班级：
姓名：
→2
用频率估计概率
C.随机掷一枚质地均匀的硬币，计算正面朝
知识要点全练
OOOCOOOOOOOOOCOOOOCOO0COOOO0COO0CC
上的概率
知识点1频率与概率的关系
D.如图，将一个可以自由转动的
1.掷质地均匀的硬币m次，正面向上n次，其频
转盘分成甲、乙、丙3个相同
率P=”,则下列说法正确的是
的扇形，转动转盘任其自由停
(
h
止，计算指针指向甲的概率
AP一定等于
5.(2020徐州)在一个不透明的袋子里装有红
球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同.小
BP一定不等于号
明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在
C.多掷一次，P更接近号
0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是
D.掷的次数逐步增加，P稳定在2附近
A.5
B.10
C.12
D.15
6.(2020扬州)大数据分析技术为打「
2.(孟津县期末)在做针尖落地的试验中，正确的
赢疫情防控阻击战发挥了重要作
是
()
用.如图是小明同学的健康码（绿
A.甲做了4000次，得出针尖触地的机会约
码)示意图，用黑白打印机打印于
为46%，于是他断定在做第4001次时，针
边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中
尖肯定不会触地
黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷
B.乙认为一次一次地做，速度太慢，他拿来了
点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分
大把材料、形状及大小都完全一样的图
的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部
钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触
分的总面积约为
cm.
地的次数，这样大大提高了速度
7.某商场设立了一个可以自由转
C.老师安排每位同学回家做试验，图钉自由
动的转盘（如图所示），并规定：
选取
笔
顾客购物满10元就能获得一次
可乐
D.老师安排同学回家做试验，图钉统一发（完
转动转盘的机会，当转盘停止
全一样的图钉).同学交来的结果，老师挑
时，指针指向哪一区域就可以获得相应的奖品
选他满意的进行统计，他不满意的就不要
(指针指向分界线时，重新转动转盘)，下表是
知识点2用频率估计概率
活动进行中的一组统计数据，
3.小华练习射击，共射击600次，其中380次击
(1)计算并完成表格：
中靶子，由此估计小华射击一次击中靶子的概
转动转盘的
率是
()
100
150
200
500
800
1000
次数(n)
A.38%
B.60%
指向“铅笔”区
68
111
136
345
564
701
C.63%
D.无法确定
域的次数(m)
指向“铅笔”区
4.为验证“掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数
为偶数的概率为0.5”，下列模拟试验中，不科
域的频率（只）
学的是
()
(2)当n很大时，估计指针指向“铅笔”区域的
A.袋中装有1个红球、1个绿球，它们除颜色
频率将会接近多少？（精确到0.1）
外都相同，计算随机摸出红球的概率
B.用计算器随机地取不大于10的正整数，计
算取得奇数的概率
047参考答案
第一章特殊平行四边形
Rt△AHE(HL).,.AC=AH..'AE平分∠CAB.∴.∠CAF=
(AC-AH.
1菱形的性质与判定
∠HAF.在△CAF和△HAF中，∠CAF=∠HAF,
第1课时菱形的性质
AF=AF.
1.C2.有一组邻边相等的平行四边形是菱形3.B
.△CAF≌△HAF(SAS)..∠ACD=∠AHF.CD⊥
4.C5.B6.D7.48.72°9.410.(2+√2，√2)
AB,∠ACB=90°，.∠CDA=∠ACB=90°，.∠B十
11.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.AB=CD,AB∥
∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°..∠ACD=∠B
CD.又BE=AB,,BE=CD,BE∥CD.,四边形BECD
∠AHF.∴.FH∥CE.:CD⊥AB,EH⊥AB,∴.CF∥EH,
是平行四边形.，BD=EC.(2)解：·四边形BECD是
.四边形CFHE是平行四边形.，CE=EH,∴.四边形
平行四边形，.BD∥CE..∠ABO=∠E=50°.又四边
CFHE是菱形.17.(1)证明：：△ABC是等
形ABCD是菱形，.AC⊥BD.∴.∠BAO=90°-∠ABO=
腰三角形，AD是边BC上的高，∴.点D为BC
40°，12.D13.1014.2√215.√3+1
的中点.：点E是AB的中点，∴.DE∥AC.同
16.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，∠B=∠D,AB
理，DF∥AB,.四边形AEDF是平行四边形
CD,BC=DA.又E,F分别是边BC,AD的中点，∴.BE=
,点E,F分别是AB,AC的中点，AB=AC,
DF-BC--
∴.AE=AF.∴.四边形AEDF是菱形.(2)解：连接EF
DA.△ABE≌△CDF.(2)23,
交AD于点O,,菱形AEDF的周长为12，，AE=3,设
17.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，.AC平分∠BAD
AO=x,EO=.,菱形AEDF的两条对角线的和等于7，
AB=AD.BE=DF,.AB一BE=AD一DF,即AE=
7
,x十y=
,在△AE0中，由勾股定理得AO十EO=
AF.又，'AC平分∠BAD,.AC⊥EF(三线合一).
