱形
∠COF,AE=CF,..△AOE≌△COF
(AAS).∴.OE=OF.(2)解：连接OB.
,BE=BF,OE=OF,,BO⊥EF.△AOE≌△COF
∴.AO=CO.又，AB⊥BC,∴.OA=OB=OC.∴.∠BAC
∠ABO.:∠BEF=2∠BAC,∠BEF+∠ABO=90°，即
2∠BAC+∠BAC=90°..∴.∠BAC=30°..BC=2/3,
(第6题图)
(第9题图)
..AC=2BC=43...AB=ACe-BC=6.
7.D8.49.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形
15.证明：连接GE,GD.AD,BE是△ABC的
.AD∥BC..∠DAC=∠BCA.∠BAC=∠DAC,
,∠BAC=∠BCA.∴，AB=BC.(2)解：连接BD交AC
高，G是AB的中点，GE=
AB.GD=
于点O,四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,,四边
形ABCD是菱形.·AC⊥BD,OA=OC=号AC=5,
AB.GE=GD,:F是DE的中点，GFL
DE.16.(1)证明：四边形ABCD为矩形，，AD∥BC
∴.∠EAO=∠BFO.又.∠AOE=∠FOB.AE=BF,
OB=OD=BD.:.OB=AB-OA=2-(3)=
,'.△AOE≌△FOB.,,EO=BO.'.AO是△ABE的边BE
1.BD=20B=2.÷口ABCD的面积=号AC·BD=
上的中线，∴△AOB和△AOE是“友好三角形”
(2)解：：△AOE和△DOE是“友好三角形”，.SAE=
7×25×2=25.10.D1.12012.国13.菱形
SADOEAE=-ED=2AD=3.“△AOB和△AOE是“友好
16√214.8√315.证明：：DM∥AB,.∠BAM=
三角形”，S△wB=S△0E,△AOE≌△FOB,.S△E=
∠AMD.,△ADC是由△ABC翻折得到.∴.∠CAB=∠CAD.
S△O8..S△ND=S△AF.·SH边EIOF=SEAD一2S△F=4X
AB=AD,BM=DM.∴∠DAM=∠AMD..DA=DM=
6-2×1×4×3=12.
2
AB=BM..四边形ABMD是菱形.16.证明：：∠ACB=
90°，AE平分∠BAC,EH⊥AB,∴.CE=EH.在Rt△ACE和
第2课时矩形的判定
Rt△AHE中，AE=AE,CE=EH,∴.Rt△ACE≌
1.C2.证明：(1)，AF∥BC,.∠AFE=∠DBE.,E是线
·155·
