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→2平行线分线段成比例
知识点2平行线分线段成比例定理的推论
知识要点全练
6.(内江)如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=9,
知识点1平行线分线段成比例定理
DB=3,CE=2,则AC的长为
()
1.(易错题)如图，已知AB∥CD∥EF,那么下列
A.6
B.7
C.8
D.9
结论正确的是
7.已知线段a,b,c,求作线段x使ax=bc,下列
AD BC
A.DFCE
B.
BC DF
每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确
CE AD
的是
(
C.
CD BC
EF BE
0.
CD AD
EF-AF
D
B
B
F
(第1题图)
(第2题图)
D
2.(2020成都)如图，直线1∥l2∥1，直线AC和
8.如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC,若OC
DF被11，l2,l所截，AB=5,BC=6,EF=4,
则DE的长为
()
2OA,OD=2cm,则BD的长为
cm.
A.2
B.3
C.4
D.
3
3.(无锡)如图，直线l1∥L2∥l,直线AC分别交
B心
l1,l2,l于点A,B,C:直线DF分别交l1,l2,l
(第8题图)
(第9题图)
于点D,E,F,AC与DF相交于点H,且
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，D为BC上的一
AH=2.HB=1,BC=5则BE等于
(
点，过点D作DE⊥BC交AB于点E,AE=3,
BE=2,DC=2,则DB的长是
C.
2
1
A.
B.2
D.2
10.如图，DE∥AF∥BC,且AD=2cm,AB=6cm.
A/
(1)求品的值：
(2)若FD=1.5cm,AE=1.2cm,分别求出
DC和EC的值.
(第3题图)
(第4题图)》
4.如图，已知AB∥CD,AD与BC相交于点O
若8C号AD=10.则A0
5.如图.4∥%∥4，则A5
BC
D
(第5题图)
(第6题图)
061
第四章图形的相似
17.如图，EG∥BC,GF∥DC,若AE=3,EB=2,
规律方法全练
捉升能力
AF=6,求AD的值.
11.(青海)如图，AD∥BE∥CF,直线l1,l2与这
三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,
F.已知AB=1,BC=3,DE=1.2,则DF的
长为
()
A.3.6B.4.8C.5
D.5.2
(第11题图)
(第12题图)》
12.如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC边
1&、如图，已知AC/EF∥BD,求证：S+既=1.
上的点，DE∥BC,点F为BC边上一点，连
接AF交DE于点G,则下列结论一定正确
的是
()
ADAE
A.AB-EC
B部部
c0胎
D.
AG_AC
FEC
13.(易错题)如图，在△ABC中，FG∥DE∥BC,
已知DF=3,AG=EC=2,则下列四个等式
一定正确的是
()
A.FG·DE=6
B.BD·GE=6
C.FG:DE=2:3
19.如图，在△ABC中，DF∥AC,DE∥BC.
D.CE:DB=3:2
求证：AE·CB=AC·CF.
〔第13題图)
(第14题图)
14.(2020遂宁)如图，在平行四边形ABCD中，
∠ABC的平分线交AC于点E,交AD于点
F,交CD的延长线于点G,若AF=2FD,则
能的值为
()
A号
B.
c.号
D
探究创新全练
挑战白我
15.如图，在△ABC中，DE∥BC,EF∥AB,若
20.如图，AD为△ABC的中线，E为AD的中
AB=8,BD=3,BF=4,则FC=
点，连接BE并延长交AC于点F.求证：
CF=2AF.(提示：过点D作DH∥BF)
(第15题图)
(第16题图)
16.(靖远)如图，已知AD,BC相交于点O,AB∥
CD∥EF,如果CE=2,EB=4,AF=3,那么
AD-
数学·九年级·上册·BS062参考答案
第一章特殊平行四边形
Rt△AHE(HL).,.AC=AH..'AE平分∠CAB.∴.∠CAF=
(AC-AH.
1菱形的性质与判定
∠HAF.在△CAF和△HAF中，∠CAF=∠HAF,
第1课时菱形的性质
AF=AF.
1.C2.有一组邻边相等的平行四边形是菱形3.B
.△CAF≌△HAF(SAS)..∠ACD=∠AHF.CD⊥
4.C5.B6.D7.48.72°9.410.(2+√2，√2)
AB,∠ACB=90°，.∠CDA=∠ACB=90°，.∠B十
11.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.AB=CD,AB∥
∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°..∠ACD=∠B
CD.又BE=AB,,BE=CD,BE∥CD.,四边形BECD
∠AHF.∴.FH∥CE.:CD⊥AB,EH⊥AB,∴.CF∥EH,
是平行四边形.，BD=EC.(2)解：·四边形BECD是
.四边形CFHE是平行四边形.，CE=EH,∴.四边形
平行四边形，.BD∥CE..∠ABO=∠E=50°.又四边
CFHE是菱形.17.(1)证明：：△ABC是等
形ABCD是菱形，.AC⊥BD.∴.∠BAO=90°-∠ABO=
腰三角形，AD是边BC上的高，∴.点D为BC
40°，12.D13.1014.2√215.√3+1
的中点.：点E是AB的中点，∴.DE∥AC.同
16.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，∠B=∠D,AB
理，DF∥AB,.四边形AEDF是平行四边形
CD,BC=DA.又E,F分别是边BC,AD的中点，∴.BE=
,点E,F分别是AB,AC的中点，AB=AC,
DF-BC--
∴.AE=AF.∴.四边形AEDF是菱形.(2)解：连接EF
DA.△ABE≌△CDF.(2)23,
交AD于点O,,菱形AEDF的周长为12，，AE=3,设
17.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，.AC平分∠BAD
AO=x,EO=.,菱形AEDF的两条对角线的和等于7，
AB=AD.BE=DF,.AB一BE=AD一DF,即AE=
7
,x十y=
,在△AE0中，由勾股定理得AO十EO=
AF.又，'AC平分∠BAD,.AC⊥EF(三线合一).