(2)解：，四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,BO=DO=
AE,即x2十y2=32=9,变形得(x十y)2一2xy=9,即
2BD=2V3,AO=OC.又AC⊥EF,BD∥EF.
(号）广-2y=9,解得y-,四边形ABDF的面积
∠BDC=∠G=30..在Rt△COD中，CD=2OC,
2xyX4=13
S=
1
OC+OD=CD.设OC=x,则CD=2x,∴.x2+(23)=
(2x)2.解得=2，x2=-2(舍)，即OC=2..A0=OC=
2矩形的性质与判定
2.18.(1)证明：连接AC.,BD是菱形ABCD
第1课时矩形的性质
的对角线，.BD垂直平分AC.,AE=EC
1.B2.C3.D4,A5.16.解：四边形ABCD是矩
(2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：，在
形，.OA=OB=OC=OD.:∠AOD=120°，∠AOB=
菱形ABCD中，AB=BC,又，∠ABC=60°
60°.∴.△AOB是等边三角形..AO=AB=4..AC=
∴△ABC是等边三角形，∠BAC=60°.，AE=
2AO=8.7.证明：，四边形ABCD是矩形，.∠A
EC,∠CEF=60°，..∠EAC=30°，∠EAB=
∠D=90°.，EF⊥CE,.∠FEC=90°..∠AEF+∠DEC=
30°.∴.AF是△ABC的角平分线.，AF交BC于点F,
90°.又，在△AEF中，∠AEF+∠AFE=90°，∴.∠AFE=
AF是等边△ABC的BC边上的中线.∴点F是线段BC
∠A=∠D,
的中点.
∠DEC.在△AEF和△DCE中，∠AFE=∠DEC,
第2课时菱形的判定
AE=CD.
1.B 2.B 3.C 4.C 5.AB=AC
∴.△AEF≌△DCE(AAS).∴.AF=DE.8.B9.C
6.证明：连接BD交AC于点O.四边形ABCD是菱形，
10.B11.A12.15°13.23
∴.OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.,AE=CF,.OE=OF
14.(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD,
四边形BEDF是平行四边形.，EF⊥BD,.四边形
∠BAC=∠FCO.又，∠AOE=
BEDF是菱形
∠COF,AE=CF,..△AOE≌△COF
(AAS).∴.OE=OF.(2)解：连接OB.
,BE=BF,OE=OF,,BO⊥EF.△AOE≌△COF
∴.AO=CO.又，AB⊥BC,∴.OA=OB=OC.∴.∠BAC
∠ABO.:∠BEF=2∠BAC,∠BEF+∠ABO=90°，即
2∠BAC+∠BAC=90°..∴.∠BAC=30°..BC=2/3,
(第6题图)
(第9题图)
..AC=2BC=43...AB=ACe-BC=6.
7.D8.49.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形
15.证明：连接GE,GD.AD,BE是△ABC的
.AD∥BC..∠DAC=∠BCA.∠BAC=∠DAC,
,∠BAC=∠BCA.∴，AB=BC.(2)解：连接BD交AC
高，G是AB的中点，GE=
AB.GD=
于点O,四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,,四边
形ABCD是菱形.·AC⊥BD,OA=OC=号AC=5,
AB.GE=GD,:F是DE的中点，GFL
DE.16.(1)证明：四边形ABCD为矩形，，AD∥BC
∴.∠EAO=∠BFO.又.∠AOE=∠FOB.AE=BF,
OB=OD=BD.:.OB=AB-OA=2-(3)=
,'.△AOE≌△FOB.,,EO=BO.'.AO是△ABE的边BE
1.BD=20B=2.÷口ABCD的面积=号AC·BD=
上的中线，∴△AOB和△AOE是“友好三角形”
(2)解：：△AOE和△DOE是“友好三角形”，.SAE=
7×25×2=25.10.D1.12012.国13.菱形
SADOEAE=-ED=2AD=3.“△AOB和△AOE是“友好
16√214.8√315.证明：：DM∥AB,.∠BAM=
三角形”，S△wB=S△0E,△AOE≌△FOB,.S△E=
∠AMD.,△ADC是由△ABC翻折得到.∴.∠CAB=∠CAD.
S△O8..S△ND=S△AF.·SH边EIOF=SEAD一2S△F=4X
AB=AD,BM=DM.∴∠DAM=∠AMD..DA=DM=
6-2×1×4×3=12.
2
AB=BM..四边形ABMD是菱形.16.证明：：∠ACB=
90°，AE平分∠BAC,EH⊥AB,∴.CE=EH.在Rt△ACE和
第2课时矩形的判定
Rt△AHE中，AE=AE,CE=EH,∴.Rt△ACE≌
1.C2.证明：(1)，AF∥BC,.∠AFE=∠DBE.,E是线
·155·
