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本章重难点突破
高频考点集训
9.(咸宁)已知关于x的一元二次方程mx2
考点1一元二次方程的解法
(m+2)x十2=0.
1.(南通)用配方法解方程x2十8.x十9=0，变形
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
后的结果正确的是
()
(2)为何整数时，方程有两个不相等的正整
A.(x十4)2=-9
B.(x+4)2=-7
数根？
C.(x+4)2=25
D.(x+4)2=7
2.用求根公式计算方程x2一3x十2=0的根，公
式中b的值为
(
A.3
B.-3
C.2
3.解一元二次方程(x一1)2=2(x一1)最适宜的
方法是
()
A.直接开平方法
B.公式法
C.因式分解法
D.配方法
4.(2020黑龙江)已知2十√3是关于x的一元二
次方程x2一4x十m=0的一个实数根，则m=
5.用适当的方法解下列方程：
考点3一元二次方程根与系数的关系
(1)(2x-1)2=x(3x+2)-7;
10.(2020南京)关于x的方程(x-1)(x+2)=
p2(p为常数)的根的情况，下列结论中正确
的是
()
A,两个正根
(2)2(x+3)8=x(x+3).
B.两个负根
C.一个正根，一个负根
D.无实数根
11.(2020泸州)已知x1,x2是一元二次方程x2
考点2一元二次方程根的判别式的应用
4x一7=0的两个实数根，则x十4x1x2十x号
6.(湘潭)已知关于x的一元二次方程x2一4x+
的值是
c=0有两个相等的实数根，则c等于()
12.已知a,3是方程x2+7x+6=0的两个根，则
A.4
B.2
C.1
D.-4
a2+8a+B=
7.(2020滨州)对于任意实数k,关于x的方程
13.设方程x2一8.x十4=0的两根分别是x1,x2,
2x2-(便+5)x十k2+2+25=0的根的情况
不解方程试求下列各式的值.
为
()
+:2d+场：e尝+
A.有两个相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法判定
8.(包头)已知等腰三角形的三边长分别为4，b,
4,且a,b是关于x的一元二次方程x2
12x+m+2=0的两根，则m的值是()
A.34
B.30
C.30或34
D.30或36
039
第二章一元二次方程
14.(2020驻马店期末)已知关于x的一元二次
方程k2x2+2(k-1)x+1=0.
(1)若方程有实数根，求k的取值范围；
(2)若方程的两个实数根的倒数的平方和等
于14，求k的值.
17.某商店经销一种销售成本为每千克40元的
水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，
一个月能售出500kg;销售单价每涨1元，月
销售量就减少10kg.针对这种水产品的销售
情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月
销售量和月销量利润；
(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为
y元，求y与x的表达式：
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的
考点4一元二次方程的实际应用
情况下，使得月销售利润达到8000元，
15.(浦东新区期末)某企业研制的产品今年第一
销售单价应定为多少？
季度的销售数量为300件，第二季度由于市
场等因素，销售数量比第一季度减少了4%，
从第三季度起，该企业搞了一系列的促销活
动，销售数量又有所提升，第四季度的销售量
达到了450件，假设第三季度与第四季度销
售数量的增长率相同，求这个增长率.
16.如图，现有长为27m的篱笆，一面利用墙（墙
易钳易混集训
的最大可用长度a为l0m),围成中间隔有
易错点1忽视一元二次方程中“a≠0”这一隐含
一道篱笆的长方形花圃，设花丽垂直于墙的
条件出错
边AB为xm,面积为Sm2.
1.(2020武成)已知x=1是一元二次方程(m一
(1)用含x的代数式表示S:
2)x2十4x一m2=0的一个根，则m的值为
(2)如果围成面积为54m2的花圃，那么AB
的长是多少米？
A.-1或2
B.-1
(3)能围成面积为63m2的花圃吗？如果能，
C.2
D.0
请求出AB的长；如果不能，请说明理由.
易错点2忽视三角形三边关系定理出错
2.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二
次方程x2一7x十12=0的一根，则此三角形的
周长是
()
A.12
B.13
C.14
D.12或14
数学·九年级·上册·BS040参考答案
第一章特殊平行四边形
Rt△AHE(HL).,.AC=AH..'AE平分∠CAB.∴.∠CAF=
(AC-AH.
1菱形的性质与判定
∠HAF.在△CAF和△HAF中，∠CAF=∠HAF,
第1课时菱形的性质
AF=AF.
1.C2.有一组邻边相等的平行四边形是菱形3.B
.△CAF≌△HAF(SAS)..∠ACD=∠AHF.CD⊥
4.C5.B6.D7.48.72°9.410.(2+√2，√2)
AB,∠ACB=90°，.∠CDA=∠ACB=90°，.∠B十
11.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.AB=CD,AB∥
∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°..∠ACD=∠B
CD.又BE=AB,,BE=CD,BE∥CD.,四边形BECD
∠AHF.∴.FH∥CE.:CD⊥AB,EH⊥AB,∴.CF∥EH,
是平行四边形.，BD=EC.(2)解：·四边形BECD是
.四边形CFHE是平行四边形.，CE=EH,∴.四边形
平行四边形，.BD∥CE..∠ABO=∠E=50°.又四边
CFHE是菱形.17.(1)证明：：△ABC是等
形ABCD是菱形，.AC⊥BD.∴.∠BAO=90°-∠ABO=
腰三角形，AD是边BC上的高，∴.点D为BC
40°，12.D13.1014.2√215.√3+1
的中点.：点E是AB的中点，∴.DE∥AC.同
16.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，∠B=∠D,AB
理，DF∥AB,.四边形AEDF是平行四边形
CD,BC=DA.又E,F分别是边BC,AD的中点，∴.BE=
,点E,F分别是AB,AC的中点，AB=AC,
DF-BC--
∴.AE=AF.∴.四边形AEDF是菱形.(2)解：连接EF
DA.△ABE≌△CDF.(2)23,
交AD于点O,,菱形AEDF的周长为12，，AE=3,设
17.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，.AC平分∠BAD
AO=x,EO=.,菱形AEDF的两条对角线的和等于7，
AB=AD.BE=DF,.AB一BE=AD一DF,即AE=
7
,x十y=
,在△AE0中，由勾股定理得AO十EO=
AF.又，'AC平分∠BAD,.AC⊥EF(三线合一).
