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专题训练（三）
一元二次方程的实际应用
类型1增降率问题
类型2面积问题
1.(遵义改编)新能源汽车节能、环保，越来越受
5.(广西)扬帆中学有一块长
30n
17m
消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新
30m,宽20m的矩形空
201
能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量
地，计划在这块空地上划
为50.7万辆，销量逐年增加，到2020年销量
出四分之一的区域种花，
小禹同学设计方案如图所
17
为125.6万辆，设年平均增长率为x,可列方
程为
示，求花带的宽度，设花带的宽度为x,则可
2.某公司研制成功一种新产品，决定向银行贷款
列方程为
200万元资金用于生产这种产品，贷款的合同
A.(30-x)(20-x)=
3×20×30
上约定两年到期时，一次性还本付息，利息为
本金的8%.该产品投放市场后，由于产销对
B.(30-2.x)(20-x)=1×20×30
4
路，使公司在两年到期时除还清贷款的本息
.1
C.30x十2×20.x=
×20×30
外，还盈余72万元.若该公司在生产期间每年
41
比上一年资金增长的百分数相同，则这个百分
D.(30-2x)(20-x)=2×20X30
数为
6.如图，要利用一面墙（墙长为25m)建羊圈，用
3.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可
100m的围栏围成总面积为400m的三个大
变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变
小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB,BC各
成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成
为多少米
本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百
墙
分率为x.
(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为
万元；
(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146
万元，求可变成本平均每年增长的百分
率x.
7.如图，要设计一本书的封面，封面长30cm,宽
20cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相
4.某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为
同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占的
2000kg,根据市场需要，今年该农场扩大了
面积是封面面积的号，上，下边衬等宽，左，右
种植面积，并且全部种植了高产的新品种南
瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增
边衬等宽，应如何设计四边边衬的宽度？
长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg,
求南瓜亩产量的增长率.
037
第二章
一元二次方程
类型3商品利润问题
性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个
8.某西瓜经营户以2元/kg的价格购进一批小
月单价降低x元.
型西瓜，以3元/kg的价格出售，每天可售出
(1)填表：（不需化简》
200kg,为了促销，该经营户决定降价销售，经
时间
第一个月
第二个月
清仓时
调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/kg,每
单价/元
80
40
天可多售出40kg.
销售量/件
200
(1)设该经营户将每千克小型西瓜降价x元，
请用代数式表示每天的销售量；
(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利
(2)若该经营户每天的房租等固定成本共24
9000元，那么第二个月的单价应是多
元，该经营户想要每天赢利200元，应将每
少元？
千克小型西瓜的售价降低多少元？
11.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，
9.(眉山)东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六
在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有
个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生
如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽
产76件，每件的利润为10元.调查表明：生产
车的进价为27万元，每多售出1部，所有售
提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件的利润
出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂
增加2元.
家根据销售量一次性返利给销售公司，销售
(1)若生产的某批次蛋糕每件的利润为14元，
量在10部以内（含10部），每部返利0.5万
此批次蛋糕属第儿档次的产品？
元；销售量在10部以上，每部返利1万元.
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个
(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车
档次，一天产量会减少4件.若生产的某档
的进价为
万元；
次产品一天的总利润为1080元，该烘焙
(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计
店生产的是第几档次的产品？
划当月赢利12万元，那么需要售出多少
部汽车？（赢利=销售利润十返利）
10.某批发商以每件50元的价格购进800件T
恤，第一个月以单价80元销售，售出了200
件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出
200件，批发商为增加销售量，决定降价销
售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售
出10件，但最低单价应高于购进的价格；第
二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次
数学·九年级·上册·BS038参考答案
第一章特殊平行四边形
Rt△AHE(HL).,.AC=AH..'AE平分∠CAB.∴.∠CAF=
(AC-AH.
1菱形的性质与判定
∠HAF.在△CAF和△HAF中，∠CAF=∠HAF,
第1课时菱形的性质
AF=AF.
1.C2.有一组邻边相等的平行四边形是菱形3.B
.△CAF≌△HAF(SAS)..∠ACD=∠AHF.CD⊥
4.C5.B6.D7.48.72°9.410.(2+√2，√2)
AB,∠ACB=90°，.∠CDA=∠ACB=90°，.∠B十
11.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.AB=CD,AB∥
∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°..∠ACD=∠B
CD.又BE=AB,,BE=CD,BE∥CD.,四边形BECD
∠AHF.∴.FH∥CE.:CD⊥AB,EH⊥AB,∴.CF∥EH,
是平行四边形.，BD=EC.(2)解：·四边形BECD是
.四边形CFHE是平行四边形.，CE=EH,∴.四边形
平行四边形，.BD∥CE..∠ABO=∠E=50°.又四边
CFHE是菱形.17.(1)证明：：△ABC是等
形ABCD是菱形，.AC⊥BD.∴.∠BAO=90°-∠ABO=
腰三角形，AD是边BC上的高，∴.点D为BC
40°，12.D13.1014.2√215.√3+1
的中点.：点E是AB的中点，∴.DE∥AC.同
16.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，∠B=∠D,AB
理，DF∥AB,.四边形AEDF是平行四边形
CD,BC=DA.又E,F分别是边BC,AD的中点，∴.BE=
,点E,F分别是AB,AC的中点，AB=AC,
DF-BC--
∴.AE=AF.∴.四边形AEDF是菱形.(2)解：连接EF
DA.△ABE≌△CDF.(2)23,
交AD于点O,,菱形AEDF的周长为12，，AE=3,设
17.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，.AC平分∠BAD
AO=x,EO=.,菱形AEDF的两条对角线的和等于7，
AB=AD.BE=DF,.AB一BE=AD一DF,即AE=
7
,x十y=
,在△AE0中，由勾股定理得AO十EO=
AF.又，'AC平分∠BAD,.AC⊥EF(三线合一).
