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→8图形的位似
第1课时
位似图形及其性质
6.(2020连云港期末)如图，四边形ABCD与四
知识要点全练
础
OE 3
知识点1
位似图形的概念及性质
边形EFGH位似，位似中心是点O,EA= :
1.(宁晋模拟)在下列图形中，不是位似图形的是
则竖
知识点2位似中心的确定及位似作图
7.位似图形的位似中心可以在
A.原图形外
B.原图形内
C.原图形的边上
D.以上三种都可以
2.关于对位似图形的4个表述中：①相似图形
8.(2020河北)在如图所示的网格中，以点O为
定是位似图形，位似图形一定是相似图形：
位似中心，四边形ABCD的位似图形是()
②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形
A.四边形NPMQ
B.四边形NPMR
是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线
C.四边形NHMQ
D.四边形NHMR
都经过同一个点，那么这两个图形是位似图
形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离
之比等于位似比.正确的有
(
A.1个B.2个C.3个
D.4个
3.(绥化)如图，△A'B'C
是△ABC以点O为位
(F
(第8题图)
(第9题图)
似中心经过位似变换
9.如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为
得到的，若△A'B'C的
平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为
面积与△ABC的面积比是4：9，则OB:OB为
位似中心作位似图形ABCD,且点B,F的坐
标分别为（一4,4），(2,1)，则位似中心的坐标
A.2:3
B.3:2C.4:5
D.4:9
为
()
4.已知△ABC和△A'B'C'是位似图形，△A'B'C
A.(0,3)
B.(0,2.5)
的面积为6cm,周长是△ABC的一半，AB=
C.(0,2)
D.(0,1.5)
8cm,则AB边上的高是
(
10.如图，四边形ABCD的一个位似图形是四边
A.3 cm
B.6 cm
形A'B'C'D',且A,B,C,D的对应点分别是
C.9 cm
D.12 cm
A',B,C,D,图中给出了AB的对应边A'B
5.如图，若△ABC与△DEF是位似图形，点O
所在的位置，请把四边形A'B'CD'其余部分
是位似中心，OA=AD,则△ABC与△DEF
补画上
的相似比是
A.1:2B.1:3
C.2:1
D.3:1
(第5题图】
(第6题图》
083
第四章图形的相似
(2)使两个图形在点O两侧，
规律方法全练
捉升能力
11.已知△ABC,以点A为位似中心，作出
△ADE,使△ADE是△ABC放大2倍后的
图形，这样的图形可以作出
()
A.1个
B.2个
C.4个
D.无数个
12.如图，已知点E是口ABCD中BC边延长线
上的一点，连接AE交CD于点F,则图中的
位似图形有
()
A.1对B.2对
C.3对
D.4对
17.如图，在矩形ABCD中，P是对角线AC上任
意一点，PE⊥AB,PF⊥AD
(1)图中与△APE位似的三角形有哪些？分
(第12题图)
(第13题图)
别指出它们的位似中心：
13.(成都)如图，四边形ABCD和四边形A'B'CD是
(2)图中还有哪些具有位似关系的多边形？
以点O为位似中心的位似图形，若OA:OA'=2:
3,则四边形ABCD与四边形A'BCD的面积比
为
()
A.4:9
B.2:5
C.2:3
D.√2V3
14.如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相
似，则关于位似中心与相似比叙述正确的是
()
探究创新全练
挑战白
xXx:*XHXXX5XXXX000门
18.如图，△ABC与△A'BC'是位似图形，点A,
B,A',B,O共线，点O为位似中心
(1)AC与A'C平行吗？为什么？
A.位似中心是点B,相似比是2：1
(2)若AB=2A'B′，OC=5,求CC的长.
B.位似中心是点D,相似比是2：1
C.位似中心在点G,H之间，相似比为2：1
D.位似中心在点G,H之间，相似比为1：2
15.三角尺与墙面平行，在灯泡O的照射下在墙
上形成影子（如图所示），现测得OA=20cm,
OA'=50cm,这个三角尺的周长与它在墙上
形成的影子的周长的比是
入
灯前一年小授影
16.如图，试按以下各要求作四边形的位似四边
形，使它和已知四边形的相似比等于1：2，位
似中心为O,
(1)使两个图形在点O同侧；
数学·九年级·上册·BS084参考答案
第一章特殊平行四边形
Rt△AHE(HL).,.AC=AH..'AE平分∠CAB.∴.∠CAF=
(AC-AH.
1菱形的性质与判定
∠HAF.在△CAF和△HAF中，∠CAF=∠HAF,
第1课时菱形的性质
AF=AF.
1.C2.有一组邻边相等的平行四边形是菱形3.B
.△CAF≌△HAF(SAS)..∠ACD=∠AHF.CD⊥
4.C5.B6.D7.48.72°9.410.(2+√2，√2)
AB,∠ACB=90°，.∠CDA=∠ACB=90°，.∠B十
11.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.AB=CD,AB∥
∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°..∠ACD=∠B
CD.又BE=AB,,BE=CD,BE∥CD.,四边形BECD
∠AHF.∴.FH∥CE.:CD⊥AB,EH⊥AB,∴.CF∥EH,
是平行四边形.，BD=EC.(2)解：·四边形BECD是
.四边形CFHE是平行四边形.，CE=EH,∴.四边形
平行四边形，.BD∥CE..∠ABO=∠E=50°.又四边
CFHE是菱形.17.(1)证明：：△ABC是等
形ABCD是菱形，.AC⊥BD.∴.∠BAO=90°-∠ABO=
腰三角形，AD是边BC上的高，∴.点D为BC
40°，12.D13.1014.2√215.√3+1
的中点.：点E是AB的中点，∴.DE∥AC.同
16.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，∠B=∠D,AB
理，DF∥AB,.四边形AEDF是平行四边形
CD,BC=DA.又E,F分别是边BC,AD的中点，∴.BE=
,点E,F分别是AB,AC的中点，AB=AC,
DF-BC--
∴.AE=AF.∴.四边形AEDF是菱形.(2)解：连接EF
DA.△ABE≌△CDF.(2)23,
交AD于点O,,菱形AEDF的周长为12，，AE=3,设
17.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，.AC平分∠BAD
AO=x,EO=.,菱形AEDF的两条对角线的和等于7，
AB=AD.BE=DF,.AB一BE=AD一DF,即AE=
7
,x十y=
,在△AE0中，由勾股定理得AO十EO=
AF.又，'AC平分∠BAD,.AC⊥EF(三线合一).
