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→4探索三角形相似的条件
第1课时
两角分别相等的两个三角形相似
5.(邯郭)如图，在△ABC中，∠BCD=∠A,
知识要点全练
夯实
础
DE∥BC,则与△ABC相似的三角形（△ABC
知识点1相似三角形的定义
自身除外)有
()
1.下列说法错误的是
A.1个B.2个C.3个D.4个
A.两个全等三角形一定相似
6.如图，锐角三角形ABC的边AB,AC上的高
B.两个直角三角形一定相似
CE,BF相交于点D,请写出图中的一对相似
C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成
三角形：
比例
D.相似的两个三角形不一定全等
2.已知△ABC∽△A'B'C',且A'B':AB=3:5,
则△ABC与△A'B'C'的相似比是
∠A'=
,BC:B'C'=
(第6题图)
(第7题图)
3.如图，△ABC∽△ACD.
7.(娄底)如图，已知∠A=∠D,要使△ABCC∽
I若把=号AD=4mC=6m求AC
△DEF,还需添加一个条件，你添加的条件是
和BC的长；
(只需写一个条件，不添加辅助
(2)若∠A=58°，∠ADC=88°，求∠B的度数.
线和字母).
8.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC,BD
平分∠ABC,则△ABC∽
(第8题图)
(第9题图
9.(2020盐城)如图，BC∥DE,且BCBC=4,AB+DE=10.则是的值为
10.如图，在△ABC中，D是BC上的点，且AB
AC=DC,∠B=36.求证：△ABCc△DBA.
知识点2两角分别相等的两个三角形相似
4.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EF⊥
BE交CD于点F,连接BF,则图中与△ABE
一定相似的三角形是
A.△EFB
B.△DEF
C.△CFB
D.△EFB和△DEF
〔第4题图)
(第5题图)
065
第四章图形的相似
17.(相山模拟)如图，已知AB⊥DB于点B,
规律方法全练
捉升能力
CD⊥DB于点D,AB=6,CD=4,BD=14.
11.(赤峰)如图，D,E分别是
则在DB上是否存在点P,使得以C,D,P为
△ABC的边AB,AC上的
顶点的三角形与以P,B,A为顶点的三角形
点，∠ADE=∠ACB,若
相似？如果存在，求出DP的长；如果不存
AD=2,AB=6,AC=4,8
在，请说明理由
则AE的长是
A.1
B.2
C.3
D.4
12.(抚顺)如图，点D在BC上，△ABC和
△ADE均为等边三角形，AC与DE相交于
点F,则图中的相似三角形有
()
A.3对B.4对C.5对
D.6对
D
小
(第12题图)
(第13題图)
13.如图，已知矩形ABCD的顶点A,D分别落
在x轴，y轴上，OD=2OA=6,AD:AB=3:
探究创新全练
挑战自白我
1,则点C的坐标是
()
A.(2,7)B.(3,7)C.(3,8)D.(4,8)
18.如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分
14.(2020牡丹江)如图，在矩形ABCD中，AB=
线，点D在AC上，连接BD并延长与CE相
3,BC=10,点E在BC边上，DF⊥AE,垂足
交于点E.
为F.若DF=6,则线段EF的长为()
(1)求证：△ABD∽△CED:
A.2
B.3
C.4
D.5
(2)若AB=6,AD=2CD,求BE的长.
(第14题图)
(第15题图)
15.(天津)如图，在边长为9的正三角形ABC中，
BD=3,∠ADE=60°，则AE的长为
16.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,
垂足为D.求证：AB2=BD·BC
数学·九年级·上册·BS066参考答案
第一章特殊平行四边形
Rt△AHE(HL).,.AC=AH..'AE平分∠CAB.∴.∠CAF=
(AC-AH.
1菱形的性质与判定
∠HAF.在△CAF和△HAF中，∠CAF=∠HAF,
第1课时菱形的性质
AF=AF.
1.C2.有一组邻边相等的平行四边形是菱形3.B
.△CAF≌△HAF(SAS)..∠ACD=∠AHF.CD⊥
4.C5.B6.D7.48.72°9.410.(2+√2，√2)
AB,∠ACB=90°，.∠CDA=∠ACB=90°，.∠B十
11.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.AB=CD,AB∥
∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°..∠ACD=∠B
CD.又BE=AB,,BE=CD,BE∥CD.,四边形BECD
∠AHF.∴.FH∥CE.:CD⊥AB,EH⊥AB,∴.CF∥EH,
是平行四边形.，BD=EC.(2)解：·四边形BECD是
.四边形CFHE是平行四边形.，CE=EH,∴.四边形
平行四边形，.BD∥CE..∠ABO=∠E=50°.又四边
CFHE是菱形.17.(1)证明：：△ABC是等
形ABCD是菱形，.AC⊥BD.∴.∠BAO=90°-∠ABO=
腰三角形，AD是边BC上的高，∴.点D为BC
40°，12.D13.1014.2√215.√3+1
的中点.：点E是AB的中点，∴.DE∥AC.同
16.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，∠B=∠D,AB
理，DF∥AB,.四边形AEDF是平行四边形
CD,BC=DA.又E,F分别是边BC,AD的中点，∴.BE=
,点E,F分别是AB,AC的中点，AB=AC,
DF-BC--
∴.AE=AF.∴.四边形AEDF是菱形.(2)解：连接EF
DA.△ABE≌△CDF.(2)23,
交AD于点O,,菱形AEDF的周长为12，，AE=3,设
17.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，.AC平分∠BAD
AO=x,EO=.,菱形AEDF的两条对角线的和等于7，
AB=AD.BE=DF,.AB一BE=AD一DF,即AE=
7
,x十y=
,在△AE0中，由勾股定理得AO十EO=
AF.又，'AC平分∠BAD,.AC⊥EF(三线合一).