(2)解：，四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,BO=DO=
AE,即x2十y2=32=9,变形得(x十y)2一2xy=9,即
2BD=2V3,AO=OC.又AC⊥EF,BD∥EF.
(号）广-2y=9,解得y-,四边形ABDF的面积
∠BDC=∠G=30..在Rt△COD中，CD=2OC,
2xyX4=13
S=
1
OC+OD=CD.设OC=x,则CD=2x,∴.x2+(23)=
(2x)2.解得=2，x2=-2(舍)，即OC=2..A0=OC=
2矩形的性质与判定
2.18.(1)证明：连接AC.,BD是菱形ABCD
第1课时矩形的性质
的对角线，.BD垂直平分AC.,AE=EC
1.B2.C3.D4,A5.16.解：四边形ABCD是矩
(2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：，在
形，.OA=OB=OC=OD.:∠AOD=120°，∠AOB=
菱形ABCD中，AB=BC,又，∠ABC=60°
60°.∴.△AOB是等边三角形..AO=AB=4..AC=
∴△ABC是等边三角形，∠BAC=60°.，AE=
2AO=8.7.证明：，四边形ABCD是矩形，.∠A
EC,∠CEF=60°，..∠EAC=30°，∠EAB=
∠D=90°.，EF⊥CE,.∠FEC=90°..∠AEF+∠DEC=
30°.∴.AF是△ABC的角平分线.，AF交BC于点F,
90°.又，在△AEF中，∠AEF+∠AFE=90°，∴.∠AFE=
AF是等边△ABC的BC边上的中线.∴点F是线段BC
∠A=∠D,
的中点.
∠DEC.在△AEF和△DCE中，∠AFE=∠DEC,
第2课时菱形的判定
AE=CD.
1.B 2.B 3.C 4.C 5.AB=AC
∴.△AEF≌△DCE(AAS).∴.AF=DE.8.B9.C
6.证明：连接BD交AC于点O.四边形ABCD是菱形，
10.B11.A12.15°13.23
∴.OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.,AE=CF,.OE=OF
14.(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD,
四边形BEDF是平行四边形.，EF⊥BD,.四边形
∠BAC=∠FCO.又，∠AOE=
BEDF是菱形
∠COF,AE=CF,..△AOE≌△COF
(AAS).∴.OE=OF.(2)解：连接OB.
,BE=BF,OE=OF,,BO⊥EF.△AOE≌△COF
∴.AO=CO.又，AB⊥BC,∴.OA=OB=OC.∴.∠BAC
∠ABO.:∠BEF=2∠BAC,∠BEF+∠ABO=90°，即
2∠BAC+∠BAC=90°..∴.∠BAC=30°..BC=2/3,
(第6题图)
(第9题图)
..AC=2BC=43...AB=ACe-BC=6.
7.D8.49.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形
15.证明：连接GE,GD.AD,BE是△ABC的
.AD∥BC..∠DAC=∠BCA.∠BAC=∠DAC,
,∠BAC=∠BCA.∴，AB=BC.(2)解：连接BD交AC
高，G是AB的中点，GE=
AB.GD=
于点O,四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,,四边
形ABCD是菱形.·AC⊥BD,OA=OC=号AC=5,
AB.GE=GD,:F是DE的中点，GFL
DE.16.(1)证明：四边形ABCD为矩形，，AD∥BC
∴.∠EAO=∠BFO.又.∠AOE=∠FOB.AE=BF,
OB=OD=BD.:.OB=AB-OA=2-(3)=
,'.△AOE≌△FOB.,,EO=BO.'.AO是△ABE的边BE
1.BD=20B=2.÷口ABCD的面积=号AC·BD=
上的中线，∴△AOB和△AOE是“友好三角形”
(2)解：：△AOE和△DOE是“友好三角形”，.SAE=
7×25×2=25.10.D1.12012.国13.菱形
SADOEAE=-ED=2AD=3.“△AOB和△AOE是“友好
16√214.8√315.证明：：DM∥AB,.∠BAM=
三角形”，S△wB=S△0E,△AOE≌△FOB,.S△E=
∠AMD.,△ADC是由△ABC翻折得到.∴.∠CAB=∠CAD.
S△O8..S△ND=S△AF.·SH边EIOF=SEAD一2S△F=4X
AB=AD,BM=DM.∴∠DAM=∠AMD..DA=DM=
6-2×1×4×3=12.
2
AB=BM..四边形ABMD是菱形.16.证明：：∠ACB=
90°，AE平分∠BAC,EH⊥AB,∴.CE=EH.在Rt△ACE和
第2课时矩形的判定
Rt△AHE中，AE=AE,CE=EH,∴.Rt△ACE≌
1.C2.证明：(1)，AF∥BC,.∠AFE=∠DBE.,E是线
·155·