(2)解：，四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,BO=DO=
AE,即x2十y2=32=9,变形得(x十y)2一2xy=9,即
2BD=2V3,AO=OC.又AC⊥EF,BD∥EF.
(号）广-2y=9,解得y-,四边形ABDF的面积
∠BDC=∠G=30..在Rt△COD中，CD=2OC,
2xyX4=13
S=
1
OC+OD=CD.设OC=x,则CD=2x,∴.x2+(23)=
(2x)2.解得=2，x2=-2(舍)，即OC=2..A0=OC=
2矩形的性质与判定
2.18.(1)证明：连接AC.,BD是菱形ABCD
第1课时矩形的性质
的对角线，.BD垂直平分AC.,AE=EC
1.B2.C3.D4,A5.16.解：四边形ABCD是矩
(2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：，在
形，.OA=OB=OC=OD.:∠AOD=120°，∠AOB=
菱形ABCD中，AB=BC,又，∠ABC=60°
60°.∴.△AOB是等边三角形..AO=AB=4..AC=
∴△ABC是等边三角形，∠BAC=60°.，AE=
2AO=8.7.证明：，四边形ABCD是矩形，.∠A
EC,∠CEF=60°，..∠EAC=30°，∠EAB=
∠D=90°.，EF⊥CE,.∠FEC=90°..∠AEF+∠DEC=
30°.∴.AF是△ABC的角平分线.，AF交BC于点F,
90°.又，在△AEF中，∠AEF+∠AFE=90°，∴.∠AFE=
AF是等边△ABC的BC边上的中线.∴点F是线段BC
∠A=∠D,
的中点.
∠DEC.在△AEF和△DCE中，∠AFE=∠DEC,
第2课时菱形的判定
AE=CD.
1.B 2.B 3.C 4.C 5.AB=AC
∴.△AEF≌△DCE(AAS).∴.AF=DE.8.B9.C
6.证明：连接BD交AC于点O.四边形ABCD是菱形，
10.B11.A12.15°13.23
∴.OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.,AE=CF,.OE=OF
14.(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD,
四边形BEDF是平行四边形.，EF⊥BD,.四边形
∠BAC=∠FCO.又，∠AOE=
BEDF是菱形
∠COF,AE=CF,..△AOE≌△COF
(AAS).∴.OE=OF.(2)解：连接OB.
,BE=BF,OE=OF,,BO⊥EF.△AOE≌△COF
∴.AO=CO.又，AB⊥BC,∴.OA=OB=OC.∴.∠BAC
∠ABO.:∠BEF=2∠BAC,∠BEF+∠ABO=90°，即
2∠BAC+∠BAC=90°..∴.∠BAC=30°..BC=2/3,
(第6题图)
(第9题图)
..AC=2BC=43...AB=ACe-BC=6.
7.D8.49.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形
15.证明：连接GE,GD.AD,BE是△ABC的
.AD∥BC..∠DAC=∠BCA.∠BAC=∠DAC,
,∠BAC=∠BCA.∴，AB=BC.(2)解：连接BD交AC
高，G是AB的中点，GE=
AB.GD=
于点O,四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,,四边
形ABCD是菱形.·AC⊥BD,OA=OC=号AC=5,
AB.GE=GD,:F是DE的中点，GFL
DE.16.(1)证明：四边形ABCD为矩形，，AD∥BC
∴.∠EAO=∠BFO.又.∠AOE=∠FOB.AE=BF,
OB=OD=BD.:.OB=AB-OA=2-(3)=
,'.△AOE≌△FOB.,,EO=BO.'.AO是△ABE的边BE
1.BD=20B=2.÷口ABCD的面积=号AC·BD=
上的中线，∴△AOB和△AOE是“友好三角形”
(2)解：：△AOE和△DOE是“友好三角形”，.SAE=
7×25×2=25.10.D1.12012.国13.菱形
SADOEAE=-ED=2AD=3.“△AOB和△AOE是“友好
16√214.8√315.证明：：DM∥AB,.∠BAM=
三角形”，S△wB=S△0E,△AOE≌△FOB,.S△E=
∠AMD.,△ADC是由△ABC翻折得到.∴.∠CAB=∠CAD.
S△O8..S△ND=S△AF.·SH边EIOF=SEAD一2S△F=4X
AB=AD,BM=DM.∴∠DAM=∠AMD..DA=DM=
6-2×1×4×3=12.
2
AB=BM..四边形ABMD是菱形.16.证明：：∠ACB=
90°，AE平分∠BAC,EH⊥AB,∴.CE=EH.在Rt△ACE和
第2课时矩形的判定
Rt△AHE中，AE=AE,CE=EH,∴.Rt△ACE≌
1.C2.证明：(1)，AF∥BC,.∠AFE=∠DBE.,E是线
·155·