(2)解：，四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,BO=DO=
AE,即x2十y2=32=9,变形得(x十y)2一2xy=9,即
2BD=2V3,AO=OC.又AC⊥EF,BD∥EF.
(号）广-2y=9,解得y-,四边形ABDF的面积
∠BDC=∠G=30..在Rt△COD中，CD=2OC,
2xyX4=13
S=
1
OC+OD=CD.设OC=x,则CD=2x,∴.x2+(23)=
(2x)2.解得=2，x2=-2(舍)，即OC=2..A0=OC=
2矩形的性质与判定
2.18.(1)证明：连接AC.,BD是菱形ABCD
第1课时矩形的性质
的对角线，.BD垂直平分AC.,AE=EC
1.B2.C3.D4,A5.16.解：四边形ABCD是矩
(2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：，在
形，.OA=OB=OC=OD.:∠AOD=120°，∠AOB=
菱形ABCD中，AB=BC,又，∠ABC=60°
60°.∴.△AOB是等边三角形..AO=AB=4..AC=
∴△ABC是等边三角形，∠BAC=60°.，AE=
2AO=8.7.证明：，四边形ABCD是矩形，.∠A
EC,∠CEF=60°，..∠EAC=30°，∠EAB=
∠D=90°.，EF⊥CE,.∠FEC=90°..∠AEF+∠DEC=
30°.∴.AF是△ABC的角平分线.，AF交BC于点F,
90°.又，在△AEF中，∠AEF+∠AFE=90°，∴.∠AFE=
AF是等边△ABC的BC边上的中线.∴点F是线段BC
∠A=∠D,
的中点.
∠DEC.在△AEF和△DCE中，∠AFE=∠DEC,
第2课时菱形的判定
AE=CD.
1.B 2.B 3.C 4.C 5.AB=AC
∴.△AEF≌△DCE(AAS).∴.AF=DE.8.B9.C
6.证明：连接BD交AC于点O.四边形ABCD是菱形，
10.B11.A12.15°13.23
∴.OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.,AE=CF,.OE=OF
14.(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD,
四边形BEDF是平行四边形.，EF⊥BD,.四边形
∠BAC=∠FCO.又，∠AOE=
BEDF是菱形
∠COF,AE=CF,..△AOE≌△COF
(AAS).∴.OE=OF.(2)解：连接OB.
,BE=BF,OE=OF,,BO⊥EF.△AOE≌△COF
∴.AO=CO.又，AB⊥BC,∴.OA=OB=OC.∴.∠BAC
∠ABO.:∠BEF=2∠BAC,∠BEF+∠ABO=90°，即
2∠BAC+∠BAC=90°..∴.∠BAC=30°..BC=2/3,
(第6题图)
(第9题图)
..AC=2BC=43...AB=ACe-BC=6.
7.D8.49.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形
15.证明：连接GE,GD.AD,BE是△ABC的
.AD∥BC..∠DAC=∠BCA.∠BAC=∠DAC,
,∠BAC=∠BCA.∴，AB=BC.(2)解：连接BD交AC
高，G是AB的中点，GE=
AB.GD=
于点O,四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,,四边
形ABCD是菱形.·AC⊥BD,OA=OC=号AC=5,
AB.GE=GD,:F是DE的中点，GFL
DE.16.(1)证明：四边形ABCD为矩形，，AD∥BC
∴.∠EAO=∠BFO.又.∠AOE=∠FOB.AE=BF,
OB=OD=BD.:.OB=AB-OA=2-(3)=
,'.△AOE≌△FOB.,,EO=BO.'.AO是△ABE的边BE
1.BD=20B=2.÷口ABCD的面积=号AC·BD=
上的中线，∴△AOB和△AOE是“友好三角形”
(2)解：：△AOE和△DOE是“友好三角形”，.SAE=
7×25×2=25.10.D1.12012.国13.菱形
SADOEAE=-ED=2AD=3.“△AOB和△AOE是“友好
16√214.8√315.证明：：DM∥AB,.∠BAM=
三角形”，S△wB=S△0E,△AOE≌△FOB,.S△E=
∠AMD.,△ADC是由△ABC翻折得到.∴.∠CAB=∠CAD.
S△O8..S△ND=S△AF.·SH边EIOF=SEAD一2S△F=4X
AB=AD,BM=DM.∴∠DAM=∠AMD..DA=DM=
6-2×1×4×3=12.
2
AB=BM..四边形ABMD是菱形.16.证明：：∠ACB=
90°，AE平分∠BAC,EH⊥AB,∴.CE=EH.在Rt△ACE和
第2课时矩形的判定
Rt△AHE中，AE=AE,CE=EH,∴.Rt△ACE≌
1.C2.证明：(1)，AF∥BC,.∠AFE=∠DBE.,E是线
·155·
