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→6利用相似三角形测高
知识要点全练
知识点1利用阳光下的影子测高
1.在同一时刻，两根木杆在
太阳光下的影子如图所
工
示，其中木杆AB=2m,B
它的影子BC=1.6m,木杆PQ的影子有一部
分落在了墙上，PM=1.2m,MN=0.8m,则
木杆PQ的长度为
m.
2.如图，为了测量山的高度，小明在山前的平地
上先竖一根已知长度的木棒OB',比较木棒
的影长A'B'与山的影长AB,即可近似求出山
的高度OB.如果OB'=1m,A'B'=2m,
知识点3利用平面镜测高
AB=270m,求山的高度.
5.(天水)如图是一位同学设计的用手电筒来测
量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平
的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后
刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥
BD,CD⊥BD,测得AB=2m,BP=3m,PD
12m,那么该古城墙的高度CD是m.
(
工
工
工
「
】
6.如图，为了测量学校教学楼的高度，王芳同学
在她的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到
她刚好在镜子中看到楼的顶部.如果王芳同学
的身高是1.55m,她估计自己的眼睛距地面
知识点2利用标杆测高
的高度AB=1.50m,同时量得BE=30cm,
3.(2020天水)如图所示，某校数学兴趣小组利
BD=2.3m,这栋楼CD有多高？
用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE
高1.5m,测得AB=1.2m,BC=12.8m,则
建筑物CD的高是
()
0
d
A.17.5mB.17mC.16.5mD.18m
4.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校
旗杆的高度，已知标杆高度CD=3m,标杆与
旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛与地面
的高度EF=1.6m,人与标杆CD的水平距离
DF=2m,求旗杆AB的高度.
077
第四章图形的相似
规律方法全练
捉升能力
7.如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上
点E反射后，照射到B点.若AC⊥CD,BD⊥
CD,垂足分别为C,D,且AC=3,BD=6,CD
1.则能等于
A.3
3
B.11
c品
11
D.
H
时
T
(第7题图)
(第8题图》
8.如图是小明在A时测得某树影长DE=12m,
在B时又测得该树的影长DF=3m,若两次日
照的光线互相垂直，则树的高度CD为()
探究创新全练
挑战自我
A.6 m B.5 m C.4 m D.8m
9.(原创题)如图，是一摄像头的拍摄情境：已知
13.如图，某水平地面上建筑物的高度为AB,在
摄像头高度AB=4m,拍摄到距离摄像头底
点D和点F处分别竖立高是2m的标杆CD
端3m处有一人CD,其头顶C恰好与地面点
和EF,两标杆相隔52m,并且建筑物AB、标
E重合，已知DE长为2m,则此人的身高为
杆CD和EF在同一竖直平面内.从标杆CD
后退2m到点G处，在G处测得建筑物顶端
m.
A与标杆顶端C在同一条直线上；从标杆
FE后退4m到点H处，在H处测得建筑物
顶端A和标杆顶端E在同一条直线上
(第9题图)
（1)求证：BCB
DG FH
(第10题图)
(2)求建筑物的高.
10.如图，球从A处射出，经球台边挡板CD反射
到B,已知A,B到挡板CD的距离分别为
10cm,15cm,CD=50cm,则点E到点C的
距离是cm.
11.(2020上海)《九章算术》中记载了
A
一种测量井深的方法，如图所示，
在进口B处立一根垂直于井口的
木杆BD,从木杆的顶端D观察井
水水岸C,视线DC与井口的直径
AB交于点E,如果测得AB=1.6m,BD=
1m,BE=0.2m,那么井深AC为m.
12.如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时
刻测得1m长的竹竿竖直放置时影长为
2m,在同一时刻测量旗杆的影长时，旗杆的
影子一部分落在地面上(BC),另一部分落在
斜坡上(CD),他测得落在地面上的影长为
10m,留在斜坡上的影长为2m,∠a=45°，
则旗杆的高度约为多少米？（参考数据：
√2≈1.4，W3≈1.7)
数学·九年级·上册·BS078参考答案
第一章特殊平行四边形
Rt△AHE(HL).,.AC=AH..'AE平分∠CAB.∴.∠CAF=
(AC-AH.
1菱形的性质与判定
∠HAF.在△CAF和△HAF中，∠CAF=∠HAF,
第1课时菱形的性质
AF=AF.
1.C2.有一组邻边相等的平行四边形是菱形3.B
.△CAF≌△HAF(SAS)..∠ACD=∠AHF.CD⊥
4.C5.B6.D7.48.72°9.410.(2+√2，√2)
AB,∠ACB=90°，.∠CDA=∠ACB=90°，.∠B十
11.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.AB=CD,AB∥
∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°..∠ACD=∠B
CD.又BE=AB,,BE=CD,BE∥CD.,四边形BECD
∠AHF.∴.FH∥CE.:CD⊥AB,EH⊥AB,∴.CF∥EH,
是平行四边形.，BD=EC.(2)解：·四边形BECD是
.四边形CFHE是平行四边形.，CE=EH,∴.四边形
平行四边形，.BD∥CE..∠ABO=∠E=50°.又四边
CFHE是菱形.17.(1)证明：：△ABC是等
形ABCD是菱形，.AC⊥BD.∴.∠BAO=90°-∠ABO=
腰三角形，AD是边BC上的高，∴.点D为BC
40°，12.D13.1014.2√215.√3+1
的中点.：点E是AB的中点，∴.DE∥AC.同
16.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，∠B=∠D,AB
理，DF∥AB,.四边形AEDF是平行四边形
CD,BC=DA.又E,F分别是边BC,AD的中点，∴.BE=
,点E,F分别是AB,AC的中点，AB=AC,
DF-BC--
∴.AE=AF.∴.四边形AEDF是菱形.(2)解：连接EF
DA.△ABE≌△CDF.(2)23,
交AD于点O,,菱形AEDF的周长为12，，AE=3,设
17.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，.AC平分∠BAD
AO=x,EO=.,菱形AEDF的两条对角线的和等于7，
AB=AD.BE=DF,.AB一BE=AD一DF,即AE=
7
,x十y=
,在△AE0中，由勾股定理得AO十EO=
AF.又，'AC平分∠BAD,.AC⊥EF(三线合一).