(2)解：，四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,BO=DO=
AE,即x2十y2=32=9,变形得(x十y)2一2xy=9,即
2BD=2V3,AO=OC.又AC⊥EF,BD∥EF.
(号）广-2y=9,解得y-,四边形ABDF的面积
∠BDC=∠G=30..在Rt△COD中，CD=2OC,
2xyX4=13
S=
1
OC+OD=CD.设OC=x,则CD=2x,∴.x2+(23)=
(2x)2.解得=2，x2=-2(舍)，即OC=2..A0=OC=
2矩形的性质与判定
2.18.(1)证明：连接AC.,BD是菱形ABCD
第1课时矩形的性质
的对角线，.BD垂直平分AC.,AE=EC
1.B2.C3.D4,A5.16.解：四边形ABCD是矩
(2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：，在
形，.OA=OB=OC=OD.:∠AOD=120°，∠AOB=
菱形ABCD中，AB=BC,又，∠ABC=60°
60°.∴.△AOB是等边三角形..AO=AB=4..AC=
∴△ABC是等边三角形，∠BAC=60°.，AE=
2AO=8.7.证明：，四边形ABCD是矩形，.∠A
EC,∠CEF=60°，..∠EAC=30°，∠EAB=
∠D=90°.，EF⊥CE,.∠FEC=90°..∠AEF+∠DEC=
30°.∴.AF是△ABC的角平分线.，AF交BC于点F,
90°.又，在△AEF中，∠AEF+∠AFE=90°，∴.∠AFE=
AF是等边△ABC的BC边上的中线.∴点F是线段BC
∠A=∠D,
的中点.
∠DEC.在△AEF和△DCE中，∠AFE=∠DEC,
第2课时菱形的判定
AE=CD.
1.B 2.B 3.C 4.C 5.AB=AC
∴.△AEF≌△DCE(AAS).∴.AF=DE.8.B9.C
6.证明：连接BD交AC于点O.四边形ABCD是菱形，
10.B11.A12.15°13.23
∴.OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.,AE=CF,.OE=OF
14.(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD,
四边形BEDF是平行四边形.，EF⊥BD,.四边形
∠BAC=∠FCO.又，∠AOE=
BEDF是菱形
∠COF,AE=CF,..△AOE≌△COF
(AAS).∴.OE=OF.(2)解：连接OB.
,BE=BF,OE=OF,,BO⊥EF.△AOE≌△COF
∴.AO=CO.又，AB⊥BC,∴.OA=OB=OC.∴.∠BAC
∠ABO.:∠BEF=2∠BAC,∠BEF+∠ABO=90°，即
2∠BAC+∠BAC=90°..∴.∠BAC=30°..BC=2/3,
(第6题图)
(第9题图)
..AC=2BC=43...AB=ACe-BC=6.
7.D8.49.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形
15.证明：连接GE,GD.AD,BE是△ABC的
.AD∥BC..∠DAC=∠BCA.∠BAC=∠DAC,
,∠BAC=∠BCA.∴，AB=BC.(2)解：连接BD交AC
高，G是AB的中点，GE=
AB.GD=
于点O,四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,,四边
形ABCD是菱形.·AC⊥BD,OA=OC=号AC=5,
AB.GE=GD,:F是DE的中点，GFL
DE.16.(1)证明：四边形ABCD为矩形，，AD∥BC
∴.∠EAO=∠BFO.又.∠AOE=∠FOB.AE=BF,
OB=OD=BD.:.OB=AB-OA=2-(3)=
,'.△AOE≌△FOB.,,EO=BO.'.AO是△ABE的边BE
1.BD=20B=2.÷口ABCD的面积=号AC·BD=
上的中线，∴△AOB和△AOE是“友好三角形”
(2)解：：△AOE和△DOE是“友好三角形”，.SAE=
7×25×2=25.10.D1.12012.国13.菱形
SADOEAE=-ED=2AD=3.“△AOB和△AOE是“友好
16√214.8√315.证明：：DM∥AB,.∠BAM=
三角形”，S△wB=S△0E,△AOE≌△FOB,.S△E=
∠AMD.,△ADC是由△AC翻折得到.∴.∠CAB=∠CAD.
S△O8..S△ND=S△AF.·SH边EIOF=SEAD一2S△F=4X
AB=AD,BM=DM.∴∠DAM=∠AMD..DA=DM=
6-2×1×4×3=12.
2
AB=BM..四边形ABMD是菱形.16.证明：：∠ACB=
90°，AE平分∠BAC,EH⊥AB,∴.CE=EH.在Rt△ACE和
第2课时矩形的判定
Rt△AHE中，AE=AE,CE=EH,∴.Rt△ACE≌
1.C2.证明：(1)，AF∥BC,.∠AFE=∠DBE.,E是线
·155·
