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第三章{
概率的进一步认识
→1用树状图或表格求概率
第1课时
用树状图或表格求概率
8.(自贡)小球从A点入口往下落，在每个交叉
知识要点全练
夯丛
础
口都有向左向右的可能，且可能性相等.则小
1其：XX人A:其具X其X”其XL文风XX人关
知识点1用列表法求概率
球最终从E点落出的概率为
()
1.某校九年级共有1,2,3,4四个班，现从这四个
班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰
好抽到1班和2班的概率是
()
A
R合C含
D
2.甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有
A.8
B.6
C
D.2
1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色
9.掷三枚硬币，两个正面和一个反面朝上的概率
外都相同.从两个口袋中各随机取一个球，取
是
(
出的两个球都是红球的概率为
()
A.吉
1
R号
C.
n.号
A.5
B
C.
D.8
10.(德州)淘淘和丽丽是非常要好的九年级学
3.学校团委在“五四青年节”举行“感动校园十大
生，在5月份进行的物理、化学、生物实验技
人物”颁奖活动中，九(4)班决定从甲、乙、丙、
能考试中，考试科目要求三选一，并且采取抽
丁四人中随机派两名代表参加此活动，则甲、
签方式取得，那么他们两人都抽到物理实验
乙两人恰有一人参加此活动的概率是()
的概率是
A号
c.言
11.(吉林)在一个不透明的口袋中装有1个红
4.(淄博)某校欲从初三级部3名女生、2名男生
球，1个绿球和1个白球，这3个球除颜色不
中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中
同外，其他都相同.从口袋中随机摸出1个
国梦·青春梦”演讲比赛，则恰好选中一男一
球，记录其颜色，然后放回口袋并摇匀，再从
女的概率是
口袋中随机摸出1个球，记录其颜色.请利用
5.不透明袋子中有1个红球、2个黄球，这些球
画树状图或列表的方法，求两次摸到的球都
除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个
是红球的概率.
球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球
都是黄球的概率是
6.(2020淮南月考)从一2,0,1中随机选取两个
数记作a和b,那么点(a,b)在x轴上的概率是
知识点2用树状图法求概率
7.九(1)班男生参加体育考试，经抽签分为①②
③三个小组，已知小明不在①组，小华不在③
组，则小明与小华分在同一组的概率是()
A.8
043
第三章概率的进一步认识
从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸
规律方法全练
捉升能力
出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在
12.
在数1，一1,4，一4中，任选两个数，均是一元
一起，求拼成的图形是轴对称图形的概
二次方程x2一3x一4=0的根的概率是(）
率，（不重叠、无缝隙拼接）
A.
D.
13.(广丰)如图，有一个电子元件，是由大小、颜
色一样的三根导线和一个包裹着它们的圆柱
体构成，分辨不出来每根导线两端的对应端
点，若在端点A,B,C中任意选两个连接起
来，在端点A1,B1,C中也任意选两个连接
起来，刚好把三根导线连成一根导线的概率
是
(
A.
2
B.
1
C.3
D.9
三
探究创新全练
托战白我
COO7C60706976970650706070060O7607
18.(连云港)为落实“垃圾分类”，环卫部门要求
垃圾要按A,B,C三类分别装袋、投放，其中
(第13题图)
(第14题图)
A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指
14.如图，电路图上有四个开关A,B,C,D和一个
剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可
小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A,B,C
回收垃圾.甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋
都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开
垃圾，这两袋垃圾不同类，
关，小灯泡发光的概率是
()
(1)直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的
A.3B司
C.
D.
概率；
15.(2020黑龙江)一个盒子中装有标号为1,2，
(2)求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃
3,4,5的五个小球，这些球除了标号外都相
圾是同类的概率.
同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标
号之和大于6的概率为
16.小明、小华、小亮三位好朋友去绿博园游玩，
随机站成一排照合影，小华没有站在中间的
概率是
17.(常州)将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、
C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒
子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这
3个盒子装入一只不透明的袋子中，
(1)搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既
是轴对称图形又是中心对称图形的概率
是
(2)搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再
数学·九年级·上册·BS044参考答案
第一章特殊平行四边形
Rt△AHE(HL).,.AC=AH..'AE平分∠CAB.∴.∠CAF=
(AC-AH.
1菱形的性质与判定
∠HAF.在△CAF和△HAF中，∠CAF=∠HAF,
第1课时菱形的性质
AF=AF.
1.C2.有一组邻边相等的平行四边形是菱形3.B
.△CAF≌△HAF(SAS)..∠ACD=∠AHF.CD⊥
4.C5.B6.D7.48.72°9.410.(2+√2，√2)
AB,∠ACB=90°，.∠CDA=∠ACB=90°，.∠B十
11.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.AB=CD,AB∥
∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°..∠ACD=∠B
CD.又BE=AB,,BE=CD,BE∥CD.,四边形BECD
∠AHF.∴.FH∥CE.:CD⊥AB,EH⊥AB,∴.CF∥EH,
是平行四边形.，BD=EC.(2)解：·四边形BECD是
.四边形CFHE是平行四边形.，CE=EH,∴.四边形
平行四边形，.BD∥CE..∠ABO=∠E=50°.又四边
CFHE是菱形.17.(1)证明：：△ABC是等
形ABCD是菱形，.AC⊥BD.∴.∠BAO=90°-∠ABO=
腰三角形，AD是边BC上的高，∴.点D为BC
40°，12.D13.1014.2√215.√3+1
的中点.：点E是AB的中点，∴.DE∥AC.同
16.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，∠B=∠D,AB
理，DF∥AB,.四边形AEDF是平行四边形
CD,BC=DA.又E,F分别是边BC,AD的中点，∴.BE=
,点E,F分别是AB,AC的中点，AB=AC,
DF-BC--
∴.AE=AF.∴.四边形AEDF是菱形.(2)解：连接EF
DA.△ABE≌△CDF.(2)23,
交AD于点O,,菱形AEDF的周长为12，，AE=3,设
17.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，.AC平分∠BAD
AO=x,EO=.,菱形AEDF的两条对角线的和等于7，
AB=AD.BE=DF,.AB一BE=AD一DF,即AE=
7
,x十y=
,在△AE0中，由勾股定理得AO十EO=
AF.又，'AC平分∠BAD,.AC⊥EF(三线合一).