(2)解：，四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,BO=DO=
AE,即x2十y2=32=9,变形得(x十y)2一2xy=9,即
2BD=2V3,AO=OC.又AC⊥EF,BD∥EF.
(号）广-2y=9,解得y-,四边形ABDF的面积
∠BDC=∠G=30..在Rt△COD中，CD=2OC,
2xyX4=13
S=
1
OC+OD=CD.设OC=x,则CD=2x,∴.x2+(23)=
(2x)2.解得=2，x2=-2(舍)，即OC=2..A0=OC=
2矩形的性质与判定
2.18.(1)证明：连接AC.,BD是菱形ABCD
第1课时矩形的性质
的对角线，.BD垂直平分AC.,AE=EC
1.B2.C3.D4,A5.16.解：四边形ABCD是矩
(2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：，在
形，.OA=OB=OC=OD.:∠AOD=120°，∠AOB=
菱形ABCD中，AB=BC,又，∠ABC=60°
60°.∴.△AOB是等边三角形..AO=AB=4..AC=
∴△ABC是等边三角形，∠BAC=60°.，AE=
2AO=8.7.证明：，四边形ABCD是矩形，.∠A
EC,∠CEF=60°，..∠EAC=30°，∠EAB=
∠D=90°.，EF⊥CE,.∠FEC=90°..∠AEF+∠DEC=
30°.∴.AF是△ABC的角平分线.，AF交BC于点F,
90°.又，在△AEF中，∠AEF+∠AFE=90°，∴.∠AFE=
AF是等边△ABC的BC边上的中线.∴点F是线段BC
∠A=∠D,
的中点.
∠DEC.在△AEF和△DCE中，∠AFE=∠DEC,
第2课时菱形的判定
AE=CD.
1.B 2.B 3.C 4.C 5.AB=AC
∴.△AEF≌△DCE(AAS).∴.AF=DE.8.B9.C
6.证明：连接BD交AC于点O.四边形ABCD是菱形，
10.B11.A12.15°13.23
∴.OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.,AE=CF,.OE=OF
14.(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD,
四边形BEDF是平行四边形.，EF⊥BD,.四边形
∠BAC=∠FCO.又，∠AOE=
BEDF是菱形
∠COF,AE=CF,..△AOE≌△COF
(AAS).∴.OE=OF.(2)解：连接OB.
,BE=BF,OE=OF,,BO⊥EF.△AOE≌△COF
∴.AO=CO.又，AB⊥BC,∴.OA=OB=OC.∴.∠BAC
∠ABO.:∠BEF=2∠BAC,∠BEF+∠ABO=90°，即
2∠BAC+∠BAC=90°..∴.∠BAC=30°..BC=2/3,
(第6题图)
(第9题图)
..AC=2BC=43...AB=ACe-BC=6.
7.D8.49.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形
15.证明：连接GE,GD.AD,BE是△ABC的
.AD∥BC..∠DAC=∠BCA.∠BAC=∠DAC,
,∠BAC=∠BCA.∴，AB=BC.(2)解：连接BD交AC
高，G是AB的中点，GE=
AB.GD=
于点O,四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,,四边
形ABCD是菱形.·AC⊥BD,OA=OC=号AC=5,
AB.GE=GD,:F是DE的中点，GFL
DE.16.(1)证明：四边形ABCD为矩形，，AD∥BC
∴.∠EAO=∠BFO.又.∠AOE=∠FOB.AE=BF,
OB=OD=BD.:.OB=AB-OA=2-(3)=
,'.△AOE≌△FOB.,,EO=BO.'.AO是△ABE的边BE
1.BD=20B=2.÷口ABCD的面积=号AC·BD=
上的中线，∴△AOB和△AOE是“友好三角形”
(2)解：：△AOE和△DOE是“友好三角形”，.SAE=
7×25×2=25.10.D1.12012.国13.菱形
SADOEAE=-ED=2AD=3.“△AOB和△AOE是“友好
16√214.8√315.证明：：DM∥AB,.∠BAM=
三角形”，S△wB=S△0E,△AOE≌△FOB,.S△E=
∠AMD.,△ADC是由△ABC翻折得到.∴.∠CAB=∠CAD.
S△O8..S△ND=S△AF.·SH边EIOF=SEAD一2S△F=4X
AB=AD,BM=DM.∴∠DAM=∠AMD..DA=DM=
6-2×1×4×3=12.
2
AB=BM..四边形ABMD是菱形.16.证明：：∠ACB=
90°，AE平分∠BAC,EH⊥AB,∴.CE=EH.在Rt△ACE和
第2课时矩形的判定
Rt△AHE中，AE=AE,CE=EH,∴.Rt△ACE≌
1.C2.证明：(1)，AF∥BC,.∠AFE=∠DBE.,E是线
·155·
