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→3用公式法求解一元二次方程
6.(2020安徽)下列方程中，有两个相等实数根
知识要点全练么
夯实
础
的是
()
知识点1用公式法解一元二次方程
A.x2+1=2x
B.x2+1=0
1.在方程2x2+3.x=1中，b2-4ac的值为()
C.x2-2x=3
D.x2-2x=0
A.1
B.-1
C.17
D.-17
7.(咸宁)若关于x的一元二次方程x2一2x十m=
2.方程x2一x一1=0的根是
()
0有实数根，则实数m的取值范围是()
A.m<1B.m≤1C.m>1D.m≥1
A.x=-1+5
,2=二1-5
2
8.关于x的一元二次方程kx2十2x十1=0有两
个不相等的实数根，则k的取值范围是()
B.=1+⑤
2
A.k>-1
B.k≥-1
C.k≠0
D.k<1且k≠0
C.x=1+3
2
9.(上海)如果关于x的方程x2一x十m=0没有实
D.没有实数根
数根，那么实数的取值范围是
10.若关于x的方程x2一(m十2)x十m=0的根
3.方程(3x一1)(x+2)=6化为一般形式为
的判别式b2-4ac=5,则m=
.b2-4ac=
,解为
11,(北京)关于x的方程x2-2x十2m-1=0有
实数根，且m为正整数，求m的值及此时方
4.用公式法解下列方程：
程的根.
(1)x2-2V5x-4=0;
(2)(2020信阳期末)2x2一5x+1=0.
12.(2020河南期末)已知关于x的方程(a一
1)x2+2x十3=0.
(1)若a=0,不解方程，试判断这个方程根的
情况；
(2)若这个方程有两个实数根，求实数a的取
值范围.
知识点2根的判别式的应用
5.(铜仁)一元二次方程4.x2-2x一1=0的根的
情况为
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
025
第二章一元二次方程
(3)(t-2)(3t-5)=1.
规律方法全练
捉升能力
13.已知a是一元二次方程x2一x一1=0的较大
的根，则下面对α估计正确的是
()
A.0
B.1C.1.5D.214.(2020石家庄期中)小刚在解关于x的方程
a.x2十b.x十c=0(a≠0)时，只抄对了a=1,b=
4,解出其中一个根是x=一1.他核对时发现
20.关于x的一元二次方程(a十c)x2+2bx+(a一
所抄的c比原方程的c值小2，则原方程的根
c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.
的情况是
()
(1)如果方程有两个相等的实数根，试判断
A.不存在实数根
△ABC的形状，并说明理由；
B.有两个不相等的实数根
(2)如果△ABC是等边三角形，试求这个一
C.有一个根是x=一1
元二次方程的根.
D.有两个相等的实数根
15.若一元二次方程x2十2.x一m=0无实数根，
则一次函数y=(m+1)x+m一1的图象不经
过第
象限。
16.(易错题)关于x的方程kx2-4x-二=0有
实数根，则k的取值范围是
17.(柯桥期中)小明设计了一个魔术盒，当任意实
数对(a,b)进人其中后，会得到一个新的实数
a2一2b十3.若将实数对(x,一3x)放入其中，得
到一个新数为5，则x=
18.(贺州)关于x的方程x十(1-m)x+四=0
探究创新全练
挑战自我
儿X:X其X:X河关XX2X其关X属XXX流礼2XX美2X火
有两个不相等的实数根，则m的最大整数值
21.已知关于x的一元二次方程x2一(2k十1)x十
是
k2十k=0.
19.用公式法解方程：
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(1)4x2-4x-1=0:
(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方
程的两个实数根，第三边BC的长为5，当
△ABC是等腰三角形时，求k的值.
(2)6x2-13x-5=0:
数学·九年级·上册·BS026参考答案
第一章特殊平行四边形
Rt△AHE(HL).,.AC=AH..'AE平分∠CAB.∴.∠CAF=
(AC-AH.
1菱形的性质与判定
∠HAF.在△CAF和△HAF中，∠CAF=∠HAF,
第1课时菱形的性质
AF=AF.
1.C2.有一组邻边相等的平行四边形是菱形3.B
.△CAF≌△HAF(SAS)..∠ACD=∠AHF.CD⊥
4.C5.B6.D7.48.72°9.410.(2+√2，√2)
AB,∠ACB=90°，.∠CDA=∠ACB=90°，.∠B十
11.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.AB=CD,AB∥
∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°..∠ACD=∠B
CD.又BE=AB,,BE=CD,BE∥CD.,四边形BECD
∠AHF.∴.FH∥CE.:CD⊥AB,EH⊥AB,∴.CF∥EH,
是平行四边形.，BD=EC.(2)解：·四边形BECD是
.四边形CFHE是平行四边形.，CE=EH,∴.四边形
平行四边形，.BD∥CE..∠ABO=∠E=50°.又四边
CFHE是菱形.17.(1)证明：：△ABC是等
形ABCD是菱形，.AC⊥BD.∴.∠BAO=90°-∠ABO=
腰三角形，AD是边BC上的高，∴.点D为BC
40°，12.D13.1014.2√215.√3+1
的中点.：点E是AB的中点，∴.DE∥AC.同
16.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，∠B=∠D,AB
理，DF∥AB,.四边形AEDF是平行四边形
CD,BC=DA.又E,F分别是边BC,AD的中点，∴.BE=
,点E,F分别是AB,AC的中点，AB=AC,
DF-BC--
∴.AE=AF.∴.四边形AEDF是菱形.(2)解：连接EF
DA.△ABE≌△CDF.(2)23,
交AD于点O,,菱形AEDF的周长为12，，AE=3,设
17.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，.AC平分∠BAD
AO=x,EO=.,菱形AEDF的两条对角线的和等于7，
AB=AD.BE=DF,.AB一BE=AD一DF,即AE=
7
,x十y=
,在△AE0中，由勾股定理得AO十EO=
AF.又，'AC平分∠BAD,.AC⊥EF(三线合一).