(2)解：，四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,BO=DO=
AE,即x2十y2=32=9,变形得(x十y)2一2xy=9,即
2BD=2V3,AO=OC.又AC⊥EF,BD∥EF.
(号）广-2y=9,解得y-,四边形ABDF的面积
∠BDC=∠G=30..在Rt△COD中，CD=2OC,
2xyX4=13
S=
1
OC+OD=CD.设OC=x,则CD=2x,∴.x2+(23)=
(2x)2.解得=2，x2=-2(舍)，即OC=2..A0=OC=
2矩形的性质与判定
2.18.(1)证明：连接AC.,BD是菱形ABCD
第1课时矩形的性质
的对角线，.BD垂直平分AC.,AE=EC
1.B2.C3.D4,A5.16.解：四边形ABCD是矩
(2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：，在
形，.OA=OB=OC=OD.:∠AOD=120°，∠AOB=
菱形ABCD中，AB=BC,又，∠ABC=60°
60°.∴.△AOB是等边三角形..AO=AB=4..AC=
∴△ABC是等边三角形，∠BAC=60°.，AE=
2AO=8.7.证明：，四边形ABCD是矩形，.∠A
EC,∠CEF=60°，..∠EAC=30°，∠EAB=
∠D=90°.，EF⊥CE,.∠FEC=90°..∠AEF+∠DEC=
30°.∴.AF是△ABC的角平分线.，AF交BC于点F,
90°.又，在△AEF中，∠AEF+∠AFE=90°，∴.∠AFE=
AF是等边△ABC的BC边上的中线.∴点F是线段BC
∠A=∠D,
的中点.
∠DEC.在△AEF和△DCE中，∠AFE=∠DEC,
第2课时菱形的判定
AE=CD.
1.B 2.B 3.C 4.C 5.AB=AC
∴.△AEF≌△DCE(AAS).∴.AF=DE.8.B9.C
6.证明：连接BD交AC于点O.四边形ABCD是菱形，
10.B11.A12.15°13.23
∴.OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.,AE=CF,.OE=OF
14.(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD,
四边形BEDF是平行四边形.，EF⊥BD,.四边形
∠BAC=∠FCO.又，∠AOE=
BEDF是菱形
∠COF,AE=CF,..△AOE≌△COF
(AAS).∴.OE=OF.(2)解：连接OB.
,BE=BF,OE=OF,,BO⊥EF.△AOE≌△COF
∴.AO=CO.又，AB⊥BC,∴.OA=OB=OC.∴.∠BAC
∠ABO.:∠BEF=2∠BAC,∠BEF+∠ABO=90°，即
2∠BAC+∠BAC=90°..∴.∠BAC=30°..BC=2/3,
(第6题图)
(第9题图)
..AC=2BC=43...AB=ACe-BC=6.
7.D8.49.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形
15.证明：连接GE,GD.AD,BE是△ABC的
.AD∥BC..∠DAC=∠BCA.∠BAC=∠DAC,
,∠BAC=∠BCA.∴，AB=BC.(2)解：连接BD交AC
高，G是AB的中点，GE=
AB.GD=
于点O,四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,,四边
形ABCD是菱形.·AC⊥BD,OA=OC=号AC=5,
AB.GE=GD,:F是DE的中点，GFL
DE.16.(1)证明：四边形ABCD为矩形，，AD∥BC
∴.∠EAO=∠BFO.又.∠AOE=∠FOB.AE=BF,
OB=OD=BD.:.OB=AB-OA=2-(3)=
,'.△AOE≌△FOB.,,EO=BO.'.AO是△ABE的边BE
1.BD=20B=2.÷口ABCD的面积=号AC·BD=
上的中线，∴△AOB和△AOE是“友好三角形”
(2)解：：△AOE和△DOE是“友好三角形”，.SAE=
7×25×2=25.10.D1.12012.国13.菱形
SADOEAE=-ED=2AD=3.“△AOB和△AOE是“友好
16√214.8√315.证明：：DM∥AB,.∠BAM=
三角形”，S△wB=S△0E,△AOE≌△FOB,.S△E=
∠AMD.,△ADC是由△ABC翻折得到.∴.∠CAB=∠CAD.
S△O8..S△ND=S△AF.·SH边EIOF=SEAD一2S△F=4X
AB=AD,BM=DM.∴∠DAM=∠AMD..DA=DM=
6-2×1×4×3=12.
2
AB=BM..四边形ABMD是菱形.16.证明：：∠ACB=
90°，AE平分∠BAC,EH⊥AB,∴.CE=EH.在Rt△ACE和
第2课时矩形的判定
Rt△AHE中，AE=AE,CE=EH,∴.Rt△ACE≌
1.C2.证明：(1)，AF∥BC,.∠AFE=∠DBE.,E是线
·155·