(2)解：，四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,BO=DO=
AE,即x2十y2=32=9,变形得(x十y)2一2xy=9,即
2BD=2V3,AO=OC.又AC⊥EF,BD∥EF.
(号）广-2y=9,解得y-,四边形ABDF的面积
∠BDC=∠G=30..在Rt△COD中，CD=2OC,
2xyX4=13
S=
1
OC+OD=CD.设OC=x,则CD=2x,∴.x2+(23)=
(2x)2.解得=2，x2=-2(舍)，即OC=2..A0=OC=
2矩形的性质与判定
2.18.(1)证明：连接AC.,BD是菱形ABCD
第1课时矩形的性质
的对角线，.BD垂直平分AC.,AE=EC
1.B2.C3.D4,A5.16.解：四边形ABCD是矩
(2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：，在
形，.OA=OB=OC=OD.:∠AOD=120°，∠AOB=
菱形ABCD中，AB=BC,又，∠ABC=60°
60°.∴.△AOB是等边三角形..AO=AB=4..AC=
∴△ABC是等边三角形，∠BAC=60°.，AE=
2AO=8.7.证明：，四边形ABCD是矩形，.∠A
EC,∠CEF=60°，..∠EAC=30°，∠EAB=
∠D=90°.，EF⊥CE,.∠FEC=90°..∠AEF+∠DEC=
30°.∴.AF是△ABC的角平分线.，AF交BC于点F,
90°.又，在△AEF中，∠AEF+∠AFE=90°，∴.∠AFE=
AF是等边△ABC的BC边上的中线.∴点F是线段BC
∠A=∠D,
的中点.
∠DEC.在△AEF和△DCE中，∠AFE=∠DEC,
第2课时菱形的判定
AE=CD.
1.B 2.B 3.C 4.C 5.AB=AC
∴.△AEF≌△DCE(AAS).∴.AF=DE.8.B9.C
6.证明：连接BD交AC于点O.四边形ABCD是菱形，
10.B11.A12.15°13.23
∴.OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.,AE=CF,.OE=OF
14.(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD,
四边形BEDF是平行四边形.，EF⊥BD,.四边形
∠BAC=∠FCO.又，∠AOE=
BEDF是菱形
∠COF,AE=CF,..△AOE≌△COF
(AAS).∴.OE=OF.(2)解：连接OB.
,BE=BF,OE=OF,,BO⊥EF.△AOE≌△COF
∴.AO=CO.又，AB⊥BC,∴.OA=OB=OC.∴.∠BAC
∠ABO.:∠BEF=2∠BAC,∠BEF+∠ABO=90°，即
2∠BAC+∠BAC=90°..∴.∠BAC=30°..BC=2/3,
(第6题图)
(第9题图)
..AC=2BC=43...AB=ACe-BC=6.
7.D8.49.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形
15.证明：连接GE,GD.AD,BE是△ABC的
.AD∥BC..∠DAC=∠BCA.∠BAC=∠DAC,
,∠BAC=∠BCA.∴，AB=BC.(2)解：连接BD交AC
高，G是AB的中点，GE=
AB.GD=
于点O,四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,,四边
形ABCD是菱形.·AC⊥BD,OA=OC=号AC=5,
AB.GE=GD,:F是DE的中点，GFL
DE.16.(1)证明：四边形ABCD为矩形，，AD∥BC
∴.∠EAO=∠BFO.又.∠AOE=∠FOB.AE=BF,
OB=OD=BD.:.OB=AB-OA=2-(3)=
,'.△AOE≌△FOB.,,EO=BO.'.AO是△ABE的边BE
1.BD=20B=2.÷口ABCD的面积=号AC·BD=
上的中线，∴△AOB和△AOE是“友好三角形”
(2)解：：△AOE和△DOE是“友好三角形”，.SAE=
7×25×2=25.10.D1.12012.国13.菱形
SADOEAE=-ED=2AD=3.“△AOB和△AOE是“友好
16√214.8√315.证明：：DM∥AB,.∠BAM=
三角形”，S△wB=S△0E,△AOE≌△FOB,.S△E=
∠AMD.,△ADC是由△ABC翻折得到.∴.∠CAB=∠CAD.
S△O8..S△ND=S△AF.·SH边EIOF=SEAD一2S△F=4X
AB=AD,BM=DM.∴∠DAM=∠AMD..DA=DM=
6-2×1×4×3=12.
2
AB=BM..四边形ABMD是菱形.16.证明：：∠ACB=
90°，AE平分∠BAC,EH⊥AB,∴.CE=EH.在Rt△ACE和
第2课时矩形的判定
Rt△AHE中，AE=AE,CE=EH,∴.Rt△ACE≌
1.C2.证明：(1)，AF∥BC,.∠AFE=∠DBE.,E是线
·155·