(2)解：，四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,BO=DO=
AE,即x2十y2=32=9,变形得(x十y)2一2xy=9,即
2BD=2V3,AO=OC.又AC⊥EF,BD∥EF.
(号）广-2y=9,解得y-,四边形ABDF的面积
∠BDC=∠G=30..在Rt△COD中，CD=2OC,
2xyX4=13
S=
1
OC+OD=CD.设OC=x,则CD=2x,∴.x2+(23)=
(2x)2.解得=2，x2=-2(舍)，即OC=2..A0=OC=
2矩形的性质与判定
2.18.(1)证明：连接AC.,BD是菱形ABCD
第1课时矩形的性质
的对角线，.BD垂直平分AC.,AE=EC
1.B2.C3.D4,A5.16.解：四边形ABCD是矩
(2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：，在
形，.OA=OB=OC=OD.:∠AOD=120°，∠AOB=
菱形ABCD中，AB=BC,又，∠ABC=60°
60°.∴.△AOB是等边三角形..AO=AB=4..AC=
∴△ABC是等边三角形，∠BAC=60°.，AE=
2AO=8.7.证明：，四边形ABCD是矩形，.∠A
EC,∠CEF=60°，..∠EAC=30°，∠EAB=
∠D=90°.，EF⊥CE,.∠FEC=90°..∠AEF+∠DEC=
30°.∴.AF是△ABC的角平分线.，AF交BC于点F,
90°.又，在△AEF中，∠AEF+∠AFE=90°，∴.∠AFE=
AF是等边△ABC的BC边上的中线.∴点F是线段BC
∠A=∠D,
的中点.
∠DEC.在△AEF和△DCE中，∠AFE=∠DEC,
第2课时菱形的判定
AE=CD.
1.B 2.B 3.C 4.C 5.AB=AC
∴.△AEF≌△DCE(AAS).∴.AF=DE.8.B9.C
6.证明：连接BD交AC于点O.四边形ABCD是菱形，
10.B11.A12.15°13.23
∴.OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.,AE=CF,.OE=OF
14.(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD,
四边形BEDF是平行四边形.，EF⊥BD,.四边形
∠BAC=∠FCO.又，∠AOE=
BEDF是菱形
∠COF,AE=CF,..△AOE≌△COF
(AAS).∴.OE=OF.(2)解：连接OB.
,BE=BF,OE=OF,,BO⊥EF.△AOE≌△COF
∴.AO=CO.又，AB⊥BC,∴.OA=OB=OC.∴.∠BAC
∠ABO.:∠BEF=2∠BAC,∠BEF+∠ABO=90°，即
2∠BAC+∠BAC=90°..∴.∠BAC=30°..BC=2/3,
(第6题图)
(第9题图)
..AC=2BC=43...AB=ACe-BC=6.
7.D8.49.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形
15.证明：连接GE,GD.AD,BE是△ABC的
.AD∥BC..∠DAC=∠BCA.∠BAC=∠DAC,
,∠BAC=∠BCA.∴，AB=BC.(2)解：连接BD交AC
高，G是AB的中点，GE=
AB.GD=
于点O,四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,,四边
形ABCD是菱形.·AC⊥BD,OA=OC=号AC=5,
AB.GE=GD,:F是DE的中点，GFL
DE.16.(1)证明：四边形ABCD为矩形，，AD∥BC
∴.∠EAO=∠BFO.又.∠AOE=∠FOB.AE=BF,
OB=OD=BD.:.OB=AB-OA=2-(3)=
,'.△AOE≌△FOB.,,EO=BO.'.AO是△ABE的边BE
1.BD=20B=2.÷口ABCD的面积=号AC·BD=
上的中线，∴△AOB和△AOE是“友好三角形”
(2)解：：△AOE和△DOE是“友好三角形”，.SAE=
7×25×2=25.10.D1.12012.国13.菱形
SADOEAE=-ED=2AD=3.“△AOB和△AOE是“友好
16√214.8√315.证明：：DM∥AB,.∠BAM=
三角形”，S△wB=S△0E,△AOE≌△FOB,.S△E=
∠AMD.,△ADC是由△ABC翻折得到.∴.∠CAB=∠CAD.
S△O8..S△ND=S△AF.·SH边EIOF=SEAD一2S△F=4X
AB=AD,BM=DM.∴∠DAM=∠AMD..DA=DM=
6-2×1×4×3=12.
2
AB=BM..四边形ABMD是菱形.16.证明：：∠ACB=
90°，AE平分∠BAC,EH⊥AB,∴.CE=EH.在Rt△ACE和
第2课时矩形的判定
Rt△AHE中，AE=AE,CE=EH,∴.Rt△ACE≌
1.C2.证明：(1)，AF∥BC,.∠AFE=∠DBE.,E是线
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